指標表のソースを表示

[[抽象代数学]]の一分野である[[群論]]において、'''指標表'''（しひょうひょう、{{lang-en-short|character table}}）とは、与えられた群について、その全ての[[既約表現]]の[[指標 (数学)#表現の指標|指標]]を表にまとめたものである。これは[[大直交性定理|直交関係]]などにより対象としている群についての比較的少ない情報から計算できて、群の性質をそこから引き出すことができる。

[[化学]]・[[結晶学]]・[[分光学]]において[[点群]]の指標表は、対称性の観点から[[分子振動]]を分類したり、2つの[[量子状態]]間の[[遷移]]が可能かどうかを考える場合に用いられる。

== 定義 ==
[[有限群]] ''G'' の[[複素数|複素数体]] '''C''' 上[[既約表現]] ''X'': ''G'' &rarr; GL<sub>''n''</sub>('''C''') に対して写像 &chi; = [[跡 (線型代数学)|Tr]] ''X'': ''G'' &rarr; '''C''' を[[次数]] ''n'' の'''既約指標'''という。<!--既約表現じゃないときは？-->既約指標の数と[[共役類]]の数は等しい。群 ''G'' の既約指標 &chi;<sub>1</sub>, &hellip;, &chi;<sub>''k''</sub> と共役類の[[同値関係#.E5.95.86.E9.9B.86.E5.90.88|完全代表系]] ''g''<sub>1</sub>, &hellip;, ''g''<sub>''k''</sub> に対して[[正方行列]] ''T'' = [ &chi;<sub>''i''</sub>(''g''<sub>''j''</sub>) ]<sub>1 &le; ''i'', ''j'' &le; ''k''</sub> を'''指標表'''という{{sfn|James|Liebeck|2001|loc={{google books quote|id=PiJMr6kZP44C|page=159|Definition 16.1}}}}。指標は[[類関数]]なので指標表は[[well-defined|矛盾なく定まる]]が、行と列に関する入れ替えを除いてしか決まらない。

== 性質 ==
以下では群とは有限群のことを指す。群 ''G'' の既約指標のなす[[集合]]を Irr(''G'') とおく。群 ''G'' の[[元 (数学)|元]] ''g'' に対して ''g''<sup>''G''</sup> は共役類、C<sub>''G''</sub>(''g'') は[[中心化群]]を表す。
*[[大直交性定理|直交関係]]が成り立つ。
**<math> \frac{1}{\vert G \vert} \sum_{g \in G} \chi(g) \overline{\psi(g)} = \delta_{\chi \psi} \qquad (\chi, \psi \in \operatorname{Irr}(G)) </math>
**<math> \frac{1}{\vert C_G(g) \vert}\sum_{\chi \in \operatorname{Irr}(G)} \chi(g) \overline{\chi(h)} = \delta_{g^G h^G} \qquad (g, h \in G) </math>
**ここで |''G''| は群 ''G'' の[[位数 (群論)|位数]]。
*群の位数と既約指標の次数の二乗和は等しい（直交関係の特別な場合）。
*線型指標―すなわち次数1の指標―の数と[[交換子群]]の[[指数 (群論)|指数]]は等しい。
*既約指標の次数は群の位数を割り切る。
*群の[[正規部分群]]のなす[[束 (束論)|束]]がわかる。より正確に述べると、群 ''G'' のすべての正規部分群は既約指標の[[核 (代数学)|核]] ker&chi; = { ''g'' &isin; ''G'' | &chi;(1) = &chi;(''g'') } のいくつかの共通部分で表せる。
*群の[[単純群|単純性]]を判定できる。（直前の性質から正規部分群についてわかるため。）
*正規部分群 ''N'' による[[商群|商]] ''G''/''N'' の既約指標は自然な[[一対一対応]]によって ''G'' の既約指標と見做せる。
** Irr(''G''/''N'') &harr; { &chi; &isin; Irr(''G'') | ''N'' &le; ker&chi; }

