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{{Otheruses|回転楕円体の扁平率|タイヤの偏平率|タイヤ#表示}}
'''扁平率'''（へんぺいりつ、扁率、扁平度とも、flattening, oblateness）とは、[[楕円]]もしくは[[回転楕円体]]が、[[円 (数学)|円]]もしくは[[球]]に比べてどれくらい扁平か（つぶれているか）を表す値である。円もしくは球では値が 0 である。つぶれるに従って値は 1 に近づく。

楕円または回転楕円体の長半径を ''a''、短半径を ''b'' とすると、扁平率<math>f</math>は
:<math>f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}</math>
で定義される。 {{Math|(''a'' - ''b'') : ''a''}} のように比の形で表すこともある。[[楕円#楕円率|楕円率]] ''ε'' を使えば
: {{Math|1= ''f'' = 1 - ''ε''}}
とも書ける。

自転する天体の場合、[[遠心力]]によって赤道半径が極半径に比べて大きい[[扁球]]となる。したがって ''a'' が赤道半径、''b'' が極半径となる。[[地球楕円体]]の扁平率としては、[[GRS80]]（[[測地系]]）のパラメータ値が用いられることが多い。

== 第一扁平率 ==
冒頭で定義された扁平率 <math>f</math>は“第一扁平率”と称される。

== 第二扁平率 ==
次のように定義される第二扁平率 <math>f^\prime</math>も用いられる。
:<math>f'=\frac{a-b}{b}=\frac{f}{1-f}</math>

== 第三扁平率 ==
また第三扁平率 <math>f^{\prime\prime}</math> も用いられ、<math>n</math>と表記されることもある。古くは[[フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル]]が[[子午線弧#子午線弧長の計算|子午線弧長の計算]]に用いていることが認められる。<!-- ''n'' を[[子午線弧#子午線弧長の計算|子午線弧長の計算]]に使用している記述が[[1837年]]の論文中に認められる。-->
:<math>f''=\frac{a-b}{a+b}=\frac{f}{2-f}</math>
:<math>
\begin{align}
 n&=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}}  = \frac{1}{4} e^2 + \frac{1}{8} e^4 + \cdots\\
  e^2 &= \frac{4 n}{\left(1+n\right)^2}
\end{align}
</math>

== 離心率との関係 ==
楕円の<!--扁平率は、長半径 ''a'' と短半径 ''b'' の比のみによって定まる値であり、-->[[離心率]]<math>e</math>との関係は、
:<math>e \triangleq \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{f(2-f)}</math>
となる。
<!--も同様であるため、扁平率と離心率の一方が与えられると、もう一方の値も定まる。実際、扁平率 ''f'' と離心率 ''e'' の間には関係式
:<math>e^2=f(2-f)\,</math>
が成り立つ。-->

例えば、扁平率が 0.1 の楕円の離心率はおよそ 0.43 である。離心率も扁平率と同様に、真円で 0 となり、つぶれるに従って 1 に近づくが、こちらは一般の[[円錐曲線]]に対する概念である。

== 地球の扁平率 ==
{{main|地球楕円体}}
地球の扁平率としては、'''陸域'''の[[測地系]]では全世界的に[[GRS80]]のパラメータ値が用いられる。日本の'''陸地'''測量の基準も同様である。ただし、未だに[[GRS80]]以外の古い測地系を用いている開発途上国がある。

赤道半径（＝長半径） a = 6 378 137m（正確に）

扁平率　:<math>f=\frac{1}{298.257\ 222\ 101}</math>（正確に）

この定義から、極半径 b = 6 356 752.314 140 356 m （近似値）となる<ref group="注釈">地球の場合、表面に凹凸があって完全な回転楕円体ではないため、計測の仕方によってこの値は若干変わりうる。しかし測量の基準としては唯一の数値を定めておかなければならない。</ref><ref group="注釈">扁平率は、0.003 352 810 681 182 318 935 434（近似値）となる、
また、[[離心率]]の2乗 e^2 = f(2-f)であるから、e^2 = 0.006 694 380 022 900 788（近似値）、
[[離心率]] e　は、0.081 819 191 042 815 790（近似値）、[[アスペクト比]]（[[:en:Aspect ratio|Aspect ratio]]）は、 <math>=b/a=</math> 0.996 647 189 318 817 705（近似値）となる。</ref>。

