微分積分学の基本定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年11月}}
{{Calculus}}
'''微分積分学の基本定理'''（びぶんせきぶんがくのきほんていり、{{lang-en-short|fundamental theorem of calculus}}）とは、「[[関数 (数学)|関数]]に対する[[微分]]と[[積分]]は互いの逆操作である」 ということを主張する[[解析学]]の[[定理]]である。'''微分積分法の基本定理'''ともいう。

[[微分積分学]]の基本定理は一[[変数 (数学)|変数]]の[[関数 (数学)|関数]]に対するものだが、多変数関数への拡張は、[[ストークスの定理]]として知られる。

微分積分学の基本定理の発見以前は、[[微分法]]（[[接線|接線法]]）と[[積分法]]（[[求積法]]）は別個の問題と捉えられていた。微分積分学の基本定理は[[アイザック・ニュートン]]によって1665年頃、[[ゴットフリート・ライプニッツ]]によって1675年頃に、それぞれ独立に発見されている。当初ニュートンはこの結果を発表せず、（ニュートンより後に発見した）ライプニッツが先に公表したために先取権を巡って論争となった。

== 定理 ==
微分積分学の基本定理として知られる定理にはいくつか（等価でない）バリエーションがある。

=== 連続関数の不定積分が微分可能であること ===

{{math theorem|1=[[関数 (数学)|関数]] <math>f</math> が[[区間 (数学)|区間]] <math>I</math> 上で[[連続関数|連続]]ならば、任意の定数 <math>a \in I</math> および[[変数 (数学)|変数]] <math>x \in I</math> に対して、<math>f</math> の[[不定積分]]
:<math>F\left( x\right) := \int_{a}^{x} f\left( t\right)\, {\rm d}t</math>
は <math>x</math> に関して[[微分可能関数|微分可能]]で、
:<math>\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}F\left( x\right) =f\left(x \right)</math>
が成り立つ{{sfn|小平|2003|loc=定理4.4}}。すなわち、<math>F</math> は <math>f</math> の[[原始関数]]である。|name=微分積分学の第一基本定理}}

この定理は'''微分積分学の第一基本定理'''と呼ばれる。第一定理により、（連続）関数を積分して微分すると元に戻ることが言える。

====証明====
与えられた関数{{math|''f''}}に対して、関数{{math|''F''(''x'')}}を以下のように定める。
<math display="block">F(x) = \int_a^x f(t) \,dt</math>

閉区間{{closed-closed|''a'', ''b''}}における任意の2数{{math|''x''<sub>1</sub>}}, {{math|''x''<sub>1</sub> + Δ''x''}}について以下の式が成立する。

<math display=block>\begin{align}F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) &= \int_a^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_a^{x_1} f(t) \,dt
\\& =\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt \end{align}</math>
後者の等式は、積分の基本的な性質と面積の加法性による。

[[平均値の定理#積分の平均値定理|積分の平均値の定理]]によれば、 
<math display="block">\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f(c)\cdot \Delta x</math>
を満たす<math>c \in [x_1, x_1 + \Delta x]</math>が存在する。

よって
<math display="block">F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c)\cdot \Delta x,</math>

<math display="block">\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).</math>

極限<math>\Delta x \to 0</math>をとると、<math>c \in [x_1, x_1 + \Delta x]</math>を踏まえて、 
<math display="block">\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c), </math>
すなわち
<math display="block">F'(x_1) = f(x_1),</math>
導関数の定義、{{mvar|f}}の連続性、 [[はさみうちの原理]]による<ref>{{citation|last=Leithold|first=L.|year=1996|title=The calculus of a single variable|edition=6th| publication-place=New York|publisher=HarperCollins College Publishers|page=380}}.</ref>。

=== 導関数の定積分が区間の両端での関数値の差に等しいこと ===
{{math theorem|1=区間 <math>I</math> 上で微分可能な関数 <math>F</math> について、その[[導関数]] <math>f=\tfrac{{\rm d}F}{{\rm d}x}</math> が積分可能であるとき、任意の <math>a,\ b\in I</math> に対して
:<math>\int _{a}^{b} f\left( x\right)\,{\rm d}x =F\left( b\right) -F\left( a\right)</math>
が成り立つ。|name=微分積分学の第二基本定理}}

この定理は'''微分積分学の第二基本定理'''と呼ばれる。第二定理は、関数を微分して積分すると高々定数の差を除いて元の関数が現われることを主張する。

積分可能性に関して、通常は[[リーマン積分]]の意味で積分可能であることを要求するが、[[ルベーグ積分]]に対する基本定理も存在する（{{harvtxt|Rudin|1976|p=324}} を参照）。

