捩率テンソルのソースを表示

{{otheruses|ベクトルバンドルの接続に関する捩率|曲線の捩率|捩率|}}
{{Pathnavbox|{{Pathnav|[[数学]]|[[幾何学]]|[[多様体論]]|[[微分幾何学]]|[[接続 (微分幾何学)|接続]]|[[接続 (ベクトル束)|ベクトルバンドルの接続]]|アフィン接続}}}}'''捩率テンソル'''（れいりつテンソル、{{Lang-en-short|torsion tensor}}）とは、[[アフィン接続]]{{Mvar|∇}}に対し、

: <math>T_{\nabla}(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]</math>

により定義されるテンソルである。「捩率」という名称に関しては[[:en:Loring W. Tu|Loring W. Tu]]は「<math>T_{\nabla}(X,Y)</math>を'''「捩率」と呼ぶうまい理由は無い'''ように見える」<ref name=":1">[[#Tu]] p.44. 原文「There does not seem to be a good reason for calling <math>T(X,Y)</math> the torsion."」</ref>と述べており、[[:en:Michael_Spivak|Michael Spivak]]も同様の事を述べているなど<ref>[[#Spivak]] p.234. 「誰も「捩率」という用語によい説明をつけられないように見える」。原文「no one seems to have a good explanation for the term "torsion" in this case」.</ref>、「捩れ」としての意味付けはできない。



しかし後述するようにねじれテンソルは微分の非可換性を表す量として意味づけでき、さらに[[カルタン幾何学]]における曲率概念の「並進」部分としても意味づけできる。

== 定義と性質 ==

=== 準備 ===
{{Main|接続 (ベクトル束)|アフィン接続}}
捩率テンソルを定義するため、アフィン接続の定義を述べる：{{math theorem|定義|{{mvar|M}}を多様体とし、<math>\mathcal{X}(M)</math>を{{mvar|M}}上のベクトル場全体の集合とする。
汎関数
: <math>\nabla ~:~(X,Y) \in \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M)\mapsto \nabla_XY \in\mathcal{X}(M)</math>
で以下の性質を満たすものを'''アフィン接続'''（{{lang-en-short|Affine connection}}）といい、<math>\nabla_XY </math>を接続アフィン接続<math>\nabla</math>が定める{{mvar|Y}}の{{mvar|X}}方向の'''共変微分'''という<ref>[[#小林]] p.76.</ref>：
# <math>\nabla_{f_1X+f_2Y}Z = f_1\nabla_{X} Z + f_2\nabla_{Y} Z </math> (関数に関する左線形性)
# <math>\nabla_X(aY+bZ) = a\nabla_{X} Y + b\nabla_{X} Z</math>(実数に関する右線形性)　
# <math>\nabla_X(fY) = X(f)Y + f\nabla_X Y</math>　（ライプニッツ則）|note=アフィン接続}}ここで{{Mvar|X}}、{{Mvar|Y}}、{{Mvar|Z}}は{{Mvar|M}}上のベクトル場であり、{{mvar|a}}、{{mvar|b}}は実数であり、{{mvar|f}}、{{mvar|f{{sub|1}}}}、{{mvar|f{{sub|2}}}}は{{mvar|M}}上定義された任意の実数値可微分関数であり、<math>fs</math>は点{{mvar|u}}において<math>f(u)s_u </math>となる{{mvar|E}}の切断であり、<math>X(f)</math>は{{mvar|f}}の{{mvar|X}}方向微分である。

=== 定義 ===
{{math theorem|定義|{{mvar|X}}、{{mvar|Y}}を{{mvar|M}}上のベクトル場とするとき、
: <math>T_{\nabla}(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]</math>
を'''捩率テンソル'''という。|note=捩率テンソル{{Anchors|捩率テンソルの定義}}}}

=== 性質 ===
明らかに次が成立する：{{math theorem|定理|捩率テンソルは以下を満たす<ref>[[#Tu]] p.44.</ref>：
* <math>T_{\nabla}(X,Y)=-T_{\nabla}(Y,X)</math>}}局所座標<math>(x^1,\ldots,x^n)</math>で

: <math> T_{\nabla}(X,Y)
 = X^jY^k(\nabla_{\partial_j}\partial_k - \nabla_{\partial_k}\partial_j) 
 = X^jY^k(\Gamma^i{}_{jk} - \Gamma^i{}_{kj})\partial_i </math>

