情報系のソースを表示

[[確率論]]の一分野、[[確率過程|確率過程論]]において、'''情報系'''（じょうほうけい、{{Lang-en-short|filtration}}）は与えられた任意の時刻で利用可能な情報をモデル化するのに用いられ、ランダムな過程を厳密に定式化する上で重要な役割を果たす。

== 定義 ==
<math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> を[[確率空間]]、<math> I </math> を[[全順序]] <math> \leq </math> を備えた[[添字集合]]とする（<math> \N </math>, <math> \R^+ </math>, または<math> \mathbb R^+ </math> の部分集合であることが多い）。

任意の <math> i \in I </math> について <math> \mathcal F_i </math> は <math> \mathcal A </math> の[[完全加法族|部分 ''σ''-加法族]]とする。このとき
:<math> \mathbb F:= (\mathcal F_i)_{i \in I} </math>

は、任意の<math> k \leq \ell </math> に対し <math> \mathcal F_k \subseteq \mathcal F_\ell \subseteq \mathcal A </math> を満たすとき、'''情報系'''という。よって、情報系とは非減少的に順序付けられた ''σ''-加法族の集まりのことである<ref name="Klenke191" />。<math> \mathbb F </math> が情報系であるとき、<math> (\Omega, \mathcal A, \mathbb F, P) </math> を'''フィルター付き確率空間'''（filtered probability space）または'''確率基底'''(stochastic basis)という<ref>{{Cite book|洋書 |title=Limit Theorems for Stochastic Processes |year=2003 |publisher=Springer Berlin, Heidelberg |page=2 |author=Jean Jacod and Albert N. Shiryaev |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-05265-5 |edition=2 |series=Grundlehren der mathematischen Wissenschften |volume=288}}</ref>。

== 例 ==
<math> (X_n)_{n \in \N} </math> を確率空間 <math>  (\Omega, \mathcal A, P)  </math> 上の確率過程とする。このとき 
:<math> \mathcal F_n:=\sigma(X_k \mid k \leq n) </math>

は ''σ''-加法族であり、<math> \mathbb F= (\mathcal F_n)_{n \in \N} </math> は情報系になる。ここで <math> \sigma(X_k  \mid k \leq n) </math> は[[確率変数]]列 <math> X_1, X_2, \dots, X_n </math> によって[[完全加法族|生成されたσ-加法族]]を表す。

<math> \mathcal F_n </math> が ''σ''-加法族で
:<math> \sigma(X_k \mid k \leq n) \subseteq \sigma(X_k \mid k \leq n+1)</math>
だから、<math> \mathbb F </math> は確かに情報系になっている。

== 情報系のタイプ ==
=== 右連続情報系 ===
<math> \mathbb F= (\mathcal F_i)_{i \in I} </math> が情報系のとき、対応する'''右連続情報系'''（right-continuous filtration）が
:<math> \mathbb F^+:= (\mathcal F_i^+)_{i \in I} </math>
と定義される<ref name="Kallenberg350" />。ここで
:<math> \mathcal F_i^+:= \bigcap_{i < z} \mathcal F_z </math>
とする。情報系 <math> \mathbb F </math> は <math> \mathbb F^+ = \mathbb F </math> を満たすとき、右連続であるという<ref name="Klenke462" />。

=== 完備情報系 ===
:<math> \mathcal N_P:= \{A \in \mathcal P(\Omega) \mid A \subset B \text{ for a } B \text{ with } P(B)=0 \} </math>
を <math> P </math>-[[測度論|零集合]]とする。

情報系 <math> \mathbb F= (\mathcal F_i)_{i \in I} </math> は、任意の <math> \mathcal F_i </math> が <math> \mathcal N_P </math> を含むとき'''完備情報系'''（complete filtration）であるという。これは任意の <math> i \in I </math> に対し <math> (\Omega, \mathcal F_i, P) </math> が[[完備測度|完備測度空間]]であることと等価である。

=== 拡大情報系 ===
情報系は右連続かつ完備のとき'''拡大情報系'''（augmented filtration）という。任意の情報系 <math> \mathbb F </math> に対し最小の拡大情報系 <math> \tilde {\mathbb F} </math>  が存在する。

情報系が拡大情報系であるとき、フィルター付き確率空間 '''<math> (\Omega, \mathcal A, \mathbb F, P) </math>''' は'''完備'''(complete)である，または'''通常の仮定'''（usual hypothese）あるいは'''通常の条件'''（usual condition）が満たされているという<ref name="Klenke462" />。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|自然情報系|en|Natural filtration}}

== 脚注 ==
<references>
<ref name="Kallenberg350" >{{cite book |last1=Kallenberg |first1=Olav |author-link1=Olav Kallenberg |year=2017  |title=Random Measures, Theory and Applications|location= Switzerland |publisher=Springer |doi= 10.1007/978-3-319-41598-7|isbn=978-3-319-41596-3|page=350-351}} </ref>
<ref name="Klenke191" >{{cite book |last1=Klenke |first1=Achim |year=2008  |title=Probability Theory |location=Berlin |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-84800-048-3 |isbn=978-1-84800-047-6|page=191 }} </ref>
<ref name="Klenke462" >{{cite book |last1=Klenke |first1=Achim |year=2008  |title=Probability Theory |location=Berlin |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-84800-048-3 |isbn=978-1-84800-047-6|page=462 }} </ref>
</references>

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