<math>f</math> が連続である場合に成り立つ次の[[系 (数学)|系]]は、'''微分積分学の基本公式'''{{sfn|小平|2003|p=165}}として知られる：

{{math theorem|1=
区間 <math>I</math> 上で連続な関数 <math>f</math> について、その原始関数の一つを <math>F</math> として、
:<math>\int _{a}^{b} f\left( x\right)\,{\rm d}x =F\left( b\right) -F\left( a\right)</math>
が成り立つ{{sfn|小平|2003|loc=定理4.5}}。|name=微分積分学の基本公式}}

基本公式は原始関数の差として定積分を計算できることを主張する。第二定理と違い基本公式では被積分関数に連続性を課すが、第二定理は（積分可能であれば）不連続な関数に対しても成り立つ。

==一般化==

=== 第一基本定理の一般化 ===

微分積分学の第一基本定理において、[[関数 (数学)|関数]] <math>f</math> は、[[区間 (数学)|区間]] <math>I</math> の全体で連続である必要はなく、次のように弱められる：

{{math theorem|1=<math>a,\ x\in I</math> とし、区間 <math>I</math> 上で[[ルベーグ積分]]可能であり、<math>x_{0}\in I</math> で連続な関数 <math>f</math> について、その原始関数を

:<math>F\left( x\right) =\int _{a}^{x} f\left(t\right)\,{\rm d}t</math>

とする。この <math>F</math> は <math>x_{0}</math> 上で微分可能であり、また <math>\left.\tfrac{{\rm d}F}{{\rm d}x}\left( x\right)\right| _{x =x_{0}} = f\left( x_{0}\right)</math> が成り立つ。|name=ルベーグ積分可能な関数に対する第一定理の一般化}}

またさらに、<math>f</math> は単に局所可積分であるとした場合でも、関数 <math>F</math> は[[ほとんど至るところ]]微分可能かつほとんど至るところ <math>\tfrac{{\rm d}F}{{\rm d}x}(x) = f(x)</math> である。 

[[実数]]直線上では、この事実は[[ルベーグの微分定理]]と同値となる。これらの結果は、より大きなクラスの積分可能な関数を定める[[ヘンストック＝クルツヴァイル積分]]においても成立する。{{sfnp|Bartle|2001|loc=Thm. 4.11}}

より高い次元では、ルベーグの微分定理は、「ほとんどすべての <math>x</math> について、関数 <math>f</math> の <math>x</math> を中心とする半径 <math>r</math> の球上における平均値が、<math>r</math> が <math>0</math> に近づくとき、<math>f\left( x\right)\,</math>に近づく」という形で微積分の基本定理を一般化する。

=== 第二基本定理の一般化 ===
第二基本定理は、原始関数 <math>F</math> を持つ任意のルベーグ積分可能な関数 <math>f</math> について成り立つ。すなわち、

{{math theorem|1=閉区間 <math>\left[ a,\ b\right]</math> 上の実関数 <math>F</math> が'''すべての''' <math>x \in \left[ a,\ b\right]</math> において微分可能であり、<math>F</math> の導関数 <math>f</math> が <math>\left[ a,\ b\right]</math> 上でルベーグ積分可能ならば、
:<math>F\left( b\right) -F\left( a\right) =\int _{a}^{b} f\left( t\right)\,{\rm d}t</math>{{sfn|Rudin|1987|loc=th. 7.21}}
が成り立つ。|name=ルベーグ積分可能な関数に対する第二定理の一般化}}

この結果は連続関数 <math>F</math> が'''ほとんど至るところで'''導関数 <math>f</math> を持つ場合には成立するとは限らず、反例として[[カントール関数]]が知られている。しかし、<math>F</math> が[[絶対連続]]であり、ほとんど至るところで微分可能で、その導関数 <math>f</math> が積分可能ならば、
:<math>F\left( b\right) -F\left( a\right) = \int_{\left[a,\ b\right]} f\left( x\right)\,{\rm d}x</math>
が成り立つ。逆に、<math>f</math> を任意の積分可能な関数とすると、<math>F</math> は至るところで <math>\tfrac{{\rm d}F}{{\rm d}x} = f</math> となる絶対連続な関数となる。

