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{{要改訳}}
'''志村多様体'''（Shimura variety）とは代数多様体であって[[モジュラー曲線]]の高次元化とみなせるような整数論で重要な対象である。有理数体上の[[簡約群|簡約代数群]]の{{仮リンク|合同部分群|en|congruence  subgroup}}(congruence  subgroup)による{{仮リンク|エルミート対称空間|en|Hermitian symmetric space}}(Hermitian symmetric space)の商として定義される。{{仮リンク|ヒルベルトモジュラ曲面|en|Hilbert modular surface}}や{{仮リンク|ジーゲルモジュラ形式|label=ジーゲルモジュラ多様体|en|Siegel modular form}}は志村多様体の例である。

志村多様体ははじめ[[志村五郎]]により[[虚数乗法]]論の一般化の中で導入された。志村は解析的に定義されたその多様体が数論的な対象であることを示した。すなわち、志村多様体は'''反射体'''とよばれる[[数体]]の上定義される。1970年代に、[[ピエール・ルネ・ドリーニュ|ピエール・ドリーニュ]](Pierre Deligne)は、志村の仕事の公理的なフレームワークを作り出した。同時期に[[ロバート・ラングランズ]](Robert Langlands)は、[[ラングランズ・プログラム]]の文脈において、{{仮リンク|モチーフ的L-函数|en|Motivic L-function}}(Motivic L-function)と[[保型形式のL-函数]]の対応のある例を志村多様体が作り上げることに注目した。志村多様体の[[コホモロジー]]の中に現れる[[保型形式]]は、一般的な保型形式よりも研究しやすい。たとえば、保型形式に対応する[[ガロア表現]]を構成することができる。

== 定義 ==

=== 志村データ ===

S = Res<sub>'''C'''/'''R'''</sub> G<sub>m</sub> を[[複素数]]から[[実数]]への乗法群の{{仮リンク|ヴェイユの制限|en|Weil restriction}}(Weil restriction)<ref>L/k を体の有限拡大とし、X を L 上に定義された代数多様体とする。k-[[概型|スキーム]](schemes)<sup>op</sup> から集合への函手 <math>\mathrm{Res}_{L/k}X</math> を次のように定義する。

:<math>\mathrm{Res}_{L/k}X(S) = X(S \times_k L).</math>

（特に、<math>\mathrm{Res}_{L/k}X</math> の [[k-有理点]]は、X の L-有理である。この函手を{{仮リンク|表現函手|label=表現|en|representable functor}}する多様体をスカラーの制限といい、もし存在すれば一意に決定する。この函手 <math>\mathrm{Res}_{L/k}</math> を'''ヴェイユの制限'''(Weil restriction)と言う。</ref>とする。これは実[[代数群]]であり、群は '''R'''-点で、S('''R''') は '''C'''<sup>*</sup> で、'''C'''-点の群は '''C'''<sup>*</sup>&times;'''C'''<sup>*</sup> である。'''志村データ'''(Shimura datum)は、[[有理数]]体 '''Q''' 上で定義された[[簡約群|簡約代数群]] G と、次の公理を満たす[[群準同型]] ''h'': S &rarr; G<sub>'''R'''</sub> の G('''R''')-[[共役類]] X からなるペア (G, X) である。

* X の任意の h でウェイト(weight)が (0,0), (1,&minus;1), (&minus;1,1) のものは、g<sub>'''C'''</sub> の中にある、つまり、複素化された G の[[リー代数]]は下記の直和に分解する。

:: <math>\mathfrak{g}\otimes\mathbb{C}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}^{+}\oplus\mathfrak{p}^{-},</math>

:ここに、任意の z &isin; S に対して、h(z) は最初の加える数に自明に作用し、<math>z/\bar{z}</math> (それぞれ <math>\bar{z}/z</math>）を通して第二の（第三の）加える数（第三の和）へそれぞれ作用する。
<!---== Definition ==

=== Shimura datum ===

Let ''S'' = Res<sub>'''C'''/'''R'''</sub> ''G''<sub>''m''</sub> be the [[Weil restriction]] of the multiplicative group from [[complex numbers]] to [[real numbers]]. It is a real [[algebraic group]], whose group of '''R'''-points, ''S''('''R'''), is '''C'''<sup>*</sup> and group of '''C'''-points is '''C'''<sup>*</sup>&times;'''C'''<sup>*</sup>. A '''Shimura datum''' is a pair (''G'', ''X'') consisting of a [[reductive algebraic group]] ''G'' defined over the field '''Q''' of [[rational numbers]] and a ''G''('''R''')-[[conjugacy class]] ''X'' of [[group homomorphism|homomorphisms]] ''h'': ''S'' &rarr; ''G''<sub>'''R'''</sub> satisfying the following axioms:

* For any ''h'' in ''X'', only weights (0,0), (1,&minus;1), (&minus;1,1) may occur in ''g''<sub>'''C'''</sub>, i.e. the complexified Lie algebra of ''G'' decomposes into a direct sum

:: <math>\mathfrak{g}\otimes\mathbb{C}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}^{+}\oplus\mathfrak{p}^{-},</math>

:where for any ''z'' &isin; ''S'', ''h''(''z'') acts trivially on the first summand and via <math>z/\bar{z}</math> (respectively, <math>\bar{z}/z</math>) on the second (respectively, third) summand.-->

* h(i) の随伴作用は{{仮リンク|カルタン対合|en|Cartan involution}}(Cartan involution)を G<sub>'''R'''</sub> の随伴群上に引き起こす。

* G<sub>'''R'''</sub> の随伴群は、H 上で h の射影が自明となるような '''Q''' 上に定義された要素 H を持たない。

これらの公理から X は一意な[[複素多様体]]の構造（離散的でもよい）を持ち、全ての表現 &rho;: G<sub>'''R'''</sub> &rarr; GL(V) に対して、族 (V,&nbsp;&rho;&nbsp;&sdot;&nbsp;h) が[[ホッジ構造]]の正則な族をなし、さらに、ホッジ構造の変形を形成し、X は{{仮リンク|エルミート対称空間|en|hermitian symmetric domain}}(hermitian symmetric domain)の有限個の合併となることを示すことができる。
<!---* The adjoint action of h(''i'') induces a [[Cartan involution]] on the adjoint group of ''G''<sub>'''R'''</sub>.

* The adjoint group of ''G''<sub>'''R'''</sub> does not admit a factor ''H'' defined over '''Q''' such that the projection of ''h'' on ''H'' is trivial.

It follows from these axioms that ''X'' has a unique structure of a [[complex manifold]] (possibly, disconnected) such that for every representation ''&rho;'': ''G''<sub>'''R'''</sub> &rarr; ''GL''(''V''), the family (''V'',&nbsp;''&rho;''&nbsp;&sdot;&nbsp;''h'') is a holomorphic family of [[Hodge structure]]s; moreover, it forms a variation of Hodge structure, and ''X'' is a finite disjoint union of [[hermitian symmetric domain]]s.-->

=== 志村多様体 ===

'''A'''<sub>&fnof;</sub> を '''Q''' の[[アデール環]]とする。十分に小さなコンパクトな G('''A'''<sub>&fnof;</sub>) の開部分集合 K に対して、{{仮リンク|両側コセット|en|double coset}}空間

: <math>Sh_K(G,X) = G(\mathbb{Q})\backslash X\times G(\mathbb{A}_f)/K </math>

は、&Gamma; \ X<sup>+</sup> の形をした{{仮リンク|局所対称多様体|en|locally symmetric variety}}の有限個の合併である。ここに、プラスの添字は[[連結空間|連結成分]]を表している。多様体 Sh<sub>K</sub>(G,X') は複素代数多様体で、それらは十分に小さなコンパクト開部分空間 K のすべてに対し、函手として[[:en:inverse system|逆極限]]<ref>カテゴリ論の中で、[[射影極限]]に相当する。「逆極限」という用語を用いた．</ref>を形成する。この逆極限

: <math>(Sh_K(G,X))_K</math>

は、自然に右作用 G('''A'''<sub>&fnof;</sub>) が作用する。これを志村データ (G, X) に関する'''志村多様体'''といい、Sh(G, X) で表す。
<!---=== Shimura variety ===

Let '''A'''<sub>''&fnof;''</sub> be the [[adele ring|ring of adeles]] of '''Q'''. For any sufficiently small compact open subgroup ''K'' of ''G''('''A'''<sub>''&fnof;''</sub>), the [[double coset]] space

