循環 (流体力学)のソースを表示

{{連続体力学}}
[[流体力学]]における'''循環''' (じゅんかん、{{lang-en-short|circulation}}) とは[[流体]]の[[速度]]をひとつの[[閉曲線]]について積算して得られる量である。循環は文字 {{Math|&Gamma;}} で表されることが多い。対象とする閉経路で囲われた領域の[[渦度]]積算量でもあり、[[渦]]運動の強度を表すために使われうる。[[非粘性]][[バロトロピック流体]]の[[保存力|保存外力]]下では流れに沿って保存する。

対象とする閉曲線 {{Mvar|C}} について、曲線の微小線要素[[空間ベクトル|ベクトル]]を {{Math|d'''''l'''''}}、流体の速度を {{Mvar|'''v'''}} とするときの循環 {{Math|&Gamma;}} は次式
:<math>
{\Gamma}=\oint_\mathrm C \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
</math>
により得られる<ref name="巽">
{{cite book|和書
| author=巽友正 
| title=流体力学
| publisher=[[培風館]]
| edition=1982年 4月15日初版発行
| isbn=456302421X
}} 
</ref>。

== 循環と渦度 ==
[[ストークスの定理]]によって、循環は[[渦度]]と以下のように関連付けされる。
:<math>\begin{align}
{\Gamma} 
=\oint_\mathrm C \boldsymbol{v}      \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
=\int_\mathrm S    (\boldsymbol{\mathsf{rot}}\, \boldsymbol{v}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
=\int_\mathrm S    \boldsymbol{\omega} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
\end{align}</math>
ただし、積分経路 {{Math|C}} は閉曲線であるだけでなく、[[面積要素]] {{Math|S}} の境界 {{Math|1=C = ∂S}} でなければいけない。ここで
:<math>\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\mathsf{rot}}\, \boldsymbol{v}</math>
は渦度である。<!--渦度とは微小なループに囲まれた単位面積あたりの循環に等価である。-->

== 循環と渦定理 ==
以下の定理が成り立つ。
* [[ケルビンの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、流体とともに動く閉曲線に沿う循環は時間的に不変である<ref name="巽"/>。」
* [[ヘルムホルツの渦定理]]
「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦管は渦管として行動し、かつ、その強さは一定不変である<ref name="今井">
{{cite book|和書
| author=今井功 
| title=流体力学(前編)
| publisher=[[裳華房]]
| edition=1973年11月25日発行
| isbn=4785323140
}} 
</ref>」
* [[ラグランジュの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦は[[不生不滅]]である<ref name="今井"/>。」

== 循環と揚力 ==
[[フレデリック・ランチェスター]]、[[マルティン・ヴィルヘルム・クッタ]]、そして、[[ニコライ・ジュコーフスキー]]らがそれぞれ独立に、循環の概念を使って[[揚力]]を説明した<ref name="kundu">
{{cite book 
| author1=P.K. Kundu
| author2=I.M. Cohen
| author3=D.R. Dowling
| title=Fluid Mechanics Fifth Edition
| year=2011
| publisher=Academic Press
| isbn=0123821002
}}
</ref>。

[[非粘性流体]]の二次元非回転非圧縮流れにおいて、水平方向({{Mvar|x}} 方向)に一様な速度 {{Mvar|U}} の流れを考える。奥行き方向単位長さあたりの物体にかかる力の鉛直成分({{Mvar|y}} 成分)、すなわち、揚力 {{Mvar|L}} は物体を囲む閉曲線に沿った循環 {{Math|Γ}} と流体の[[密度]] {{Mvar|ρ}} とを使って
:<math>
L = -\rho U {\Gamma}
</math>
で表される。これは[[クッタ・ジュコーフスキーの定理]]と呼ばれる<ref name="kundu"/>。

== 出典 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[渦度]]
* [[ビオ・サバールの法則]]
* [[クッタ条件]]
* [[クッタ・ジュコーフスキーの定理]]
* [[ケルビンの渦定理]]
* [[ヘルムホルツの渦定理]]
* [[ラグランジュの渦定理]]

{{DEFAULTSORT:しゆんかん}}
[[Category:うず]]
[[Category:流体力学]]