拡散方程式のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年5月}}
'''拡散方程式'''（かくさんほうていしき、{{lang-en|diffusion equation}}）は[[拡散]]が生じている物質あるいは物理量（本稿では拡散物質と記述）の[[密度]]の[[ゆらぎ]]を記述する[[偏微分方程式]]である。

[[遺伝学|集団遺伝学]]における[[対立遺伝子]]の拡散のように、拡散と同様の振る舞いをする現象を記述するのにも用いられる。

[[伝熱]]の分野で[[熱伝導]]を記述する方程式は'''[[熱方程式|熱伝導方程式]]'''（[[:en:Heat equation|Heat equation]]）と呼ばれる。
==方程式==
方程式は一般に以下のように書かれる。

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t} = \nabla \cdot \bigg( D(\phi,\vec{r},t) \, \nabla\phi(\vec{r},t) \bigg) </math>

ただし、<math>\vec{r}</math>は位置、<math>t</math>は時刻、<math>\, \phi(\vec{r},t)</math> は拡散物質の [[密度]]、 <math> D(\phi,\vec{r},t)</math> は[[拡散係数]]（2階の[[テンソル]]量）、[[ナブラ]] <math>\, \nabla</math> は空間微分作用素である。拡散係数<math>D</math> が定数ならば、方程式は以下の[[線型性|線形]]方程式に帰着される。

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\vec{r},t) </math>

''D'' が他の変数に依存する場合方程式は[[非線形]]となる。さらに、''D'' が[[正定値]][[対称行列]]であれば方程式は[[等方的と異方的|異方的]]拡散となる。

== 導出 ==
拡散方程式は、密度の変化は各部分における流入と流出によって生じるという[[連続の式]]から直ちに導かれる。物質が生成されたり消滅することはないものとする。

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0</math>

ただし <math>\vec{j}</math> は拡散物質の[[フラックス (物理学)|フラックス]]である。拡散物質の流れは密度勾配に比例することを表した以下の[[フィックの法則]]と組合わせることで、拡散方程式は容易に導かれる。

:<math>\vec{j}=-D\,(\phi)\,\nabla\,\phi\,(\,\vec{r},t\,)</math>

== 特別な場合の解 ==
=== 定常解 ===
拡散係数''D'' が定数であれば、[[定常]]解は容易に求められる<ref>{{cite|和書 |author=[[小岩昌宏]] |author2=[[中嶋英雄]] |title=材料における拡散 |publisher=内田老鶴圃 |year=2009 |isbn=978-4-7536-5637-0 |page=3}}</ref>。
* 1次元：&phi;(''r'' ) = ''A r'' + ''B''
* 2次元円対称：&phi;(''r'' ) = ''A'' log ''r'' + ''B''
* 3次元[[球対称]]：&phi;(''r'' ) = ''A'' /''r'' + ''B''
ここで''r'' は原点からの距離、''A'' , ''B'' は境界条件により定まる定数である。

=== 無限に長い棒 ===
''D'' が定数、1次元、境界条件として無限遠で&phi;(&plusmn;&infin; , ''t'' ) = 0 、&phi;(''x'' , 0) = &delta;(''x'' )（&delta;は[[デルタ関数]]）という条件のもとでは、解は[[正規分布]]で表される。
:<math>\phi(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi D t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right)</math>
この解では、[[分散 (確率論)|分散]]が時間 ''t'' が経つにつれて大きくなる、すなわち分布が拡散していく様子が分かる。この性質は[[ウィーナー過程]]に類似している。

=== ボルツマン変換 ===
1次元の場合には、係数が変化する場合でも、パラメータ&lambda; = ''x t'' <sup>-1/2</sup> を用いて次の&lambda;に関する常微分方程式に変形できることをボルツマンは示した<ref>{{cite|和書 |author=[[小岩昌宏]] |author2=[[中嶋英雄]] |title=材料における拡散 |publisher=内田老鶴圃 |year=2009 |isbn=978-4-7536-5637-0 |page=147}}</ref><ref group="注"><!--変数変換すると
:<math>\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial\lambda}{\partial x}\frac{d}{d\lambda} = \frac{1}{\sqrt{t}}\frac{d}{d\lambda}\\
\frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial\lambda}{\partial t}\frac{d}{d\lambda} = -\frac{\lambda}{2t}\frac{d}{d\lambda}
\end{align}</math>
となることを用いて変形する。-->この変換は、初期条件および境界条件が&lambda;のみによって表現できるときに適用できる。</ref>。
:<math>-\frac{\lambda}{2}\frac{d\phi}{d\lambda} = \frac{d}{d\lambda}\left(D\frac{d\phi}{d\lambda}\right)</math>

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
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=== 出典 ===
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[移流拡散方程式]]
* [[反応拡散方程式]]
* [[移動現象論]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:かくさんほうていしき}}
[[Category:流体力学]]
[[Category:熱力学]]
[[Category:物理化学]]
[[Category:偏微分方程式]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:拡散]]
[[de:Diffusionsgleichung]]