: <math>Sh_K(G,X) = G(\mathbb{Q})\backslash X\times G(\mathbb{A}_f)/K </math>

is a finite disjoint union of [[locally symmetric variety|locally symmetric varieties]] of the form ''&Gamma;'' \ ''X''<sup>+</sup>, where the plus superscript indicates a [[connected component (topology)|connected component]]. The varieties ''Sh''<sub>''K''</sub>(''G'',''X'') are complex algebraic varieties and they form an [[inverse system]] over all sufficiently small compact open subgroups ''K''. This inverse system

: <math>(Sh_K(G,X))_K</math>

admits a natural right action of ''G''('''A'''<sub>''&fnof;''</sub>). It is called the '''Shimura variety''' associated with the Shimura datum (''G'', ''X'') and denoted ''Sh''(''G'', ''X'').-->

== 歴史 ==

エルミート対称空間の特別なタイプと[[合同群]] &Gamma; に対し、<math>\Gamma\backslash X = Sh_K(G,X)</math> の形の[[代数多様体]]とその{{仮リンク|バイリー・ボレルのコンパクト化|en|Baily–Borel compactification}}(Baily–Borel compactification)は、1960年代に一連の[[志村五郎]]の論文で導入された。後日、彼のモノグラフとして出版されているが、志村のアプローチは、[[虚数乗法]]論の相反法則の最大限の一般化を追求する研究で、現象的にも広い範囲に及ぶ。時代は遡るが、「志村多様体」と言う命名は[[ピエール・ルネ・ドリーニュ|ピエール・ドリーニュ]](Pierre Deligne)が導入し、彼は志村理論の中で独立した抽象的な形をしている部分の研究を推し進めた。ドリーニュの定式化では、志村多様体は[[ホッジ構造]]のあるタイプのパラメータ空間である。このようにして、彼らは、レベル構造を持つ[[楕円曲線]]の[[モジュライ空間]]がそうであったように、モジュラ曲線の自然に高次元への一般化を作り出した。多くの場合、志村多様体が解であるようなモジュライ問題は同一視することができる。
<!---== History ==

For special types of hermitian symmetric domains and [[congruence subgroup]]s ''&Gamma;'', [[algebraic varieties]] of the form ''&Gamma;'' \ ''X'' = ''Sh''<sub>''K''</sub>(''G'',''X'') and their [[Baily–Borel compactification|compactifications]] were introduced in a series of papers of [[Goro Shimura]] during the 1960s. Shimura's approach, later presented in his monograph, was largely phenomenological, pursuing the widest generalizations of the reciprocity law formulation of [[complex multiplication]] theory. In retrospect, the name "Shimura variety" was introduced by [[Pierre Deligne|Deligne]], who proceeded to isolate the abstract features that played role in Shimura's theory. In Deligne's formulation, Shimura varieties are parameter spaces of certain types of [[Hodge structure]]s. Thus they form a natural higher-dimensional generalization of [[modular curve]]s viewed as [[moduli space]]s of [[elliptic curve]]s with level structure. In many cases, the moduli problems to which Shimura varieties are solutions have been likewise identified.-->

== 例 ==

F を総実な数体とし、D を F 上の[[四元数環|四元数]]の[[多元体|斜体]]とする。乗法群 D<sup>&times;</sup> は標準的な志村多様体を引き起こす。その次元 d は D が分解する無限の座(place)の数である。特に、d = 1 （例えば、F = '''Q''' や D &otimes; '''R''' &cong; M<sub>2</sub>('''R''')）のとき、D<sup>&times;</sup> の十分小さな{{仮リンク|算術的部分群|en|arithmetic subgroup}}(arithmetic subgroup)を固定すると、志村曲線を得ることができ、この構成から得られる曲線は既にコンパクトである（すなわち、[[射影多様体|射影的]]）。

明らかに方程式が知られている志村曲線の例は、以下の括弧の中の種数の{{仮リンク|フルヴィッツ曲線|en|Hurwitz curve}}(Hurwitz curve)である。

* {{仮リンク|クラインの4次曲面|en|Klein quartic}}(Klein quartic) (種数 3)
* {{仮リンク|マクベス曲面|en|Macbeath surface}}(Macbeath surface) (種数 7)
* {{仮リンク|第一フルヴィッツトリプレット曲面|en|First Hurwitz triplet}}(First Hurwitz triplet) (種数 14)

と、次数 7 の{{仮リンク|フェルマー曲線|en|Fermat curve}}(Fermat curve)である。<ref>Elkies, section 4.4 (pp. 94–97) in {{Harv|Levy|1999}}.</ref>

