扁球のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年5月}}
[[Image:Ellipse axis.png|250px|right|thumb|扁球は[[楕円]]の短軸を[[回転軸]]とした[[回転体]]]]
[[Image:OblateSpheroid.PNG|250px|right|thumb|扁球]]
'''扁球'''（へんきゅう、oblate, oblate spheroid、別名：'''偏楕円体'''、'''扁平楕円体'''）とは、[[楕円]]をその短軸を[[回転軸]]として回転したときに得られる[[回転体]]である。扁球は3径のうち長い2径の長さが等しい[[楕円体]]とも定義できる。言い換えれば、扁球は短半径が極半径、長半径が赤道半径の[[回転楕円体]]である。

これに対し、楕円をその長軸を回転軸として回転したときに得られる回転体を[[長球]]という。

==扁球の方程式==

長半径''a''、短半径''b''の扁球の[[内部]]の点 (''x'', ''y'', ''z'') は次の式を満たす。

:<math>\left( \frac{x}{a} \right)^2 +\left( \frac{y}{a} \right)^2 +\left( \frac{z}{b} \right)^2 \le 1\quad \quad \hbox{ or }\quad \quad \frac{x^2+y^2}{a^2} +\frac{z^2}{b^2} \le 1</math>

扁球面上の点は次の式を満たす。

:<math>\left( \frac{x}{a} \right)^2 +\left( \frac{y}{a} \right)^2 +\left( \frac{z}{b} \right)^2 =1\quad \quad \hbox{ or }\quad \quad \frac{x^2 + y^2}{a^2} +\frac{z^2}{b^2} =1</math>

==扁球の性質==
扁球の[[体積]] ''V''は <math>V= \frac{4}{3} \pi a^2 b</math> 、[[離心率]] ''e''は <math>e= \sqrt {1- \left( \frac{b}{a} \right)^2 }</math> 、[[表面積]] ''S''は <math>S=2 \pi \left( a^2 + \frac{b^2 \tanh^{-1} e}{e} \right)</math> である。

また、[[緯度#地理緯度 (geographic latitude)|地理緯度]] <math>\varphi \, \!</math> における[[子午線]][[曲率半径]] <math>M_\varphi \, \!</math> 及び[[卯酉線]]曲率半径 <math>N_\varphi \, \!</math> はそれぞれ

{{Indent|<math>M_\varphi = \frac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2 \varphi)^{3/2}}\,,\;\;N_\varphi =\frac{a}{\sqrt{1-e^2 \sin^2 \varphi} }</math>}}

と表される。この二量を用いて、子午線に対し[[方位角]] <math>\alpha\,\!</math> を成す垂直截線の曲率半径 <math>R^\alpha_\varphi \, \!</math> は、[[オイラーの定理 (微分幾何学)|オイラーの定理]]により

{{Indent|<math>R_\varphi^\alpha = \frac{M_\varphi N_\varphi}{N_\varphi \cos^2 \alpha + M_\varphi \sin^2 \alpha}</math>}}

のように表すことができる。

==扁球状の物体==
身のまわりにある扁球状の物体には、[[碁石]]、[[マーブルチョコレート]]、[[M&M's]]、[[ウンシュウミカン]]などがある。また、[[地球]]も[[扁平率]]が他の物体よりも非常に小さく[[真球]]とは見分けがつきにくいが、[[18世紀]]半ばに実施された[[北極]]付近と[[赤道]]付近の[[子午線弧]]長の比較の末、扁球状であることが分かっている。ただし、これらの扁球状の物体は、厳密には真の扁球ではないことがある。

<gallery>
Image:Go stones in bowls.jpg|[[碁石]]
Image:Marble Chocolate.JPG|[[マーブルチョコレート]]
Image:M&M's Plain.jpg|[[M&M's]]
File:Citrus unshiu 20101118 a.jpg|[[ウンシュウミカン]]
Image:The Earth seen from Apollo 17.jpg|[[地球]]
</gallery>

==関連項目==
*[[地球楕円体]]
*[[回転体]]
*[[回転楕円体]]
*[[長球]]
*[[球]]

{{DEFAULTSORT:へんきゆう}}
[[Category:閉曲面]]
[[Category:回転体]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[es:Esferoide oblato]]