日本では以上の基準は、日本の'''陸地'''における測量の基準を定めている[[測量法]]施行令第3条において、地球の赤道半径（[[測量法]]では「長半径」）と扁平率を上記の[[GRS80]]と同じ値で定義している<ref>[https://laws.e-gov.go.jp/law/324CO0000000322#Mp-At_3 測量法施行令第3条（e-Gov法令検索）]</ref><ref>{{Cite web|和書|url=https://www.gsi.go.jp/sokuchikijun/datum-main.html#p2 |title=日本の測地系 測地系と準拠楕円体 |access-date=2022-08-28 |publisher=[[国土地理院]]}}</ref>。

=== 海図における扁平率（WGS84) ===
[[海図]]など'''海域'''における測量の基準としては、赤道半径（＝長半径）は同一だが、扁平率については[[WGS84]]測地系と呼ばれる別の測地系に基づくものが、全世界的に使用されている。この値は、[[GRS80]]とはごくわずかに異なっている。

:<math>f=\frac{1}{298.257\ 223\ 563}</math>

このWGS84における極半径は b = 6 356 752.314 245 179m（近似値）となり、[[GRS80]]に比べて、約0.105 mmだけ長いが、実用上は全く問題とはならない差である<ref group="注釈">[[WGS84]]も[[GRS80]]を基にしたものではあるが、数値の導出過程が異なっているために、扁平率が微妙に異なってしまった。すなわち、扁平率を決定するに当たって、正規化された2次の帯調和重力係数から計算により導出した際に、基となる[[GRS80]]の力学的形状係数''J''<sub>2</sub>の有効数字を8桁で打ち切ったために、9桁目以降から差が発生したのである。</ref>。

日本ではこの扁平率は、海図などの'''海域'''における測量の基準を定めている（[[水路業務法]]施行令第2条第2号において規定されている<ref group="注釈">[[水路業務法]]施行令第2条による扁平率 f は、0.003 352 810 664 747 481（近似値）となる。なお、[[WGS84]]の扁平率の値（及びそこから派生する量の値）は有効数字の観点からはその9桁目以降は意味を持たないのであるが、法令によって（12桁の）数値が定義されている以上、有効数字の議論を超えて「法令上は」意味があることに留意しなければならない。</ref>）。

=== 地球の赤道面の扁平率 ===
測量の基準とする[[地球楕円体]]では、[[赤道]]面は正円と仮定している。しかし、現実の地球の赤道面は正円ではない。赤道面楕円の扁平率（f1）は、

<math>f1=\frac{1}{91 026}</math>

であり、その長軸の向き（λ1）は、西経14.9291±0.0010°である<ref>理科年表（2014年）、国立天文台、p.579、2013年11月30日発行</ref>。

== 他の天体の扁平率 ==
[[ファイル:Saturn_during_Equinox.jpg|thumb|土星は太陽系の惑星の中で最大の扁平率を持つ。]]
[[太陽]]は極めて球に近く、その扁平率はおよそ {{val|9|e=-6|u=}}とされる。[[太陽系]]の[[惑星]]の扁平率は、[[水星]]が 0.0006 未満、[[金星]]が 0.0002 未満、地球が前述の通りおよそ 0.0033528、[[火星]]が 0.00589 &#177; 0.00015、[[木星]]が 0.06487 &#177; 0.00015、[[土星]]が 0.09796 &#177; 0.00018、[[天王星]]が 0.0229 &#177; 0.0008、[[海王星]]が 0.0171 &#177; 0.0013 である。自転時間が長く、密度の大きい岩石質の固体で構成されている[[地球型惑星]]で比較的小さく、自転時間が短く、密度が極めて小さいガス質の気体で構成されている[[木星型惑星]]で比較的大きい傾向にある。扁平率が大きい土星は、倍率がそれほど大きくない[[天体望遠鏡]]でも、扁平であることが視認できる。実際、土星の極半径が約 54,364km であるのに対し、赤道半径は約 60,268km である。

== 注釈 ==
<references group="注釈"/>
==出典==
<references />

== 関連項目 ==
* [[測地学]]
* [[地球楕円体]]

== 参考文献 ==
* [http://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/tr8350_2.html 国家画像地図局（現 アメリカ国家地球空間情報局）技術報告8350.2], 7.3節
* König, R. and Weise, K. H. (1951): ''Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie'', Band 1, Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
* Ганьшин, В. Н. (1967): ''Геометрия земного эллипсоида'', Издательство «Недра», Москва
* Bessel, F. W. (1837): [https://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1837AN.....14..333B&amp;data_type=PDF_HIGH&amp;whole_paper=YES&amp;type=PRINTER&amp;filetype=.pdf Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht], Astronomische Nachrichten, '''14''', 333-346

{{DEFAULTSORT:へんへいりつ}}
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[[Category:地球物理学]]
[[Category:測量]]
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[[Category:率・割合]]