志村多様体の他の例は、{{仮リンク|ピカールモジュラ曲面|en|Picard modular surface}}(Picard modular surface)や{{仮リンク|ヒルベルト・ブレメンタール多様体|en|Hilbert–Blumenthal varieties}}(Hilbert–Blumenthal varieties)がある。
<!---== Examples ==

Let ''F'' be a totally real number field and ''D'' a [[quaternion algebra|quaternion]] [[division algebra]] over ''F''. The multiplicative group ''D''<sup>&times;</sup> gives rise to a canonical Shimura variety. Its dimension ''d'' is the number of infinite places over which ''D'' splits. In particular, if ''d'' = 1 (for example, if ''F'' = '''Q''' and ''D'' &otimes; '''R''' &cong; M<sub>2</sub>('''R''')), fixing a sufficiently small [[arithmetic subgroup]] of ''D''<sup>&times;</sup>, one gets a Shimura curve, and curves arising from this construction are already compact (i.e. [[projective curve|projective]]).

Some examples of Shimura curves with explicitly known equations are given by the [[Hurwitz curve]]s of low genus:

* [[Klein quartic]] (genus 3)
* [[Macbeath surface]] (genus 7)
* [[First Hurwitz triplet]] (genus 14)

and by the [[Fermat curve]] of degree 7.<ref>Elkies, section 4.4 (pp. 94–97) in {{Harv|Levy|1999}}.</ref>

Other examples of Shimura varieties include [[Picard modular surface]]s and [[Hilbert–Blumenthal varieties]].-->

== 標準モデルと特殊点 ==

各々の志村多様体は、'''反射体'''と言われる標準的な[[数体]] E の上に定義することができる。志村多様体は解析的に（すなわち複素多様体として）定義されるが、このことから数論的な重要性を持っていることが示唆される。志村多様体は相互法則の志村による定式化の出発点を形成し、そこで'''特殊点'''とよばれる点が数論的に重要な役割を担う。

志村多様体上の特殊点の集合の[[ザリスキー位相|ザリスキー閉包]]の性質は、{{仮リンク|アンドレ・オールト予想|en|Andre-Oort conjecture}}(André-Oort conjecture)により記述される。[[一般化されたリーマン予想]]を前提として、条件付きの結果としてこの予想が得られる。<ref>http://people.math.jussieu.fr/~klingler/papiers/KY12.pdf</ref>

== ラングランズプログラムの中の役割 ==

志村多様体は[[ラングランズ・プログラム]]の中で際立った役割を果たす。典型的な定理として、[[アイヒラー・志村の合同関係式]]があり、これはモジュラー曲線の[[ハッセ・ヴェイユのゼータ函数]]が、明示的にあたえられるウェイト 2 の[[モジュラ形式]]のL-函数の積であることを意味している。実際、この定理の一般化の過程で、志村五郎はこの多様体を導入し、彼の相反法則を証明した。他の数体上の群 GL<sub>2</sub>およびその内部形式（つまり四元数の乗法群）からさだまる志村多様体のゼータ函数は、アイヒラー(Eichler)、志村、久賀、伊原により研究された。彼らの結果を基礎として、[[ロバート・ラングランズ]](Robert Langlands)は次の予想を立てた。ある数体上に定義された任意の代数多様体 W のハッセ・ヴェイユのゼータ函数は、保型形式のL-函数の積となるのではないだろうか、すなわち、[[保型表現]]の集まりから発生するはずである。しかし、このタイプの記述は哲学的な性質であるが、W が志村多様体のときは証明されている。<ref>評価：多くの例が知られていて、志村多様体から「来た」という意味は、少し抽象的な意味となっている．</ref> ラングランズのことばから引用する。

{{cquote|志村多様体に付随する全てのL-函数が - 従って、志村多様体によって定義されたモチーフが、- [彼の1970年の論文の意味での]保型形式のL-函数で表現可能であるということは、全てのモチーフのL-函数が保型形式のL-函数であるということを示すことに比べ、格段に弱い。しかも、より強い命題は、そこでは、有効であると期待されているにもかかわらず、今まで私の知る限り、全てのモチーフのL-函数が志村多様体にひもづけられていると期待する理由は見当たらない。<ref>[http://publications.ias.edu/rpl_works/L9/shimura/sscomments-ps.pdf, at p. 3.]</ref>}}
<!---== Role in the Langlands program ==

