微分方程式のソースを表示

{{Calculus}}

解析学において、{{読み仮名|'''微分方程式'''|びぶんほうていしき|{{lang-en-short|differential equation}}}}とは、[[未知関数]]とその[[導関数]]の関係式として書かれている[[関数方程式]]である<ref name="r">[[長倉三郎]]ほか編、『[http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/08/6/0800900.html 岩波理化学辞典] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130927144110/http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/08/6/0800900.html|date=2013年9月27日}}』、[[岩波書店]]、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6</ref>。

数学の応用分野においてしばしば、異なる2つの変数の関係を調べることが行われる。2変数を対応付ける[[関数 (数学)|関数]]があらわになっていなくても、その導関数（の満たすべき[[方程式]]）を適当な仮定の下で定めることができ、そこから目的とする関数を探し出すことができる。

[[物理法則]]を記述する[[基礎方程式]]は、多くが[[時間微分]]、[[空間微分]]を含む微分方程式であり、[[物理学]]からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。

方程式論は[[解析学]]の中心的な分野で、[[フーリエ変換]]、[[ラプラス変換]]等は元々、微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は[[境界値問題]]、[[固有値問題]]である<ref name="r" />。

微分方程式は大きく[[線型微分方程式]]と[[非線型微分方程式]]に分類される。線形微分方程式の例として、例えば[[シュレーディンガー方程式]]が挙げられる。シュレーディンガー方程式は、量子系の状態の時間発展を記述する方法の一つとして広く用いられている。非線型微分方程式の例として、例えば[[ナビエ–ストークス方程式]]（NS方程式）が挙げられる。NS方程式は[[流体力学|流体]]の運動を記述する基本方程式であり、物理学の応用としても重要な方程式である。しかし、NS方程式の解の存在性は[[数学上の未解決問題|未解決問題]]であり[[ミレニアム懸賞問題]]にも選ばれている。

{{See2|その他、有名な微分方程式については[[:Category:微分方程式]]を}}

== 概要 ==
{{Differential equations}}
微分方程式は方程式に含まれる[[導関数]]の'''階数'''<ref group="注釈">{{lang-en-short|order}}</ref>によって分類され、最も高い階数が {{mvar|n}} 次である場合、その微分方程式を {{mvar|n}} 階微分方程式<ref group="注釈">{{lang-en-short|{{mvar|n}}th order differential equation}}</ref>と呼ぶ<ref name="r" />。

いずれの場合も未知関数は一つとは限らず、また、連立する複数の微分方程式を同時に満たす関数を解とするような[[方程式|連立方程式]]の形を取る場合もある<ref name="r"/>。これは連立 {{mvar|n}} 階微分方程式などと呼ばれる。

=== 常微分方程式と偏微分方程式 ===
{{main|常微分方程式|偏微分方程式}}
一変数関数の[[導関数]]の関係式で書かれる[[常微分方程式]]と多変数関数の[[偏微分|偏導関数]]を含む関係式で書かれる[[偏微分方程式]]に分かれる<ref name="r" />。

常微分方程式とは例えば、
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm {d}x}\!f(x) - f(x) = 0</math>
や、
:<math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm {d}x^2}\!f(x) - 2\frac{\mathrm d}{\mathrm {d}x}\!f(x) + f(x) = \sin(x)</math>
のような方程式である。

また、偏微分方程式は、
:<math>\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right) f(x,y) = 0</math>
や、
:<math>\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) f(x,y) = \alpha x + \beta y</math>
のような格好をした方程式である。

=== 代数的微分方程式 ===
未知関数とその導関数の関係式が、未知関数や導関数を変数と見たときに[[解析関数]]を係数とする多項式である場合、'''代数的微分方程式'''と呼ばれる。

=== 線形微分方程式 ===
{{main|線形微分方程式}}
方程式が未知関数の一次式として書けるような方程式を'''[[線形微分方程式]]'''と呼ぶ。また、線型でない微分方程式は'''[[非線形微分方程式]]'''<ref group="注釈">{{lang-en-short|non-linear differential equation}}</ref>と呼ばれる。
例えば、{{math|''g''(''x'')}} を {{math|''f''(''x'')}} を含まない既知の関数とすれば、
:<math>\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x} + \alpha\right)f(x) = g(x)</math>
は'''線形微分方程式'''であり、
:<math>\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)f(x) = g(x)</math>
は'''非線型形微分方程式'''である。線形と呼ばれる理由は後述する線形斉次な方程式について、解の線形結合がその方程式の一般解をなすためである。