== 既約表現への分解 ==
非自明な可約表現の表現行列 ''R'' は、[[相似変換]]によって[[ブロック行列]] ''R''<sub>''i''</sub> &ne; 0 に分解することができる。
:<math> 
\mathbf{R} \sim \begin{bmatrix} 
\mathbf{R}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{R}_{2} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{R}_{n} 
\end{bmatrix}
</math>
それ以上ブロック行列に分解できなくなったとき、それぞれのブロック行列は既約表現の表現行列となる。

相似変換をしても指標は変化しない。また可約表現の表現行列の指標は、それぞれのブロック行列の指標を足し合わせたものと等しい。よってある可約表現が与えられたときに、指標表のみを用いて既約表現に分解することができる。ここで可約表現に現れる既約表現の[[重複度]] <math>n_i</math> は、次のように与えられる。
:<math>n_i = \frac{1}{\vert G \vert}\sum_{g \in G} \chi_r(g)\overline{\chi_i(g)}.</math>
ここで <math>\chi_i</math> は既約表現の指標、<math>\chi_r</math> は可約表現の指標、|''G''| は群 ''G'' の位数である。この式は指標表の直交関係から直ちに導かれ、'''簡約公式'''などと呼ばれる<ref>{{Cite book|和書|author=Alan Vincent|others=崎山博史、柴原隆志、鈴木孝義、半田真、御厨正博　訳|year=2012|title=演習で理解する　分子の対称と群論入門|publisher=[[丸善出版]]|id=ISBN 4621085212}}
</ref>。

== 具体例 ==
=== 3次対称群''S''<sub>3</sub>の指標表 ===
3次対称群 ''G'' := ''S''<sub>3</sub> の既約表現は[[同値関係|同値]]なものを除くと次で定まる[[準同型写像]] ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ''X''<sub>3</sub> の3つである。
* ''X''<sub>1</sub> : ''G'' &rarr; GL<sub>1</sub>('''C''')
** (1, 2)(3) &#8614; [1], (1, 2, 3) &#8614; [1]
* ''X''<sub>2</sub> : ''G'' &rarr; GL<sub>1</sub>('''C''') 
** (1, 2)(3) &#8614; [-1], (1, 2, 3) &#8614; [1]
* ''X''<sub>3</sub> : ''G'' &rarr; GL<sub>2</sub>('''C''') 
** (1, 2)(3) &#8614; <math>\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}</math>, (1, 2, 3) &#8614; <math>\begin{bmatrix}e^{2\pi i/3} & 0\\ 0 & e^{-2\pi i/3}\end{bmatrix}</math>
したがって&chi;<sub>''j''</sub> = Tr ''X''<sub>''j''</sub> とおけば ''G'' の指標表は次のようになる。
{| class="wikitable" style="text-align:center; width:50%"
|+ ''G'' = ''S''<sub>3</sub> の指標表
! ''g'' !! 1 !! (1, 2) !! (1, 2, 3)
|-
! ｜''g''<sup>''G''</sup>｜ !! 1 !! 3 !! 2
|-
! ｜C<sub>''G''</sub>(''g'')｜ !! 6 !! 2 !! 3
|-
! &chi;<sub>1</sub>
| 1 || 1 || 1
|-
! &chi;<sub>2</sub>
| 1 || -1 || 1
|-
! &chi;<sub>3</sub>
| 2 || 0 || -1
|}

