指標 (数学)のソースを表示

[[数学]]において、ある'''指標'''（しひょう、{{Lang-en-short|character}}）とは、[[群 (数学)|群]]から（[[複素数]]全体のような）[[可換体|体]]へのある特殊な[[関数 (数学)|関数]]のことを言う。少なくとも二つの、異なるが重複もする意味が存在する。

== 乗法的指標 ==
{{main|乗法的指標}}

群 ''G'' 上の'''乗法的指標'''（あるいは'''線形指標'''または単純に'''指標'''）とは、''G'' からある体（通常は複素数体）の[[乗法群]]への[[群準同型]]である {{Harv|Artin|1966}}。''G'' を任意の群としたとき、そのような準同型の集合 Ch(''G'') は点ごとの乗算の下での[[アーベル群]]をなす。

この群は ''G'' の[[指標群]]と呼ばれる。しばしば、「単位的」な指標のみが考慮され、したがって像は[[単位円]]の中にある。このとき、その他の準同型は'''準指標''' (quasi-character) と呼ばれる。この定義の特殊な場合として、[[ディリクレ指標]]がある。

乗法的指標は[[線形独立]]である。つまり <math>\chi_1,\chi_2, \ldots , \chi_n </math> をある群 ''G'' 上の異なる指標としたとき、<math>a_1\chi_1+a_2\chi_2 + \ldots + a_n \chi_n = 0 </math> であるなら <math>a_1=a_2=\cdots=a_n=0 </math> が成立する。

== 表現の指標 ==
{{main|指標理論}}

体 ''F'' 上の有限次元[[ベクトル空間]] ''V'' 上の群 ''G'' の'''表現 ''φ'' の指標'''とは、その[[群の表現|表現]] ''φ'' の[[跡 (線型代数学)|トレース]]のことを言う。一般に、そのトレースは群準同型ではなく、そのトレースの集合が群をなすこともない。一次元表現の指標は、一次元表現と同一であり、したがって上述の乗法的指標の概念はより高次元の指標の特別な場合として考えられる。指標を用いた表現の研究は[[指標理論]]と呼ばれ、その分野において一次元指標は線形指標とも呼ばれる。

== 関連項目 ==
* [[ディリクレ指標]]
* [[ハリシュ＝チャンドラ指標]]
* [[ヘッケ指標]]
* {{仮リンク|無限小指標|en|Infinitesimal character}}
* [[置換の符号|交代指標]]
* [[指標表]]

== 参考文献 ==
* {{citation|title=Galois Theory|series=Notre Dame Mathematical Lectures, number 2|authorlink=:en:Emil Artin|first=Emil|last= Artin|year=1966|publisher = Arthur Norton Milgram (Reprinted Dover Publications, 1997)|isbn=978-0-486-62342-9}}  Lectures Delivered at the University of Notre Dame
* {{citation |authorlink=ジャン＝ピエール・セール|first=Jean-Pierre|last= Serre | title=Linear Representations of Finite Groups | publisher=Springer-Verlag | year=1977 | isbn= 0-387-90190-6}}.

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Character of a group|urlname=Character_of_a_group}}
* {{planetmath reference|id=1843|title=Character of a group representation}}

{{DEFAULTSORT:しひよう}}
[[Category:代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]