接円錐曲線のソースを表示


{{暫定記事名|date=2024年3月}}

[[ユークリッド幾何学]]において、接円錐曲線は'''外接円錐曲線'''（がいせつえんすいきょくせん、[[英語|英]]:Circumconic）と'''内接円錐曲線'''（ないせつえんんすいきょくせん、英:inconic）のことである。それぞれ、[[三角形]]の3つの[[頂点]]を通る[[円錐曲線]] 、3つの辺（またはその延長線上）に接する円錐曲線を指す。それぞれ外接2次曲線、内接2次曲線ともいう。

{{Math|△''ABC''}} について {{Math|∠''BAC''}} を単に {{Mvar|A}}とかく。{{Mvar|B}},{{Mvar|C}}も同様である。また辺について<math>a= |BC|, b=|CA|, c=|AB|</math>  とする。

[[三線座標]]<math>X = x:y:z</math>において、外接円錐曲線は{{Math|''u'' : ''v'' : ''w''}}を用いて以下の様に表すことができる。

: <math>uyz + vzx + wxy = 0,</math>

外接円錐曲線上の点{{Mvar|X}}の[[等角共役点]]が成す直線は以下のように書ける。

: <math>ux + vy + wz = 0.</math>

{{Math|△''ABC''}}の[[外接円]]と、この直線が、0,1,2点で交わっているとき、 その外接円錐曲線の形はそれぞれ[[楕円]]、[[放物線]]、[[双曲線]]となる。

{{Math|△''ABC''}} の内接円錐曲線は以下の様に表すことができる。

: <math>u^2x^2 + v^2y^2 + w^2z^2 - 2vwyz - 2wuzx - 2uvxy = 0.</math>

== 中心と接線 ==

=== 外接円錐曲線 ===
外接円錐曲線の中心は

: <math>u(-au+bv+cw) : v(au-bv+cw) : w(au+bv-cw).</math>

である。外接円錐曲線が[[垂心]]を通る場合、[[九点円]]上に位置する<ref>{{Cite web |url=https://nnn.ed.jp/about/club/kenkyubu/pdf/2022/kiyou_07.pdf |title=等角共役とシムソン線の幾何学 |access-date=2024/4/28 |publisher=角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部 |author=齋藤 輝}}</ref>。

{{Mvar|A, B, C}} での[[接線]]はそれぞれ以下の式となる。

: <math>\begin{align} 
wv+vz &= 0, \\
uz+wx &= 0, \\
vx+uy &= 0.
\end{align}</math>

=== 内接円錐曲線 ===
内接円錐曲線の中心は以下の式で与えられる。

: <math>cv+bw : aw+cu : bu+av.</math>
各辺との[[接点 (数学)|接点]]は{{Math|(0:''w'':''v''),(''w'':0:''u''),(''v'':''u'':0)}}である。

== 他の性質 ==

=== 外接円錐曲線 ===

* {{Math|△''ABC''}}の頂点でない外接円と、外接円錐曲線の交点の三線座標は以下の式で与えられる。

:: <math>(cx-az)(ay-bx) : (ay-bx)(bz-cy) : (bz-cy)(cx-az)</math>

* <math>P = p:q:r</math> が外接円錐曲線上にあるとき,その外接円錐曲線の{{Mvar|P}}を通る接線は以下の式で表される。

:: <math>(vr+wq)x + (wp+ur)y + (uq+vp)z = 0.</math>

* 外接円錐曲線が[[放物線]]であることと、以下の式が成立することは[[同値]]である<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=重心座標による幾何学 |date=9/12 |year=2014 |publisher=[[現代数学社]] |pages=52,62 |author=[[一松信]],[[畔柳和生]]}}</ref>。

