拡大体における双対基底のソースを表示

{{Unreferenced|date=August 2013}}

[[数学]]の[[線型代数学]]における'''[[双対基底]]'''の概念は、[[トレース (体論)|体のトレース]]を用いることで[[有限次拡大]] ''L''/''K'' へと応用することが出来る。ただし、その体のトレースによる Tr<sub>''L''/''K''</sub>(''xy'') が、''K'' 上の[[退化形式|非退化]]な[[二次形式]]を与えることが必要となる。これはその拡大体が[[分離拡大]]である時に満たされる。したがって、''K'' が[[完全体]]のとき、とくに ''K'' が有限体や[[標数]]ゼロである時に、自動的に満たされる。

'''双対基底'''（dual basis）は[[多項式基底]]や[[正規基底]]のような{{疑問点範囲|1=具体的な[[基底 (線型代数学)|基底]]ではない|date=2015年1月|title=双対基底の形式的な定義が与えられていない； 少なくとも下の有限体の例では基底ですが？}}。むしろそれは、計算のための第二の基底を用いる方法を提供する概念である。

''L''/''K'' を有限次分離拡大とする。
:<math>B_1 = \{\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{m-1}\}</math>
を ''L'' の ''K''-基底とすると、
:<math>\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha_i \gamma_j) = \begin{cases} 0 & (i \neq j) \\ 1 & (i = j) \end{cases}</math> 
を満たす基底
:<math>B_2 = \{\gamma_0, \gamma_1, \ldots, \gamma_{m-1}\}</math>
が存在する。これをトレース Tr<sub>''L''/''K''</sub> に関する ''B''<sub>1</sub> の双対基底と言う。

''L'' を[[有限体]] GF(''q''<sup>''m''</sup>)、''K'' をGF(''q'') とすると、体の拡大 ''L''/''K'' の元の[[トレース (体論)|トレース]]は、
:<math>\operatorname{Tr}_{L/K}(\beta ) = \sum_{\sigma \in \operatorname{Gal}(L/K)} \!\!\! \beta^\sigma = \sum_{i=0}^{m-1} \beta^{q^i}</math>
と計算される。

''L'' = ''K'' (α) を分離拡大とし、''f'' をαの最小多項式、
:<math>\frac{f(X)}{X-\alpha}=b_0+b_1X+\dotsb+b_{n-1}X^{n-1}</math>
とする。このとき 1, α, ..., α<sup>''n''&minus;1</sup> と双対な基底は
:<math>\frac{b_0}{f'(\alpha)},\dots,\frac{b_{n-1}}{f'(\alpha)}</math>
である。

双対基底を用いることは、基底の変換公式を用いて陽に基底を変換するよりも、異なる基底を用いる手法を簡単に結びつける方法を提供する。さらに、双対基底をもつならば、元の基底のある元から双対基底への変換は、乗法的単位元（通常は 1）の乗算によって達成される。

==参考文献==
*Neukirch, J., 『代数的整数論』、足立恒雄 監修、梅垣敦紀 訳、丸善出版、ISBN 978-4-621-06287-6。

{{DEFAULTSORT:かくたいたいにおけるそうついきてい}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:体論]]
[[Category:体の拡大]]
[[Category:数学に関する記事]]