この定理の条件は、積分を[[ヘンストック＝クルツヴァイル積分]]と考えることにより、更に弱められる。特に、連続関数 <math>F</math> が[[可算無限]]個の点で微分可能であるなら、導関数 <math>f</math> はヘンストック＝クルツヴァイル積分可能であり、
:<math>F\left( b\right) -F\left( a\right) =\int _{\left[a,\ b\right]} f\left( x\right)\,{\rm d}x</math>
が成り立つ。ルベーグ積分の場合との違いは、<math>f</math> の積分可能性が要求されていないことである。{{sfnp|Bartle|2001|loc=Thm. 4.7}}

=== テイラーの定理 ===
剰余項を積分形で表すバージョンの[[テイラーの定理]]は微分積分学の基本定理の一般化と見ることができる。

=== 複素線積分 ===

[[複素数]]体 <math>\mathbf{C}</math> 上の[[開集合]] <math>U</math> で定義される複素関数 <math>f: U \mapsto \mathbf{C}</math> が <math>U</math> 上で原始関数 <math>F</math> をもつとする。このとき曲線 <math>\gamma : \left[a,\ b\right] \mapsto U</math> に沿った[[線積分]]は

:<math>\int _{\gamma} f\left( z\right)\,{\rm d}z =F\left( \gamma\left( b\right)\right) -F\left( \gamma\left( a\right)\right)</math>

=== ストークスの定理 ===

微分積分学の基本定理は、高次元の線積分および面積分や、また[[多様体]]上にも一般化できる。{{仮リンク|移動面の微分積分|en|calculus of moving surfaces}}によって与えられるそのような一般化として、{{仮リンク|積分の時間発展|en|time evolution of integrals}}がある。
微分積分学の基本定理の高次元での一般化として馴染み深いものに、[[発散定理]]と{{仮リンク|勾配定理|en|gradient theorem}}がある。

この方向性での一般化として最も強力なものに[[ストークスの定理]]がある（実際ストークスの定理はときどき「[[多変数微分積分学]]の基本定理」と呼ばれる）。<ref>{{Cite book|title-link=Calculus_on_Manifolds_(book)|title=Calculus on Manifolds|last=Spivak|first=M.|publisher=W. A. Benjamin|year=1965|isbn=978-0-8053-9021-6|location=New York|pages=124–125}}</ref> 

{{math theorem|1=<math>M</math> を[[向き付け可能性|向き付け]]られた[[区分的]]に[[滑らかな関数|滑らか]]な <math>n</math> 次元の多様体、<math>\omega</math> を[[関数の台|コンパクトな台]]を持つ <math>M</math> 上の[[微分形式| <math>n-1</math> 形式]]とする。
<math>\partial M</math> が <math>M</math> から誘導された向き付きの <math>M</math> の境界なら、この多様体に対して定義される[[外微分]]を <math>{\rm d}</math> で表せば、

:<math>\int_{M} {\rm d}\omega =\int_{\partial M} \omega</math>

が成り立つ。|name=ストークスの定理}}

この定理はしばしば、<math>M</math> が微分形式 <math>\omega</math> の定義されたより大きな多様体（例えば <math>\mathbb{R}^k</math>）に埋め込まれた向き付きの[[部分多様体]]である場合に利用される。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
    |和書
    |last1              = 小平
    |first1             = 邦彦
    |authorlink1        = 小平邦彦
    |year               = 2003
    |title              = 解析入門 I
    |edition            = 軽装版
    |publisher          = 岩波書店
    |isbn               = 4-00-005192-X
    |ref                = harv
}}
* {{cite book
    |last1              = Rudin
    |first1             = W.
    |authorlink1        = Walter Rudin
    |year               = 1976
    |title              = Principles of Mathematical Analysis
    |edition            = Third
    |publisher          = McGraw-Hill
    |isbn               = 0-07-085613-3
    |mr                 = 
    |zbl                = 0346.26002
    |ref                = harv
}}

== 関連項目 ==
* [[代数学の基本定理]]
* [[ポアンカレの補題]] - <math> H^1(\mathbb R^1) = 0 </math>
* [[微分積分学]]
* [[解析学]]
* [[原始関数の一覧]]
* [[三角関数の原始関数の一覧]]
* [[逆三角関数の原始関数の一覧]]
* [[対数関数の原始関数の一覧]]
* [[積の微分法則]]
* [[商の微分法則]]
* [[対数微分]]
* [[微分の記法]]

{{Calculus topics}}
{{Analysis-footer}}

{{DEFAULTSORT:ひふんせきふんかくのきほんていり}}
[[Category:微分積分学の定理]]
[[Category:実解析の定理]]
[[Category:基本定理]]
[[Category:数学に関する記事]]