である（[[アインシュタインの縮約記法]]で表記）。ここで<math>\partial_i := \tfrac{\partial}{\partial x^i}</math>であり、<math>\Gamma^i{}_{jk}</math>は[[クリストッフェル記号]]

: <math>\nabla_{\partial_j}\partial_k = \Gamma^i{}_{jk}\partial_i</math>

である。この具体的表記から以下の系が従う：
{{math theorem|系|点<math>P \in M</math>における捩率テンソルの値<math>T_{\nabla}(X,Y)|_P</math>は点{{mvar|P}}における{{mvar|X}}、{{mvar|Y}}の値{{mvar|X{{sub|P}}}}、{{mvar|Y{{sub|P}}}}のみに依存して決まり、{{mvar|P}}以外の点{{mvar|Q}}における値{{mvar|X{{sub|Q}}}}、{{mvar|Y{{sub|Q}}}}には依存しない。|note=}}
よって特に

: <math> T_{\nabla} \in T^*M \times T^*M \times TM </math>

とみなせる。また

: <math>T_{\nabla}(X,Y)=T^i_{jk}X^jY^k{\partial \over \partial x^i}</math>

と書くとき、次が成立する<ref name="Tu100">[[#Tu]] p.100.</ref><ref>[[#Wendl4]] p.102.</ref>：{{math theorem|系|任意の{{mvar|i}}、{{mvar|j}}、{{mvar|k}}に対し、
: <math>T^i_{jk}=\Gamma^i_{jk}-\Gamma^i_{kj}</math>}}よって捩率テンソルが恒等的に{{Mvar|0}}になる接続、すなわち'''捩れなし'''（{{Lang-en-short|torsion-free}}）の場合、{{mvar|Γ{{sup sub|i|jk}}}}は{{mvar|j}}、{{mvar|k}}に対して対象なテンソルになる。このため捩れなしの接続の事を'''対称'''（{{Lang-en-short|symmetric}}）な接続ともいう<ref name="Tu100" />。

[[外微分]]{{mvar|d}}に対し、次が成立する：{{math theorem|定理|<math>\nabla</math>を多様体{{mvar|M}}の接バンドル{{mvar|TM}}上の接続とするとき、
:<math>\nabla</math>が捩れなし<math>\iff </math>{{mvar|M}}上の任意の[[微分形式|1-形式]]{{mvar|η}}と{{mvar|M}}上の任意のベクトル場{{mvar|X}}、{{mvar|Y}}に対し、<math>d\eta(X,Y)=\langle \eta,\nabla_XY\rangle - \langle \eta,\nabla_YX\rangle</math>}}{{math proof|: <math>\langle \eta, T_{\nabla}(X,Y)\rangle
= 
\langle \eta, \nabla_XY\rangle
-\langle  \eta, \nabla_YX\rangle
-d\eta(X,Y)
</math>
であることから従う。|drop=yes}}すなわち<math>\nabla</math>が捩れなしである事は、<math>\nabla</math>が外微分と「両立」する事と同値である。

=== 意味づけ ===
「捩率」という名称に関しては[[:en:Loring W. Tu|Loring W. Tu]]によれば「<math>T_{\nabla}(X,Y)</math>を「捩率」と呼ぶうまい理由は無いように見える」<ref name=":1" />が、このテンソルには以下のような意味付けが可能である。

なめらかな任意の写像<math>\alpha~:~U \subset \mathbb{R}^2 \to M</math>に対し、リー括弧の性質より<math>[\tfrac{\partial}{\partial x}\alpha,\tfrac{\partial}{\partial y}\alpha]=0</math>であることから、<math>\tfrac{\nabla}{\partial x}:=\nabla_{\tfrac{\partial}{\partial x}}</math>とすると、次が成立する：
{{math theorem|定理|記号を上述のように取るとき、以下が成立する：
: <math>T_{\nabla}(\tfrac{\partial}{\partial x}\alpha,\tfrac{\partial}{\partial y}\alpha)
= \tfrac{\nabla}{\partial x}\tfrac{\partial}{\partial y}\alpha
-
\tfrac{\nabla}{\partial y}\tfrac{\partial}{\partial x}\alpha</math>
}}
すなわち'''捩率テンソルは2つの微分の非可換度合いを表す量である'''<ref>[[#Wendl4]] p.101.</ref>。