:: <math>u^2a^2 + v^2b^2 + w^2c^2 - 2vwbc - 2wuca - 2uvab = 0,</math>

: 双曲線であることは以下の式が成立することと同値である。

:: <math>u\cos A + v\cos B + w\cos C = 0.</math>

* 楕円に内接する三角形のうち、最も面積が大きいものの[[幾何中心|重心]]は楕円の中心と一致する<ref name="Chakerian">Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979. </ref>。逆に三角形に外接する楕円のうち、最も面積の大きいものの中心は三角形の重心と一致し、その楕円は[[シュタイナー楕円|シュタイナーの外接楕円]]である。

=== 内接円錐曲線 ===

* 内接円錐曲線が[[放物線]]であることと、以下の式が成立することは[[同値]]である。

:: <math>ubc + vca + wab = 0,</math>

: このとき、三角形の辺との接点のうち、1つは三角形の辺上にあり、他2つは辺の延長線上で接する。また、ブリアンション点(後述)はシュタイナー外接楕円上にある。

* 2点をそれぞれ<math>p_{1}:q_{1}:r_{1},p_{2}:q_{2}:r_{2}</math>とする。また、

:: <math>X = (p_1+p_2 t) : (q_1+q_2 t) : (r_1+r_2 t).</math>

: {{Mvar|t}} を[[実数]]として、上式で表される点 {{Mvar|X}} の軌跡は直線である。

:: <math>X^2 = (p_1+p_2 t)^2 : (q_1+q_2 t)^2 : (r_1+r_2 t)^2.</math>

: 上式の点 {{Math|''X''{{sup|2}}}} の軌跡は下の式で表される楕円を成す。

:: <math>L^4x^2 + M^4y^2 + N^4z^2 - 2M^2N^2yz - 2N^2L^2zx - 2L^2M^2xy = 0,</math>

: ただし、

:: <math>\begin{align}
L &= q_1r_2 - r_1q_2, \\
M &= r_1p_2 - p_1r_2, \\
N &= p_1q_2 - q_1p_2.
\end{align}</math>

* 内接円錐曲線が楕円（内接楕円）であることは、その中心が中点三角形の内側にあることと同値である<ref name="Chakerian" />{{Rp|p.139}}。 また、中点三角形の内側にある点に対して、その点を中心とする楕円の内接円錐曲線は一意である<ref name="Chakerian" />{{Rp|p.142}}。
* 楕円の内接円錐曲線のうち、最も面積の大きいのは[[シュタイナーの内接楕円]]で各辺と中点で接する。シュタイナーの内接楕円の中心は[[幾何中心|重心]]である<ref name="Chakerian" />{{Rp|p.145}}。一般に楕円の内接円錐曲線の面積と三角形の面積の比について、楕円の中心の絶対[[重心座標]]を{{Math|(''α, β, γ'')}} とし、以下の式が成り立つ<ref name="Chakerian" />{{Rp|p.143}}。

:: <math>\frac{\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}=   \pi \sqrt{(1-2\alpha)(1-2\beta)(1-2\gamma)},</math>

: [[平均#関係式|相加相乗平均の不等式]]より {{Math|1=''α'' = ''β'' = ''γ'' = ⅓}}すなわち楕円の中心が重心であるとき、面積が最大であることがわかる。

== 四角形への一般化 ==
[[四角形]]のすべての辺に接する楕円の中心は、その四角形の対角線の中点を結ぶ線分上にある<ref name="Chakerian" />{{Rp|p.136}}。