未知関数が 1 つの場合、高階の線型微分方程式を一階線形微分方程式の形に書き直すことができる。
たとえば、{{math|{{(}}''g<sub>k</sub>''{{)}}}} を既知関数の組として、以下の線形微分方程式が与えられたとき、
:<math>\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)f(x) = g_0(x), \quad g_{n+1}(x) = 1</math>
未知関数 {{math|''f''(''x'')}} の{{mvar|k}} 階の導関数を {{math|''y<sub>k</sub>''(''x'')}} として ({{math|''k'' {{=}} 0,..., ''n'' &minus; 1}})、以下の一組の微分方程式を得る。
:<math>\begin{cases}
\displaystyle
\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}y_{k-1}(x) = y_k(x), \quad k=1,\dots,n-1\\
\displaystyle
\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}y_{n-1}(x) = g_0(x) - \sum_{k=0}^{n-1} g_{k+1}(x)y_k(x)
\end{cases}</math>

この微分方程式は、より一般的に、[[ベクトル空間|ベクトル]]と[[行列 (数学)|行列]]の記法を用いて
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\mathbf{y}(x) = A(x)\mathbf{y}(x) + \mathbf{b}(x)</math>
と書くことができる。ここで {{math|'''y'''}} は未知関数 {{math|''y''<sub>0</sub>,..., ''y''<sub>''n''&minus;1</sub>}} を成分に持つベクトル、{{mvar|A}} は既知関数 {{math|{{(}}''a<sub>ij</sub>''{{)}}<sub>''i,j''{{=}}0,...,''n''&minus;1</sub>}} を成分に持つ {{math|''n''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} の行列、{{math|'''b'''}} は既知関数 {{math|''b''<sub>0</sub>,..., ''b''<sub>''n''&minus;1</sub>}} を成分に持つベクトルである。

==== 斉次方程式と非斉次方程式 ====
すべての項が未知関数を含むか {{math|0}} であるような線形微分方程式を'''線形斉次微分方程式'''<ref group="注釈">{{lang-en-short|homogeneous linear differential equation}}</ref>と呼び、斉次でない線形微分方程式は'''線型非斉次微分方程式'''<ref group="注釈">{{lang-en-short|inhomogeneous linear differential equation}}</ref>と呼ばれる。同じ意味の言葉として斉次方程式をしばしば'''同次方程式'''と呼ぶことがある。
例えば、
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\!f(x)+f(x)=0</math>
は'''斉次'''な方程式であり、右辺に {{mvar|&alpha;}} を加えた、
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\!f(x)+f(x) = \alpha</math>
は'''非斉次'''な方程式である。

より一般の線形常微分方程式について、
:<math>\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)f(x) = g_0(x), \quad g_{n+1}(x) = 1</math>
右辺の関数 {{math|''g''<sub>0</sub>(''x'')}} がゼロならこの方程式は斉次である。
斉次方程式の特徴として、方程式の解 {{math|''s''(''x'')}} が得られたとき、その定数倍 {{math|''cs''(''x'')}} も方程式の解となる。また、斉次方程式の解の[[線形結合]]もその斉次方程式の解になる。

また、非斉次な方程式の解 {{math|''s''<sub>in</sub>(''x'')}} が得られたとき、元の方程式を斉次な形にしたときの解 {{math|''s''<sub>hom</sub>(''x'')}} を用いて、非斉次方程式の新たな解 {{math|''s''<sub>in</sub>(''x'') + ''s''<sub>hom</sub>(''x'')}} を作ることができる。実際、
:<math>\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}\right)\left(s_\mathrm{in}(x)+s_\mathrm{hom}(x)\right) = g_0(x)</math>
としたとき、{{math|''s''<sub>in</sub>(''x''), ''s''<sub>hom</sub>(''x'')}} はそれぞれ
:<math>\begin{align}
\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)s_\mathrm{hom}(x) &= 0\\
\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)s_\mathrm{in}(x) &= g_0(x)
\end{align}</math>
を満たすので、{{math|''s''<sub>in</sub>(''x'') + ''s''<sub>hom</sub>(''x'')}} は元の方程式の解になっている。