=== 他の概念との関係性 ===
リーマン多様体におけるレヴィ・チヴィタ接続は捩率テンソルが{{Mvar|0}}でしかも計量と「両立」するアフィン接続として特徴づけられる：{{math theorem|定理|<math>(M,g)</math>を[[リーマン多様体]]とし、{{mvar|∇}}を{{mvar|M}}上定義されたアフィン接続とする。このとき、{{mvar|∇}}が[[レヴィ・チヴィタ接続]]は以下の2つの性質を満たす。また以下の2性質を両方満たすアフィン接続{{mvar|∇}}はレヴィ・チヴィタ接続に限られる<ref>[[#Tu]] p.45.</ref>：
* {{mvar|∇}}は捩れなしである。
* {{mvar|M}}上の任意のベクトル場{{mvar|X}}、{{mvar|Y}}、{{mvar|Z}}に対し、<math>Z(g(X,Y))=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)</math>|note='''[[リーマン幾何学の基本定理]]'''}}


また{{Mvar|∇}}をアフィン接続とするとき、{{Mvar|∇}}と（パラメータを込めて）同一の[[測地線]]<ref group="注">ここで「{{Mvar|∇}}と{{Mvar|∇'}}がパラメータを込めて同一の測地線を定める」は<math>P(s)</math>が{{Mvar|∇}}の測地線であれば、同じパラメータ{{Mvar|s}}に対して<math>P(s)</math>が{{Mvar|∇'}}の測地線になり、その逆も成り立つという意味である。

<math>P(s)</math>を別の変数{{Mvar|t}}に変換した<math>P(s(t))</math>が{{Mvar|∇'}}の測地線になる場合は考慮していない。</ref>を定め、しかも捩れがないアフィン接続が存在する：{{math theorem|定理|{{mvar|∇}}を多様体{{mvar|M}}上のアフィン接続とし、{{mvar|M}}の局所座標<math>(x^1,\ldots,x^n)</math>に関する{{mvar|∇}}のクリストッフェル記号を<math>\Gamma^i{}_{ij}</math>とし、<math>t \in [0,1]</math>とする。このとき、{{mvar|M}}上のベクトル場<math>X = X^j\tfrac{\partial}{\partial x^j}</math>、<math>Y=Y^k\tfrac{\partial}{\partial x^k}</math>に対し、
: <math>\nabla^t_X:= X(Y^k)\frac{\partial}{\partial x^k}+ X^jY^k(t\Gamma^i{}_{jk}+(1-t)\Gamma^i{}_{kj})\frac{\partial}{\partial x^i}</math>
は局所座標によらずwell-definedで、アフィン接続の公理を満たし、しかも<math>\nabla^t</math>の測地線は{{mvar|∇}}の測地線と一致する<ref name="KN-146">[[#Kobayashi-Nomizu-1]] p.146</ref>。

特に<math>\nabla^{1 \over 2}</math>は{{mvar|∇}}の測地線と一致し、しかも捩れがないアフィン接続である<ref name="KN-146" />。|note=}}また次が成立する：{{math theorem|定理|2つの接続<math>\nabla</math>、<math>\nabla'</math>が同一である必要十分条件は、<math>\nabla</math>と<math>\nabla'</math>は同一の測地線を定め、しかも<math>\nabla</math>と<math>\nabla'</math>の捩率テンソルが同一な事である
<ref name="Spivak271">[[#Spivak]] p.271.</ref>。|}}

== 捩率形式 ==
===定義===
{{math theorem|定義|
局所的な基底<math>e_1,\ldots,e_n \in TM</math>に対し、捩率テンソルを

