指数積分のソースを表示

{{出典の明記|date=2018年7月}}
[[数学]]において、'''指数積分'''（しすうせきぶん、{{lang-en-short|exponential integral}}）{{math|Ei}} は[[指数関数]]を含む[[積分]]によって定義される[[特殊関数]]の一つである。

== 定義 ==
=== 実関数としての指数積分 ===
実数 {{math|''x''&ne;0}} に対し指数積分 {{math|Ei(''x'')}} は次のように定義される。
:<math>\operatorname{Ei}(x) = -\operatorname{p.\!v.}\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t = \operatorname{p.\!v.}\int_{-\infty}^{x}\frac{e^{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t</math>
ただし {{math|p.v.}} は[[コーシーの主値]]を表す。この関数は[[初等関数]]でないことが[[リッシュのアルゴリズム]]によって示されている。

以下、本稿ではこれを {{math|Ei<sup>real</sup>(x)}} で表す。
:<math>\begin{align}
\operatorname{{Ei}^{real}}(x) &= \lim_{\epsilon\to+0}\left(-\int_{-x}^{-\epsilon}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t-\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t\right)\quad &(x>0)\\
\operatorname{{Ei}^{real}}(x) &= -\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t\quad &(x<0)
\end{align}</math>

=== 複素関数としての指数積分 ===
複素数 {{math|''z''}} に対し指数積分 {{math|Ei(''z'')}} は次のように定義される。
:<math>\operatorname{Ei}(z) = -\pi i + \int_{-\infty-0i}^{1-0i}\frac{e^{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t + \int_{1}^{z}\frac{e^{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t</math>
これは[[多価関数]]であるが、本稿では負の実軸で[[分岐点 (数学)|分枝切断]]を行い正の実軸上で実数値をとるようにする。<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html Wolfram Mathworld: Exponential Integral]</ref><ref>[http://eom.springer.de/I/i051440.htm SpringerLink: Integral exponential function]</ref>(文献によっては定義が異なる)
:<math>\operatorname{Ei}(x\pm 0i) = \operatorname{{Ei}^{real}}(x)\pm\pi i \quad(x<0), \quad \operatorname{Ei}(x) = \operatorname{{Ei}^{real}}(x) \quad(x>0)</math>
== 性質 ==
=== 正則関数と対数関数による表示 ===
複素関数 {{math|Ein(''z'')}} を次のように定める。
:<math>\operatorname{Ein}(z) = \int_{0}^{z} \frac{1-e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t</math>
これは複素平面全体で[[正則関数|正則]]となり、
:<math>\begin{align}
\operatorname{Ein}(z) - E_1(z) - \log z &= \int_{0}^{z} \frac{1-e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t - \int_{z}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t - \int_{1}^{z} \frac{1}{t}\,\operatorname{d}t \\
&= \int_{0}^{1} \frac{1-e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t - \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t \\
&= -\int_{0}^{\infty} (\log t)e^{-t}\,\operatorname{d}\!t \\
&= \gamma
\end{align}</math>
が成り立つ。ただし{{mvar|&gamma;}}は[[オイラーの定数]]である。これにより {{math|E<sub>1</sub>}}, {{math|Ei}} は
:<math>\begin{align}
E_1(z) &= -\gamma-\log z+\operatorname{Ein}(z) \\
\operatorname{Ei}(z) &= \gamma+\log z-\operatorname{Ein}(-z)
\end{align}</math>
と表され、多価性にまつわる問題を[[複素対数関数]] {{math|log ''z''}} に封じ込めることができる。

=== 級数展開 ===
{{math|Ein(''z'')}} の[[テイラー展開]]は次のように与えられる。
:<math>\begin{align}
\operatorname{Ein}(z) &= \int_{0}^{z} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-t)^{k-1}}{k!}\,\operatorname{d}\!t \\
&= -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-z)^k}{k\;k!}
\end{align}</math>
これは複素平面全体で収束する。また次のような展開も可能である。
:<math>\begin{align}
\operatorname{Ein}(z) &= \int_{0}^{z} e^{-t} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^{k-1}}{k!}\,\operatorname{d}\!t \\
&= e^{-z} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right) \frac{z^n}{n!} \\
\operatorname{Ein}(z) &= \int_{0}^{z} e^{-t/2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(t/2)^{2k}}{(2k+1)!}\,\operatorname{d}\!t \\
&= e^{-z/2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} \frac{2}{2k+1}\right) \frac{(z/2)^n}{n!}
\end{align}</math>

=== 漸近展開 ===
{{mvar|z}} の絶対値が十分大きいとき {{math|E<sub>1</sub>}} は次のように近似できる。
:<math>E_1(z) = -e^{-z}\left\{\sum_{k=1}^{n}(k-1)!\left(-\frac{1}{z}\right)^k + O\left(\frac{1}{z^{n+1}}\right)\right\}</math>
右辺は {{math|''n''&rarr;&infin;}} で発散するので適当な項数で打ち切って使用する。