Shimura varieties play an outstanding role in the [[Langlands program]]. The prototypical theorem, the [[Eichler–Shimura congruence relation]], implies that the [[Hasse-Weil zeta function]] of a modular curve is a product of L-functions associated to explicitly determined [[modular form]]s of weight 2. Indeed, it was in the process of generalization of this theorem that Goro Shimura introduced his varieties and proved his reciprocity law. Zeta functions of Shimura varieties associated with the group ''GL''<sub>2</sub> over other number fields and its inner forms (i.e. multiplicative groups of quaternion algebras) were studied by Eichler, Shimura, Kuga, Sato, and Ihara. On the basis of their results, [[Robert Langlands]] made a prediction that the Hasse-Weil zeta function of any [[algebraic variety]] ''W'' defined over a number field would be a product of positive and negative powers of automorphic L-functions, i.e. it should arise from a collection of [[automorphic representation]]s. However philosophically natural it may be to expect such a description, statements of this type have only been proved when ''W'' is a Shimura variety.<ref>Qualification: many examples are known, and the sense in which they all "come from" Shimura varieties is a somewhat abstract one.</ref> In the words of Langlands:

{{cquote|To show that all L-functions associated to Shimura varieties – thus to any motive defined by a Shimura variety – can be expressed in terms of the automorphic L-functions of [his paper of 1970] is weaker, even very much weaker, than to show that all motivic L-functions are equal to such L-functions. Moreover, although the stronger statement is expected to be valid, there is, so far as I know, no very compelling reason to expect that all motivic L-functions will be attached to Shimura varieties.<ref>[http://publications.ias.edu/rpl_works/L9/shimura/sscomments-ps.pdf, at p. 3.]</ref>}}-->

== 脚注 ==

{{Reflist}}

== 参考文献 ==

{{refbegin}}
*{{citation | last1=Alsina | first1=Montserrat | last2=Bayer | first2=Pilar | title=Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves | series=CRM Monograph Series | volume=22 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2004 | isbn=0-8218-3359-6 | zbl=1073.11040 }}
* James Arthur, David Ellwood, and Robert Kottwitz (ed) [http://www.claymath.org/publications/Harmonic_Analysis ''Harmonic Analysis, the Trace Formula and Shimura Varieties''], Clay Mathematics Proceedings, vol 4, AMS, 2005 ISBN 978-0-8218-3844-0
* Pierre Deligne, ''Travaux de Shimura.'' Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. No. 389, pp.&nbsp;123–165. Lecture Notes in Math., Vol. 244, Springer, Berlin, 1971. {{MathSciNet|id=0498581}}, [http://www.numdam.org/item?id=SB_1970-1971__13__123_0 Numdam]
* Pierre Deligne, ''Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques,'' in ''Automorphic forms, representations and L-functions'', Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), Part 2, pp.&nbsp;247–289, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979. {{MathSciNet|id=0546620}}
* Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi, ''Hodge cycles, motives, and Shimura varieties.'' Lecture Notes in Mathematics, 900. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ii+414 pp. ISBN 3-540-11174-3 {{MathSciNet|id=0654325}}
*{{Citation | editor1-last=Levy | editor1-first=Silvio | title=The eightfold way | url=http://www.msri.org/communications/books/Book35/index.html | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Mathematical Sciences Research Institute Publications | isbn=978-0-521-66066-2 | mr=1722410 | zbl=0941.00006 | year=1999 | volume=35 | postscript =, [http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?ISBN=9780521004190 paperback edition] by Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. [http://www.maa.org/reviews/eightfold.html Read This: The Eightfold Way, reviewed by Ruth Michler].}}
*{{SpringerEOM|title=Shimura variety|last=Milne|first=J.S. |urlname=Shimura_variety}}
*J. Milne,   ''Shimura varieties and motives'', in U. Jannsen, S. Kleiman. J.-P. Serre (ed.), ''Motives'', Proc. Symp. Pure Math, 55:2, Amer. Math. Soc. (1994), pp.&nbsp;447–523
*[[James Milne (mathematician)|J. S. Milne]],  [http://www.jmilne.org/math/articles/2005aX.pdf Introduction to Shimura varieties], in Arthur, Ellwood, and Kottwitz (2005)
*Harry Reimann, ''The semi-simple zeta function of quaternionic Shimura varieties'', Lecture Notes in Mathematics, 1657, Springer, 1997
*Goro Shimura, ''The Collected Works of Goro Shimura'' (2003), vol 1–5
*Goro Shimura ''Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions''
{{refend}}

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