: <math>T(X,Y)=\tau^i(X,Y)e_i</math>

と成分表示して得られる2-形式<math>\tau^i</math>を並べてできる縦ベクトル<math>\tau={}^t(\tau^1,\ldots,\tau^m)</math>を基底<math>(e_1,\ldots,e_m)</math>に関する{{mvar|∇}}の'''捩率形式'''（{{lang-en-short|torsion form}}）という<ref>[[#小林]] p.107.</ref>{{refn|[[#Tu]] p.84.では{{mvar|τ}}自身ではなくその成分<math>\tau^1,\ldots,\tau^m</math>の事を捩率形式と呼んでいる。|group="注"}}。
}}
さらに行列値1-形式<math>\omega=(\omega^i{}_j)_{ij}</math>を
: <math>\nabla_Xe_j = \omega^i{}_j(X)e_i</math>
により定義し、{{mvar|ω}}を基底<math>(e_1,\ldots,e_m)</math>に関する{{mvar|∇}}の'''接続形式'''といい、'''曲率テンソル'''
: <math>R(X,Y)Z= \nabla_X\nabla_YZ - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z</math>
に対し、行列値2-形式<math>\Omega=(\Omega^i{}_j)_{ij}</math>を
:<math>R(X,Y)e_j=\Omega^i{}_j(X,Y)e_i</math>
により定義し、{{mvar|ω}}を基底<math>(e_1,\ldots,e_m)</math>に関する{{mvar|∇}}の'''曲率形式'''という。



=== 性質 ===
局所的な基底<math>e_1,\ldots,e_n \in TM</math>の双対基底を<math>\theta^1,\ldots,\theta^n\in T^*M</math>とすると{{refn|<math>e_i=\tfrac{\partial}{\partial x^i}</math>であれば<math>\theta^i=dx^i</math>であるが、必ずしも<math>e_i=\tfrac{\partial}{\partial x^i}</math>でなくともよい<ref>[[#Tu]] p.84.</ref>。|group="注"}}、これらは1形式である。これらを並べた縦ベクトルを<math>\theta={}^t(\theta^1,\ldots,\theta^n)</math>とする。このとき、次が成立する：{{math theorem|定理|アフィン接続は次を満たす：
* '''（カルタンの）第一構造方程式'''<ref>[[#新井]] p.270</ref>（{{lang-en-short|(Cartan's) first structural equation}}）<ref name="Tu203">[[#Tu]] p.203.</ref>：<math>\tau=d\theta + \omega\wedge\theta</math>
* '''ビアンキの第一恒等式'''（{{lang-en-short|first Bianchi identity}}）<ref name="Tu203"/>：<math>d\tau = \Omega \wedge \theta -\omega \wedge \tau</math>|}}

ここでウェッジ積<math>\omega\wedge \theta </math>は行列<math>\omega(X)</math>とベクトル<math>\theta(Y)</math>の積<math>\omega(X)\theta(Y)</math>を用いて<math>\omega \wedge \theta(X,Y):=\omega(X)\theta(Y) - \omega(Y)\theta(X) </math><math> = (\omega^i{}_j \wedge \theta^j(X,Y))_{i}</math>により定義される。<math>\Omega\wedge \theta  </math>、<math>\omega \wedge \tau </math>も同様に定義される。また曲率形式は以下を満たす：{{math theorem|定理|　
* '''（カルタンの）第二構造方程式'''<ref>[[#新井]] p.272.</ref>（{{lang-en-short|(Cartan's) second structural equation}}）<ref>[[#Tu]] p.80</ref>：<math>\Omega =d\omega + \omega \wedge \omega</math>
* '''ビアンキの第二恒等式'''（{{lang-en-short|second Bianchi identity}}）<ref name="Tu204">[[#Tu]] p.204.</ref>：<math>d\Omega =\Omega \wedge \omega - \omega \wedge \Omega</math>|}}接続行列のウェッジ積<math>\omega\wedge \omega</math>は行列積<math>\omega\wedge \omega(X,Y)=\omega(X)\omega(Y) - \omega(Y)\omega(X)</math><math> =(\omega^i{}_k \wedge \omega^k{}_j(X,Y))_{ij}</math>の事である。<math>\Omega \wedge \omega</math>や<math>\Omega \wedge \Omega</math>も同様に定義する。 



ビアンキの第一および第二恒等式は以下のようにも書くことができる：{{math theorem|定理|{{mvar|M}}上のベクトル場{{mvar|X{{sub|1}}}}、{{mvar|X{{sub|2}}}}、{{mvar|X{{sub|3}}}}に対し、以下が成立する：
* '''ビアンキの第一恒等式'''<ref name=Kobayashi-Nomizu-1-135>[[#Kobayashi-Nomizu-1]] p.135.</ref>：<math>\sum_{i \in \mathbb{Z}_3} R(X_i,X_{i+1})X_{i+2}=\sum_{i \in \mathbb{Z}_3}T(T(X_i,X_{i+1}),X_{i+2}) + (\nabla_{X_i} T)(X_{i+1},X_{i+2})</math>
* '''ビアンキの第二恒等式'''<ref name=Kobayashi-Nomizu-1-135 />：<math>\sum_{i \in \mathbb{Z}_3} (\nabla_{X_i}R)(X_{i+1},X_{i+2})
 + R(T(X_i,X_{i+1}),X_{i+2}) = 0 </math>}}ここで添字は「{{math|mod 3}}」で考える。すなわち「<math>\sum_{i \in \mathbb{Z}_3}</math>」は巡回和である。