=== 位数8の非可換群の指標表 ===
位数8の[[可換群|非可換群]]には[[二面体群]] ''D''<sub>8</sub> = &lang; ''r'', ''s'' | ''r''<sup>4</sup> = ''s''<sup>2</sup> = ''e'', ''r''<sup>''s''</sup> = ''r''<sup>-1</sup> &rang; と{{仮リンク|四元数群|en|Quaternion_group}} ''Q''<sub>8</sub>の2つの非同型類があるが、その指標表は等しい。したがって一般に指標表から群の同型類を決定することはできない。
{| class="wikitable" style="text-align:center; width:50%"
|+ ''G'' = ''D''<sub>8</sub> の指標表
! ''g'' !! ''e'' !! ''r''<sup>2</sup> !! ''r'' !! ''s'' !! ''rs''
|-
! ｜''g''<sup>''G''</sup>｜ !! 1 !! 1 !! 2 !! 2 !! 2
|-
! ｜C<sub>''G''</sub>(''g'')｜ !! 8 !! 8 !! 4 !! 4 !! 4
|-
! &chi;<sub>1</sub>
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
! &chi;<sub>2</sub>
| 1 || 1 || 1 || -1 || -1
|-
! &chi;<sub>3</sub>
| 1 || 1 || -1 || 1 || -1
|-
! &chi;<sub>4</sub>
| 1 || 1 || -1 || -1 || 1
|-
! &chi;<sub>5</sub>
| 2 || -2 || 0 || 0 || 0
|}

=== 点群''C<sub>2v</sub>''の指標表 ===
{| class="wikitable"
|-
|  || 
{|
|-
| ''E'' || ''C<sub>2</sub>'' || ''σ<sub>v</sub>'' || ''σ<sub>v</sub>' ''
|}
 || 
|-
| 
{|
|-
| ''A<sub>1</sub>''
|-
| ''A<sub>2</sub>''
|-
| ''B<sub>1</sub>''
|-
| ''B<sub>2</sub>''
|}
 || 
{|
|-
| 1 ||  1 ||  1 ||  1
|-
| 1 ||  1 || -1 || -1
|-
| 1 || -1 ||  1 || -1
|-
| 1 || -1 || -1 ||  1
|}
 || 
{|
|-
| ''T<sub>z</sub>'' ||   ''z , z<sup>2</sup> , x<sup>2</sup> , y<sup>2</sup>''
|-
| ''R<sub>z</sub>'' ||   ''xy''
|-
| ''T<sub>y</sub>'' , ''R<sub>x</sub>'' ||   ''y , xz''
|-
| ''T<sub>x</sub>'' , ''R<sub>y</sub>'' ||   ''x , yz''
|}
|}
*''A<sub>1</sub>'', ''A<sub>2</sub>'', ''B<sub>1</sub>'', ''B<sub>2</sub>'' ：点群''C<sub>2v</sub>''の[[既約表現]]を表す[[マリケン記号]]
*''E'' , ''C<sub>2</sub>'' , ''σ<sub>v</sub>'' , ''σ<sub>v</sub>' '' ：[[対称操作]]
* ''1'' , ''-1'' ：[[指標]]（[[表現行列]]の[[トレース]]） 
* ''T<sub>x</sub>''、''T<sub>y</sub>''、''T<sub>z</sub>''：[[基底関数]]、[[並進]]を表す
* ''R<sub>x</sub>''、''R<sub>y</sub>''、''R<sub>z</sub>''：基底関数、[[回転]]を表す
* ''xy''、''yz''、''zx''、''x<sup>2</sup>''、''y<sup>2</sup>''、''z<sup>2</sup>''：２次の基底関数、[[d軌道]]を扱うときは重要となる

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Alperin | first1=J. L. | last2=Bell | first2=Rowen B. | title=Groups and representations | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94525-5 | id={{MathSciNet | id = 1369573}} | year=1995 | volume=162}}
* {{cite book | last1 = James | first1 = Gordon | last2 = Liebeck | first2 = Martin | title=Representations and Characters of Groups | edition=Second | year=2001 | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-00392-X | url={{google books|PiJMr6kZP44C|plainurl=yes}} | mr = 1864147 | ref=harv}}

== 関連項目 ==
* [[群の表現論]]
* [[指標理論]]

{{DEFAULTSORT:しひようひよう}}
[[Category:群論]]
[[Category:表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]