=== 確率微分方程式 ===
{{main|確率微分方程式}}
方程式に含まれる既知関数が[[確率変数]]によって記述されるような微分方程式を'''確率微分方程式'''<ref group="注釈">{{lang-en-short|stochastic differential equation}}、SDE</ref>と呼ぶ。確率常微分方程式や確率偏微分方程式はしばしば英語の頭文字を取って“{{lang|en|SODE}}”, “{{lang|en|SPDE}}”と略記される。代表的な例は物理学における[[ランジュバン方程式]]や金融工学における[[ブラック-ショールズ方程式]]がある。確率微分方程式の既知関数は、自身の[[期待値]]や[[相関関数]]によって特徴付けられる。

=== 時間遅れをもつ微分方程式 ===
常微分方程式　<math>x'(t) = -a x(t-r)</math>（ただしｒは正の実数）のように、時間遅れをもつ微分方程式が、数理生物学のモデルなどに現われる<ref>内藤敏機、原惟行、日野義之、宮崎倫子：「タイムラグをもつ微分方程式」、牧野書店、ISBN 4-7952-0150-1 (2002年11月10日)</ref>。

== 解法 ==
微分方程式に限らず一般の方程式は必ずしも厳密解が得られるとは限らない。従って多く場合は[[摂動]]などの手法を用いて近似的な評価を与えるか、[[ルンゲ＝クッタ法]]や[[SOR法]]、[[有限要素法]]のような[[数値解析|数値解法]]によって具体的な解を得ることになる。しかしながらいくつかの基本的な微分方程式については、厳密解が得られたり、形式的に解を書き表せる。

微分方程式の具体的な解法としては代表的なものに、斉次方程式の解を利用して解く[[定数変化法]]、[[グリーン関数]]を用いた解法、[[差分方程式]]を用いた解法、[[ラプラス変換]]や[[逆ラプラス変換]]を用いた解法などが知られている。

=== 指数関数と微分方程式 ===
一階の線型斉次常微分方程式の中で最も基本的な方程式として次のものがある。
{{Indent|<math>
\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = y(x).
</math>}}

一般の線形微分方程式を解く際も、まずこの種の斉次微分方程式に帰着させるため、この方程式は微分方程式の解法を調べる上で基本的な役割を果たす。
この方程式の解はよく知られているように[[指数関数]]となる<ref group="注釈">この微分方程式の解として指数関数を定義する場合もある。その場合、{{math|''y''(0) {{=}} 1}} となる解 {{math|''y''(''x'')}} を指数関数 {{math|exp(''x'') (&equiv; e{{sup|''x''}})}} とする。</ref>。
{{Indent|<math>y(x) = C\mathrm{e}^x.</math>}}
ここで {{mvar|C}} は任意定数である。解法は脚注にて紹介する{{efn|'''解法：'''
一つの方法は次の[[自然対数]]の積分公式を利用する方法である。
{{indent|<math>\scriptstyle \int \frac{\mathrm{d}x'}{x'} = \ln|x| + \mathrm{constant}.</math>}}
ある {{mvar|x}} で {{mvar|y}} が {{math|0}} となるなら、
{{indent|<math>\scriptstyle \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = 0</math>}}
方程式を満たす解 {{mvar|y}} は {{math|0}} である。次に {{mvar|y}} が {{math|0}} とならない解を探すと、
方程式は次のように変形できる。
{{Indent|<math>\scriptstyle \frac{1}{y(x)}\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = 1.</math>}}
両辺を積分すれば、右辺は最初に示した積分と同じ形になる<ref group="注釈">この関係を示す際に、ラフな計算法として {{math|d''y'', d''x''}} を微小な数として扱うことがある。つまり、
:<math>\scriptstyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y</math>
の両辺に {{math|d''x''/''y''}} を掛けて、
:<math>\scriptstyle \frac{\mathrm{d}y}{y} = \mathrm{d}x</math>
とし、最後に積分記号 {{math|&int;}} を添える。</ref>。
{{Indent|<math>\scriptstyle \int \frac{1}{y'}\,\mathrm{d}y' = \int 1\,\mathrm{d}x'.</math>}}
両辺の積分を計算すると方程式の解は[[指数関数]]になることが分かる<ref group="注釈">対数関数が指数関数の[[逆関数]]であることを利用する。{{math|exp(ln ''y'') {{=}} ''y''.}}</ref>。
{{Indent|<math>\scriptstyle y(x) = \mathrm{constant}\times \exp(x).</math>}}