== フレームバンドルにおける捩率形式 ==
点<math>P \in M</math>に対し、<math>T_PM</math>の基底全体の集合を<math>F_P(M)</math>とし、<math>F(M):= \cup_{P\in M} F_P(M)</math>とすると、<math>F(M)</math>には自然に[[主束|主バンドル]]としての構造が入る。<math>F(M)</math>を{{Mvar|M}}（の接バンドル）の'''{{仮リンク|枠束|en|frame bundle|label=フレームバンドル}}'''という。



本節では、捩率形式をフレームバンドル上のベクトル値微分形式として再定義し、その性質を見る。

=== 準備 ===
{{Main|接続 (微分幾何学)#主接続の節|接続 (微分幾何学)#Koszul接続と主接続の関係の章}}

フレームバンドル上に捩率形式を定義するため、いくつか定義を導入する。<math>F(M)</math>には[[接続 (微分幾何学)#主接続の節|主接続]]でその接続形式<math>\tilde{\omega}</math>が
:<math>  \omega_e = e^*(\tilde{\omega})   </math>
を満たすものが一意に存在する<ref>[[#Tu]] p.268.</ref>。ここで{{Mvar|ω}}は開集合<math>U \subset M</math>上定義された{{Mvar|TM}}の基底<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>に関する{{Mvar|∇}}の接続形式であり、<math>  e^*(\tilde{\omega})   </math>は{{Mvar|e}}を{{Mvar|U}}から<math>F(M)</math>への写像とみなしたときの<math>\tilde{\omega}</math>の引き戻しである。



さらに<math>F(M)</math>上定義されたベクトル値1-形式<math>\tilde{\theta} </math>を<math>e=(e_1,\ldots,e_n) \in F_P(M)</math>と<math> \xi\in T_e F(M) </math>に対し、
:<math> \tilde{\theta}_e(\xi)={}^t(v^1,\ldots,v^n)  </math> where <math> \pi_*(\xi) = v^ie_i  </math>
となるように定義する。<math>\tilde{\theta} </math>を<math>F(M)</math>の'''標準形式'''（{{Lang-en-short|canonical form}}）という<ref>[[#Kobayashi-Nomizu-1]] p.118.</ref>。<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>の双対基底を<math> \theta = (\theta^1, \ldots,\theta^n)  </math>とすると、定義より明らかに
:<math>  \theta_e = e^*(\tilde{\theta})   </math>
である。

=== 定義 ===
フレームバンドル上の捩率形式<math>\tilde{\tau}</math>および曲率形式<math>\tilde{\Omega}</math>を第一および第二構造方程式により定義する：{{math theorem|定義|フレームバンドル<math>F(M)</math>上の'''捩率形式'''<math>\tilde{\tau}</math>を以下のように定義する<ref name="KN-1-120">[[#Kobayashi-Nomizu-1]] p.120.</ref>：
: <math>\tilde{\tau} =d\tilde{\theta} + \tilde{\omega}\wedge\tilde{\theta}</math>
さらにフレームバンドル<math>F(M)</math>上の'''曲率形式'''<math>\tilde{\Omega}</math>を以下のように定義する<ref name="KN-1-120" />：
: <math>\tilde{\Omega} = d\tilde{\omega} + \tilde{\omega} \wedge \tilde{\omega}</math>|}}

=== 性質 ===
定義から明らかなように次が成立する：{{math theorem|定義|　
* <math>\tau_e=e^*(\tilde{\tau}) </math>
* <math>\Omega_e=e^*(\tilde{\Omega})</math>|}}よって特に、アフィン接続{{Mvar|∇}}の捩率形式{{Mvar|τ}}と曲率形式{{Mvar|Ω}}が構造方程式やビアンキ恒等式を満たす事から、主接続の捩率形式<math>\tilde{\tau}</math>、および曲率形式<math>\tilde{\Omega}</math>も構造方程式やビアンキ恒等式を満たす：

