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'''指数層系列'''（しすうそうけいれつ、exponential sheaf sequence）（'''指数完全系列'''とも言う）は、数学では[[複素幾何学]]で使われる[[層 (数学)|層]]（コホモロジー）の基本的な[[完全系列|短完全系列]]のことである。

M を[[複素多様体]]とし、M 上の[[正則函数]]の層を O<sub>M</sub> と記し、0 にならない正則函数からなる部分層を O<sub>M</sub><sup>*</sup> と表すとする。これらは両方とも、[[アーベル群]]の層である。[[指数函数]]は層の準同型

:<math>\exp : \mathcal O_M \to \mathcal O_M^*,</math>

をもたらす。正則函数 f に対し、exp(f) は 0 にならない正則函数であり、exp (f&nbsp;+&nbsp;g) =&nbsp;exp (f) exp (g) となるので、この準同型の[[核 (代数)|核]]は、''M'' 上の整数 ''n'' で 値 2{{π}}''in'' を持つ[[局所定数函数]]の層 2{{π}}''i'''''Z''' である。'''指数層系列'''は、従って、

:<math>0\to 2\pi i\,\mathbb Z \to \mathcal O_M\to\mathcal O_M^*\to 0</math>

である。ただし、この指数写像は、いつも切断上で全射とは限らない。指数層系列を見るには、たとえば、M を複素平面上の[[アニュラス|穴あき円板]]とすると、指数写像は、[[層 (数学)#層の茎|茎]]上で全射である。点 P で g(P)&nbsp;≠&nbsp;0 を満たすような正則函数の[[函数の芽|芽]](germ) g が与えられると、P の近傍で g の[[対数]]として取ることができる。[[層コホモロジー]]の[[完全系列|長完全系列]]は、M の任意の開集合 U に対し、完全系列

:<math>\cdots\to H^0(\mathcal O_U) \to H^0(\mathcal O_U^*)\to H^1(2\pi i\,\mathbb Z|_U) \to \cdots</math>

が得られることを示している。ここに H<sup>0</sup> は単に U 上の切断を意味し、層コホモロジー H<sup>1</sup>(2πi'''Z'''|<sub>U</sub>) は U の[[特異コホモロジー]]である。従って、関連する準同型は、一般化された[[回転数 (数学)|回転数]]であり、U が[[可縮]]であることを妨げる度合いを測っている。言い換えると、0 にならない正則函数の'''大域的'''対数をとることができ、局所的には常に完全系列がえられるための位相的障害が存在する。

この系列の別の結果は、系列

:<math>\cdots\to H^1(\mathcal O_M)\to H^1(\mathcal O_M^*)\to H^2(2\pi i\,\mathbb Z)\to \cdots</math>

が完全系列性である。ここに、H<sup>1</sup>(O<sub>M</sub><sup>*</sup>) は、M 上の[[正則ベクトルバンドル|正則ラインバンドル]]の[[ピカール群]]と同一視することができる。この準同型は、ラインバンドルを第一[[チャーン類]]へ写像する。
<!--In [[mathematics]], the '''exponential sheaf sequence''' is a fundamental [[short exact sequence]] of [[sheaf (mathematics)|sheaves]] used in [[complex geometry]].

Let ''M'' be a [[complex manifold]], and write ''O''<sub>''M''</sub> for the sheaf of [[holomorphic function]]s on ''M''. Let ''O''<sub>''M''</sub>* be the subsheaf consisting of the non-vanishing holomorphic functions. These are both sheaves of [[abelian group]]s. The [[exponential function]] gives a sheaf homomorphism

:<math>\exp : \mathcal O_M \to \mathcal O_M^*,</math>

because for a holomorphic function ''f'', exp(''f'') is a non-vanishing holomorphic function, and exp(''f''&nbsp;+&nbsp;''g'') =&nbsp;exp(''f'')exp(''g'').  Its [[Kernel (algebra)|kernel]] is the sheaf 2π''i'''''Z''' of [[locally constant function]]s on ''M'' taking the values 2π''in'', with ''n'' an [[integer]]. The '''exponential sheaf sequence''' is therefore

:<math>0\to 2\pi i\,\mathbb Z \to \mathcal O_M\to\mathcal O_M^*\to 0.</math>

The exponential mapping here is not always a surjective map on sections; this can be seen for example when ''M'' is a [[punctured disk]] in the complex plane. The exponential map ''is'' surjective on the [[stalk of a sheaf|stalks]]: Given a [[germ of a function|germ]] ''g'' of an holomorphic function at a point ''P'' such that ''g''(''P'')&nbsp;≠&nbsp;0, one can take the [[logarithm]] of ''g'' in a neighborhood of ''P''. The [[long exact sequence]] of [[sheaf cohomology]] shows that we have an exact sequence

:<math>\cdots\to H^0(\mathcal O_U) \to H^0(\mathcal O_U^*)\to H^1(2\pi i\,\mathbb Z|_U) \to \cdots</math>

for any open set ''U'' of ''M''. Here ''H''<sup>0</sup> means simply the sections over ''U'', and the sheaf cohomology ''H''<sup>1</sup>(2π''i'''''Z'''|<sub>''U''</sub>) is the [[singular cohomology]] of ''U''. The connecting homomorphism is therefore a generalized [[winding number]] and measures the failure of ''U'' to be [[contractible]]. In other words, there is a potential topological obstruction to taking a ''global'' logarithm of a non-vanishing holomorphic function, something that is always ''locally'' possible.

A further consequence of the sequence is the exactness of

:<math>\cdots\to H^1(\mathcal O_M)\to H^1(\mathcal O_M^*)\to H^2(2\pi i\,\mathbb Z)\to \cdots.</math>

Here ''H''<sup>1</sup>(''O''<sub>''M''</sub>*) can be identified with the [[Picard group]] of [[holomorphic line bundle]]s on ''M''. The connecting homomorphism sends a line bundle to its first [[Chern class]].-->

==参考文献==
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link=Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link=Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | year=1994}}, see especially p.&nbsp;37 and p.&nbsp;139

{{デフォルトソート:しすうそうけいれつ}}
[[Category:複素多様体]]
[[Category:層の理論]]
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