その他の解法としては結局、指数関数か対数関数の定義に帰着させることになる。
}}。

指数関数の有用な性質として、[[微分作用素]]を別の定数や関数に置き換えられることが挙げられる。係数が定数の斉次方程式
:<math>\left(\sum_{k=0}^n c_{k+1}\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)f(x) = 0, \quad c_{n+1} = 1</math>
の解として指数関数で書けるものを探すと、{{math|''f''(''x'') {{=}} ''C''exp(''&lambda;x'')}} と置き換えて、
:<math>\sum_{k=0}^n c_{k+1}\lambda^k = 0</math>
と書くことができる<ref group="注釈">非自明な解を探しているので、任意の {{mvar|&lambda;}} に対して {{math|''f''(''x'') {{=}} ''C''exp(''&lambda;x'') &ne; 0}} である。従って、
:<math>\scriptstyle \left(\sum_{k=0}^n c_{k+1}\lambda^k\right)C\exp(\lambda x) = 0</math>
を満たす {{mvar|&lambda;}} はすべて
:<math>\scriptstyle \sum_{k=0}^n c_{k+1}\lambda^k = 0</math>
を満たす。</ref>。これは {{mvar|&lambda;}} に対する {{mvar|n}} 次の[[代数方程式]]になっている。
[[重根 (多項式)|重根]]がなければ方程式の解が {{mvar|n}} 個求まることになり、斉次方程式の一般解はそれらの[[線型結合]]として表される。

この形の方程式の一般解を求める方法としては[[定数変化法]]がある<ref group="注釈">解の形として {{math|''f''(''x'') {{=}} ''C''(''x'')exp(''&lambda;x'')}} というものを仮定しても一般性は損なわれない。</ref>。

=== 一階線型常微分方程式 ===

一つの未知関数に対する、一般の一階線型常微分方程式は、既知関数を {{math|''P''(''x'')}}、{{math|''Q''(''x'')}} として、次のように書かれる。

{{Indent|<math>\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} + P(x)y(x) = Q(x).</math>}}

この一階線型常微分方程式は、[[一般解]]が[[求積法]]で解ける。
まず、斉次方程式

{{Indent|<math>\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} + P(x)y(x) = 0</math>}}

の一般解は、積分定数を {{math|''A'' &ne; 0}} として、

{{Indent|<math>y(x) = A\exp\left(-\int P(x')\,\mathrm{d}x'\right)</math>}}

となる。一階線型常微分方程式の一般解は、斉次方程式の解を利用し {{mvar|A}} を {{mvar|x}} の関数とみなす[[定数変化法]]によって求められる。
{{Indent|<math>y(x) = \left\{\int Q(x') \exp\left(\int P(x'')\,\mathrm{d}x''\right)\mathrm{d}x' +C\right\}
           \exp\left(-\int P(x')\,\mathrm{d}x'\right).</math>}}

ここで {{math|''C'' &ne; 0}} は積分定数である。

=== 二階線型常微分方程式 ===

二階線型常微分方程式の一般形は、既知関数を {{math|''P''(''x''), ''Q''(''x''), ''R''(''x'')}} として、次のように書かれる。

{{Indent|<math>\frac{\mathrm{d}^2y(x)}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=R(x).</math>}}

この二階線型常微分方程式は、このままの形では求積法を用いて[[一般解]]を表示することはできない。
もし、右辺を {{math|0}} とした斉次方程式の[[特殊解]]として、{{math|''y'' {{=}} ''y''<sub>1</sub>}} が存在すれば、

{{Indent|<math>\frac{\mathrm{d}^2 y_1(x)}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y_1(x)}{\mathrm{d}x}+Q(x)y_1(x) = 0</math>}}

が成り立つので、{{mvar|z}} なる未知関数を導入して、

{{Indent|<math> y(x)=y_1(x)z(x)</math>}}

とすれば、二階線型常微分方程式が、{{mvar|z}} に関する常微分方程式、

{{Indent|<math>\begin{align}
&y_{1}\frac{\mathrm{d}^2 z(x)}{\mathrm{d}x^2} + \Bigl(2y'_1(x) + P(x)y_1(x)\Bigr)\frac{\mathrm{d}z(x)}{\mathrm{d}x} = R(x),\\
&y'_1(x) = \frac{\mathrm{d}y_1(x)}{\mathrm{d}x},
\end{align}</math>}}