== 例 ==

* '''外接円錐曲線'''
** [[外接円]]、[[外接円#三角形の外接円|外心]]を中心とする円
** [[シュタイナー楕円|シュタイナーの外接楕円]]、重心を中心とする楕円
** [[キーペルト双曲線]]、重心,[[垂心]],[[フェルマー点]],[[シュピーカー点]]などを通りX(115)を中心とする双曲線<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(115) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#115 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-26}}</ref>
** [[ジェラベク双曲線]]、垂心、外心、[[類似重心]]、[[コスニタの定理|コスニタ点]]、[[プラソロフ点]]などを通りX(125)を中心とする双曲線<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(125) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#125 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-26}}</ref>
** [[フォイエルバッハ双曲線]]、[[内心]]、垂心、[[ジェルゴンヌ点]]、 [[ナーゲル点]]、[[ミッテンプンクト]]、[[シフラー点]]などを通る[[フォイエルバッハ点]]を中心とする双曲線
* '''内接円錐曲線'''
** [[三角形の内接円と傍接円|内接円]]、内心を中心とする円
** [[シュタイナーの内接楕円]]、三角形の辺の中点で接する重心を中心とする楕円
** {{仮リンク|マンダルト楕円|en|Mandart inellipse}}、{{仮リンク|中界線|en|Splitter (geometry)}}と各辺の交点で接する、ミッテンプンクトを中心とする楕円
** [[キーペルト円錐曲線#キーペルト放物線|キーペルト放物線]]
** [[Yff parabola|イフ放物線]]

== 極三角形 ==
任意の円錐曲線に対し、三角形とその三角形の頂点の[[極線 (数学)|極線]]の成す三角形の組を'''互いに極なる三角形'''または、単に一方の'''極三角形'''（polar triangle）という<ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1947 |publisher=[[岩波書店]] |page=40 |doi=10.11501/1063410}}</ref><ref>{{Cite web |title=Polar Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/PolarTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-28 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=座標幾何学 |year=1952 |publisher=[[共立出版]] |page=40 |doi=10.11501/1372006}}</ref>。ただし極三角形と言う語は[[球面三角法|球面三角形]]に対する異なる図形を指す場合もある。

互いに極なる三角形は[[配景]]の関係にある（Chasles's Polar Triangle Theorem）<ref name="Chakerian" />{{Rp|p.148}}<ref>{{Cite web |title=Chasles's Polar Triangle Theorem |url=https://mathworld.wolfram.com/ChaslessPolarTriangleTheorem.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-06-21 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

{{仮リンク|三角形幾何学|de|Dreiecksgeometrie}}では、内接円錐曲線に対する、基準三角形とその極三角形の配景の中心は'''[[ブリアンションの定理|ブリアンション点]]'''と呼ばれる<ref>{{Cite web |title=Brianchon Point |url=https://mathworld.wolfram.com/BrianchonPoint.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。ブリアンション点の三線座標は{{Math|(1/''u'':1/''v'':1/''w'')}}である。また接円錐曲線に対する基準三角形とその極三角形の配景の中心を総じて'''核心'''（Kernel）という<ref name=":0" />。

基準三角形と内接円錐曲線での例

* [[内接円]]に対する極三角形は[[三角形の内接円と傍接円|ジェルゴンヌ三角形]]、核心は[[ジェルゴンヌ点]]
* シュタイナーの内接楕円に対する極三角形は[[中点三角形]]、核心は[[重心]]
* マンダルト楕円に対する極三角形は{{仮リンク|Extouch triangle|en|Extouch triangle}}、核心は[[ナーゲル点]]
* [[類似中線#他の図形との関係|ブロカール楕円]]に対する極三角形eは類似中線三角形、核心は[[類似中線|類似重心]]
* [[キーペルト円錐曲線|キーペルト放物線]]に対する極三角形はシュタイナー三角形、核心は[[シュタイナー点]]
* [[類似中線#他の図形との関係|ルモワーヌ内接楕円]]に対する極三角形はルモワーヌ三角形、核心は類似重心と重心の中点X(597)の[[等角共役点]]X(598)
外接円錐曲線での例

* [[外接円]]に対する極三角形は[[外接三角形|接線三角形]]、核心は[[類似重心]]
* シュタイナーの外接楕円に対する極三角形は[[中点三角形#反中点三角形|反中点三角形]]、核心は重心

他の円錐曲線での例

* [[極円 (幾何学)|極円]]に対する極三角形は元の三角形

== 関連 ==

* [[三角形の円錐曲線]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* [http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html Circumconic] at MathWorld
* [http://mathworld.wolfram.com/Inconic.html Inconic] at MathWorld
{{デフォルトソート:せつえんすいきよくせん}}
[[Category:円錐曲線]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]