振動理論のソースを表示

[[数学]]の[[常微分方程式]]の分野において、常微分方程式

:<math>F(x,y,y',\ \dots,\ y^{(n-1)})=y^{(n)} \quad x \in [0,+\infty)</math>

に無限個の[[函数の根|根]]が存在するとき、その非自明解は'''振動的'''（しんどうてき、{{Lang-en-short|oschillating}}）であると言われ、そうでない場合には'''非振動的'''であると言われる。振動的な解が存在するとき、その微分方程式も'''振動的'''であると言われる。そのような根の数はまた、関連する[[境界値問題]]の[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]に関する情報ももたらす。

== 例==
微分方程式

:<math>y'' + y = 0\ </math>

は、sin(''x'') （の定数倍）を解とするため、振動的である。

== スペクトル理論との関係 ==
振動理論は、1836年、[[ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム]]による[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式|スツルム＝リウヴィル問題]]の研究によって開始された。その研究においてスツルムは、スツルム＝リウヴィル問題の {{mvar|n}} 番目の固有関数にはちょうど {{math|''n'' &minus; 1}} 個の根が存在することを示した。1 次元[[シュレーディンガー方程式]]に対する、振動的か非振動的かという問題は、その連続スペクトルの底に固有値が集積するかという問題に答えるものであった。

== 相対振動理論 ==
1996年、[[:en:Fritz Gesztesy|Gesztesy]]–[[:en:Barry Simon|Simon]]–[[:en:Gerald Teschl|Teschl]] によって、あるスツルム＝リウヴィル問題の 2 つの固有関数の[[ロンスキー行列式]]の根の数は、対応する固有値の間の固有値の数を与えるものであることが示された。この結果はのちに、Krüger–Teschl によって、2 つの異なるスツルム＝リウヴィル問題の 2 つの固有関数の場合へと一般化された。2 つの解のロンスキー行列式の根の数の研究は、相対振動理論として知られている。

== 関連項目 ==
振動理論に関する古典的な結果として、次の記事が挙げられる。

* [[クネーザーの定理 (微分方程式)|クネーザーの定理]]
* [[スツルム＝ピコーンの比較定理]]
* {{仮リンク|スツルムの分離定理|en|Sturm separation theorem}}

== 参考文献 ==
*[[:en:Frederick_Valentine_Atkinson|Atkinson, F.V.]] (1964). Discrete and Continuous Boundary Problems, Academic Press.
*Gesztesy, F.; Simon, B.; Teschl, G. (1996). Zeros of the Wronskian and renormalized oscillation theory, Am. J. Math. 118, 571–594.
*Kreith, K. (1973). Oscillation Theory, Lecture Notes in Mathematics 324, Springer.
*Krüger, H; Teschl G. (2009). Relative oscillation theory, weighted zeros of the Wronskian, and the spectral shift function, Commun. Math. Phys. 287, 613–640.
*Sturm, J.C.F. (1836). Memoire sur les equations diferentielles lineaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1, 106–186.
*Swanson, C.A. (1968). Comparison and Oscillation Theory of Linear Differential Equations, Academic Press.
*{{cite book| last = Teschl| given = G.|authorlink=:en:Gerald Teschl| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher=[[アメリカ数学会|American Mathematical Society]]| place = [[プロビデンス (ロードアイランド州)|Providence]]| year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
*Weidmann, J. (1987). Spectral Theory of Ordinary Differential Operators, Lecture Notes in Mathematics 1258, Springer.

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[[Category:常微分方程式]]
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