* 第一構造方程式：<math>\tilde{\tau}=d\tilde{\theta} + \tilde{\omega}\wedge\tilde{\theta}</math>
* ビアンキの第一恒等式：<math>d\tilde{\tau} = \tilde{\Omega} \wedge \tilde{\theta} -\tilde{\omega} \wedge \tilde{\tau}</math>
* 第二構造方程式：<math>\tilde{\Omega} = d\tilde{\omega} + \tilde{\omega} \wedge \tilde{\omega}</math>
* ビアンキの第二恒等式：<math>d\tilde{\Omega} =\tilde{\Omega} \wedge \tilde{\omega} - \tilde{\omega} \wedge \tilde{\Omega}</math>



また[[接続 (ファイバー束)#主バンドルの共変外微分|主バンドル上の共変外微分]]<math>d_{\tilde{\omega}} </math>を用いると、捩率形式と曲率形式は以下のようにも表現できる事が知られている：{{math theorem|定理|以下が成立する<ref name="KN-1-120" />
* <math>\tilde{\tau} =d_{\tilde{\omega}}\tilde{\theta}</math>
* <math>\tilde{\Omega} =d_{\tilde{\omega}}\tilde{\omega}</math>|}}

== カルタン幾何学における捩率形式の解釈{{Anchors|カルタン幾何学の章}} ==
{{Main|カルタン幾何学#曲率の分解の節}}
'''カルタン幾何学'''とは、直観的には多様体{{Mvar|M}}の各点における「一次近似」が[[等質空間]]{{Mvar|S}}とみなせるような{{Mvar|M}}上の幾何構造の事である。等質空間{{Mvar|S}}を{{Mvar|M}}の'''モデル幾何学'''と呼び、どのようなモデル幾何学を選ぶかにより様々なカルタン幾何学が定義できる。


本節では[[アフィン幾何学|アフィン空間]]をモデルとするカルタン幾何学における、捩率形式の解釈を述べる。なお、カルタン幾何学ではそれ以外の場合に対しても捩率を定義できるが一般の場合の捩率に関しては[[カルタン幾何学|カルタン幾何学の項目]]を参照されたい。

=== アフィン空間 ===
まずアフィン空間の定義を簡単に述べる。

'''アフィン空間'''<math>\mathbb{A}^n</math>とは、
:<math> \mathbb{A}^n=\mathbb{R}^n \times \{1\} \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} </math>
の事であり、<math>\mathbb{A}^n</math>には'''アフィン同型群'''
:<math> \mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n)
 = 
\left\{
\begin{pmatrix}
A & b\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\Bigg|
A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^n
\right\}  </math>
が
:<math> \begin{pmatrix}
A & b\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
1
\end{pmatrix}
 = 
\begin{pmatrix}
Ax+b\\
1
\end{pmatrix}
 \in \mathbb{A}^n </math>
により作用している。アフィン同型群<math> \mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n)  </math>は[[半直積]]
:<math> \mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n) = \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \ltimes \mathbb{R}^n </math>
で書き表せる。<math> \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \subset\mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n) </math>の元が<math>\mathbb{A}^n</math>上の一点<math>{}^t(0,1)</math>を固定する変換なのに対し、<math> \mathbb{R}^n \subset\mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n)  </math>の元<math>b \in \mathbb{R}^n</math>は<math>\mathbb{A}^n</math>の元を{{Mvar|b}}だけ動かす<math>\mathbb{A}^n</math>上の'''並進'''であるとみなせる。

=== アフィン空間をモデルとするカルタン幾何学 ===
<math>F(M)</math>を{{Mvar|M}}（の接バンドル）のフレームバンドルとするとき、通常の主接続の接続形式<math>\tilde{\omega}</math>は<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math>の[[リー代数]]<math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})</math>に値を取るが、アフィン空間をモデルとするカルタン幾何学では<math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})</math>ではなく<math> \mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n) = \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \ltimes \mathbb{R}^n </math>のリー代数
:<math> \mathfrak{iso}(\mathbb{A}^n)
= 
\left\{
\begin{pmatrix}
A & b\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\Bigg|
A \in \mathfrak{gl}_n(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^n
\right\} </math>