に変換される。この常微分方程式は、導関数 {{math|d''z''/d''x''}} に関して一階線型常微分方程式なので、求積法で解ける。その一般解を

{{Indent|<math> z=\psi(C_1,C_2,x)~~</math>}}

とすると、二階線型常微分方程式の一般解は、

{{Indent|<math> y=y_{1}\psi(C_1,C_2,x)~~</math>}}

で与えられる。なお、{{math|''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>}} は積分定数である。
{{mvar|x}} の既知関数を含む二階線型常微分方程式で、求積法で解ける微分方程式は少ないが、
次の微分方程式などが知られている<ref name="diffequ-2005nga">長島隆廣 『常微分方程式80余例とその厳密解』 近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京　本館書庫）</ref><ref name="diffeq-198205">長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441</ref><ref name="difeq-201812ccrmap">長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または，https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358</ref>。<!-- ２．参考文献を追加記入 2020/02/06/T.N. -->

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ 求積法で解ける方程式の例<ref group="注釈">{{math|''a'' &ne; 0}} と {{math|''b'' &ne; 0}} および {{mvar|&alpha;}} と {{math|''&beta;'' &ne; 0}} は定数で、{{math|''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>}} は[[積分定数]]。</ref>
! 方程式 !! 一般解<ref name="diffequ-2005nga"/>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-xP(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0</math>||<math>y=x \Bigl\{C_1 +C_2 \int \frac{1}{\,x^2 \,}\exp \Bigl( \int\! x P(x) \,dx \Bigr)\, dx \Bigr\}</math> 
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-a(a+P(x))y=0</math>||<math>y=e^{ax}\Bigl\{C_1 +C_2\! \int \exp \Bigl(\! -2ax -\!\! \int\! P(x)\,dx \Bigr)\, dx \Bigr\}</math>
|-
| <math>P(x)\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}+(a+bx)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-by=0</math>||<math>y= C_1\!\! \int \! \! \int \!\! \frac{1}{\,P(x)\,}\exp \Bigl(\! -\!\! \int \! \frac{\,a+bx\,}{P(x)}\,dx \Bigr)\, dx\, dx +C_2\Bigl(x+\frac{a}{\,b\,}\Bigr)</math>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}^2y\,}{\mathrm{d}x^2}-\left(\frac{1}{2P(x)}\cdot\frac{\mathrm{d}P(x)}{\mathrm{d}x}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0</math>||<math>y=C_1\sin\left(\int\sqrt{P(x)}\,\mathrm{d}x\right)+C_2\cos\left(\int\sqrt{P(x)}\,\mathrm{d}x\right)</math>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}^2y\,}{\mathrm{d}x^2}-\left(\frac{1}{P(x)}\cdot\frac{\mathrm{d}P(x)}{\mathrm{d}x}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\left(P(x)\right)^2 y=0</math>||<math>y=C_1\exp\left(\int P(x)\,\mathrm{d}x\right)+C_2\exp\left(-\int P(x)\,\mathrm{d}x\right)</math>
|-
| <math>x\frac{\mathrm{d}^2 y\,}{\mathrm{d}x^2}+(\alpha + \beta x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\beta y = 0.</math>||<math>y=x^{1-\alpha}e^{-\beta x} \left( C_1 \int{}x^{\alpha-2} e^{\beta x}\,\mathrm{d}x + C_2 \right)</math>
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist|2}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 関連項目 ==
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*[[方程式]]
*[[関数方程式]]
*[[常微分方程式]]
**[[常微分方程式の数値解法]]
*[[偏微分方程式]]
**[[偏微分方程式の数値解法]]
*[[確率微分方程式]]
*[[線型微分方程式]]
*[[求積法]]
*[[変数分離]]
*[[線型性]]
*[[初期値問題]]
*[[境界値問題]]
*[[固有値問題]]
*[[安定性理論]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank}}

{{数学}}
{{Calculus topics}}
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{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ひふんほうていしき}}
[[Category:微分方程式|*]]
[[Category:解析学]]
[[Category:方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]