=== 一般化 ===
指数積分は以下のように一般化できる。
:<math>E_n(z) = z^{n-1}\int_{z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t^n}\,\operatorname{d}\!t=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-zt}}{t^n}\,\operatorname{dt}\!</math>
これを {{mvar|n}} 次の指数積分と呼び、以下のように[[不完全ガンマ関数]]を用いて以下のように表せる。

　 <math>E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x)</math>

また、以下の式を {{math|Ei(''z'')}} と記すこともある。
:<math>E_1(z) = \int_{z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t</math>
このときは次のように分枝をとる。
:<math>\begin{align}
&\operatorname{Im}(E_n(x\pm 0i)) = \mp\pi(-x)^{n-1} i \quad(x<0),\quad \operatorname{Im}(E_n(x)) = 0 \quad(x>0) \\
&E_1(x\pm 0i) = -\operatorname{{Ei}^{real}}(-x)\mp\pi i \quad(x<0),\quad E_1(x) = -\operatorname{{Ei}^{real}}(-x) \quad(x>0)
\end{align}</math>
両者は次のような関係で結ばれる。
:<math>\operatorname{Ei}(z) = -E_1(-z)+\pi i \quad(\operatorname{Im}(z)<0), \quad \operatorname{Ei}(z) = -E_1(-z)-\pi i \quad(\operatorname{Im}(z)>0)</math>

=== 近似 ===
指数積分は以下のような近似を持つ。

==== SwameeとOhijaの近似 ====
　  <math>E_1(x)=(A^{-7.7}+B)^{-0.13}</math>

ただし  

<math>\begin{align}
A &= \log\left (\left (\frac{0.56146}{x}+0.65\right)(1+x)\right) \\
B &= x^4e^{7.7x}(2+x)^{3.7}
\end{align}</math>

==== 連分数展開 ====
<math>E_1(x) = \cfrac{e^{-x}}{x+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{x+\cfrac{3}{\ddots}}}}}}</math>

==== 超幾何級数 ====
<math>\begin{align}
\operatorname{Ei}(z) &=\gamma+\log{z}+z\cdot{_2F_2}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix};z\right]\\
\end{align}</math>

== 三角積分 ==
{{main|三角積分}}

正弦積分 ({{En|sine integral}}) は[[三角関数|正弦関数]]を含む積分によって定義される関数である。被積分関数は非正規化[[sinc関数]]という。
:<math>\begin{align}
&\operatorname{Si}(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t\\
&\operatorname{si}(z)=-\int_{z}^{\infty}\frac{\sin{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t=\operatorname{Si}(z)-\frac{\pi}{2}
\end{align}</math>
余弦積分 ({{En|cosine integral}}) は[[三角関数|余弦関数]]を含む積分によって定義される関数である。
:<math>\operatorname{Ci}(z)=-\int_{z}^{z+\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t</math>
複素関数としての余弦積分は多価であるが、次のように[[複素対数関数]]と[[正則関数]]の和で表すことができる。
:<math>\begin{align}
\operatorname{Ci}(z) &= \gamma+\log{z}-\operatorname{Cin}(z) \\
\operatorname{Cin}(z) &= \int_{0}^{z}\frac{1-\cos{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t
\end{align}</math>
任意の複素数 {{mvar|z}} に対して次の関係が成り立つ。
:<math>\operatorname{Ein}(\pm iz) = \operatorname{Cin}(z)\pm i\operatorname{Si}(z)</math>

== 対数積分 ==
対数積分 ({{En|logarithmic integal}}) は[[対数関数]]の逆数の積分によって定義される関数である。詳しくは[[対数積分]]を参照。
:<math>\begin{align}
\operatorname{Li}(z) &= \operatorname{Ei}(\log{z})-\operatorname{Ei}(\log{2}) = \int_{2}^{z}\frac{1}{\log{t}}\,\operatorname{d}\!t \\
\operatorname{li}(z) &= \operatorname{Ei}(\log{z}) = \operatorname{p.\!v.}\int_{0}^{2}\frac{1}{\log{t}}\,\operatorname{d}\!t + \int_{2}^{z}\frac{1}{\log{t}}\,\operatorname{d}\!t
\end{align}</math>
ただし {{math|p.v.}} は[[コーシーの主値]]を表す。対数積分は素数の分布を表す公式([[素数定理]])に現れる。

== 出典 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Exponential Integral|urlname=ExponentialIntegral}}
* {{MathWorld|title=E''n''-Function|urlname=En-Function}}

{{DEFAULTSORT:しすうせきふん}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:指数関数]]
[[Category:数学に関する記事]]