振動積分作用素のソースを表示

[[数学]]の[[調和解析]]の分野における'''振動積分作用素'''（しんどうせきぶんさようそ、{{Lang-en-short|oscillatory integral operator}}）とは、次の形式で記述される[[積分作用素]]のことを言う：

:<math>T_\lambda u(x)=\int_{\mathbf{R}^n}e^{i\lambda S(x,y)}a(x,y)u(y)\,dy, \qquad x\in\mathbf{R}^m, \quad y\in\mathbf{R}^n.</math>

ここで、函数 ''S(x,y)'' は作用素の[[フェーズ]]（phase）と呼ばれ、函数 ''a(x,y)'' は作用素の{{仮リンク|微分作用素のシンボル|label=シンボル|en|symbol of a differential operator}}と呼ばれる。λ はパラメータである。しばしば、''S(x,y)'' は[[滑らかな函数|滑らかな]]実数値函数で、''a(x,y)'' は滑らかかつ[[関数の台|コンパクトな台]]を持つ函数であると仮定される。通常、大きな値を取る λ に対する作用素 ''T''<sub>λ</sub> の挙動に、研究の興味は注がれる。

振動積分作用素は、数学の多くの分野（[[解析学]]、[[偏微分方程式|偏微分方程式論]]、{{仮リンク|積分幾何学|en|integral geometry}}、[[数論]]など）や、[[物理学]]の分野において、たびたび扱われる。振動積分作用素の性質は、[[エリアス・スタイン]]とその学派によって研究されている<ref>Elias Stein, ''Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals''. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5</ref>。

== ヘルマンダーの定理 ==
振動積分作用素の ''L''<sup>2</sup> → ''L''<sup>2</sup> 作用（あるいは、[[自乗可積分函数|''L''<sup>2</sup> → ''L''<sup>2</sup>]][[作用素ノルム]]）に対する上界についての次に述べる結果は、[[フーリエ積分作用素]]に関する[[ラース・ヘルマンダー]]の論文<ref>L. Hörmander ''Fourier integral operators'', Acta Math. '''127''' (1971), 79–183. doi 10.1007/BF02392052, http://www.springerlink.com/content/t202410l4v37r13m/fulltext.pdf</ref>において得られたものである。

''x,y'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>, ''n'' ≥ 1 について考える。''S(x,y)'' を実数値の滑らかな函数とし、''a(x,y)'' を滑らかかつコンパクトな台を持つ函数とする。''a(x,y)'' の台の上の至る所で <math>\mathop{\rm det}_{j,k} \frac{\partial^2 S}{\partial x_j \partial y_k}(x,y)\ne 0</math> が成り立つなら、初めは滑らかな函数として定義される ''T''<sub>λ</sub> を ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) から ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) への[[有界作用素|連続作用素]]へと[[連続線型拡張|拡張]]し、その[[作用素ノルム|ノルム]]が任意の λ ≥ 1 に対して <math>C \lambda^{-n/2} \, </math> で評価されるようなある定数 ''C'' が存在する。すなわち、

:<math>||T_\lambda||_{L^2(\mathbf{R}^n)\to L^2(\mathbf{R}^n)}\le C\lambda^{-n/2}</math>

が成立するような、ある定数 ''C'' が存在する。

== 参考文献 ==
<references />

== 関連文献 ==
* 藪田公三、中路貴彦、佐藤圓治、田中仁、宮地晶彦：「解析学百科I：古典調和解析」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11726-4 (2008年3月15日)。第4章："振動積分と掛谷問題"。

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