に値を取る接続形式（'''カルタン接続'''）を用いる<ref name=":0">[[#Sharpe]] p.184.</ref>。<math>\tilde{\eta}</math>をカルタン接続とすると、<math>\tilde{\eta}</math>が<math>  \mathfrak{iso}(\mathbb{A}^n) </math>に値を取ることから、
:<math> \tilde{\eta}= 
\begin{pmatrix}
\tilde{\omega} & \tilde{\theta}\\
0 & 0
\end{pmatrix}
 </math>

のように成分表示できる。ここで<math>\tilde{\omega}</math>は<math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})</math>に値を取り、この事から<math>\tilde{\omega}</math>は通常の主接続であるとみなせる。またカルタン幾何学では各<math>e \in F(M)</math>に対し、
:<math> v\in T_eF(M) \mapsto \tilde{\eta}(v) \in \mathfrak{iso}(\mathbb{A}^n)
 </math>

が全単射になることを要請するが<ref name=":0" />、この要請のもと<math>\tilde{\theta}</math>は標準形式と一致する事を示す事ができる<ref>[[#Sharpe]] p.191.</ref>。

=== 捩率形式の意味づけ ===

カルタン幾何学ではカルタン接続<math>\tilde{\eta}</math>に「第二構造方程式」を適用した
:<math>\tilde{\Omega}^{\mathrm{Cartan}}:= d\tilde{\eta} + \tilde{\eta} \wedge \tilde{\eta}</math>
を（カルタン幾何学における）'''曲率'''という<ref>[[#Sharpe]] p.184.</ref>。これを成分で書くと、第一および第二構造方程式から、
:<math> \tilde{\Omega}^{\mathrm{Cartan}}= 
\begin{pmatrix}
d\tilde{\omega} + \tilde{\omega} \wedge \tilde{\omega}& d\tilde{\theta}+\tilde{\omega}\wedge \tilde{\theta}\\
0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\tilde{\Omega} & \tilde{\tau}\\
0 & 0
\end{pmatrix} </math>
と（通常の接続の意味での）曲率形式<math>\tilde{\Omega}</math>と捩率形式<math>\tilde{\tau}</math>で書ける。<math> \mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n)  </math>の定義から、行列の右上の成分は並進に対応していたので、以上のことから'''捩率形式<math>\tilde{\tau}</math>はカルタン幾何学の意味での曲率の並進部分'''である事がわかる。

== 注 ==
=== 出典 ===
{{reflist|20em}}

=== 注釈 ===
{{reflist|30em|group="注"}}

== 参考文献 ==

* {{cite book |series=Wiley Classics Library |title=[[:en:Foundations of Differential Geometry|Foundations of Differential Geometry]] Volume I |publisher=Wiley |date=2009 |orig-year=1963 |isbn=978-0-471-15733-5 |zbl=0119.37502 |author2=[[野水克己|Katsumi Nomizu]] |author=[[小林昭七|Shishichi Kobayashi]] |ref=Kobayashi-Nomizu-1}}
* {{Cite book|和書 |title=接続の微分幾何とゲージ理論 |date=1989/5/15 |publisher=[[裳華房]] |author=[[小林昭七]] |isbn=978-4785310585 |ref=小林}}
* {{Cite book|洋書 |title=Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes |date=2017/6/P15 |publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer]] |author=[[:en:Loring W. Tu|Loring W. Tu]] |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=275 |isbn=978-3319550824 |ref=Tu}}
* {{Cite web |url=https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~wendl/Winter2016/DiffGeo1/connections_chapter4.pdf |title=Chapter 4: Natural constructions on vector bundles |access-date=2023/08/24 |author=Chris Wendl |ref=Wendl4}}
* {{cite book|洋書 |title=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry |publisher=Publish or Perish, Incorporated |ref=Spivak |author=Michael Spivak |volume=VOLUME TWO |isbn=978-0914098805 |edition=Second Edition}}
* {{cite book|和書| |title=相対性理論の数理 |date=2021/6/22 |publisher=[[日本評論社]] |ref=新井 |author=新井朝雄 |isbn=978-4535789289}}
* {{Cite book|洋書 |title=Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program |publisher=Sprinver |date=1997/6/12 |author=Richard Sharpe |ref=Sharpe |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=166 |isbn=978-0387947327}}


{{Curvature}}
{{tensors}}

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