推移的集合のソースを表示

[[数学]]の[[集合論]]（必ずしもZFCではない一般の集合論）において、[[集合]] ''A'' が'''推移的'''（{{lang-en-short|transitive}}）であるとは、
* ''x'' ∈ ''A'' かつ ''y'' ∈ ''x''、ならば ''y'' ∈ ''A''
もしくは、同じ意味であるが
* ''x'' ∈ ''A'' かつ ''x'' が[[元 (数学)#元素|urelement (基本元素)]]でないなら ''x'' は ''A'' の[[部分集合]]
であることをいう。同様に[[クラス (集合論)|クラス]] ''M'' が推移的であるとは、''M'' の要素が全て ''M'' の部分集合であることをいう。

== 例 ==
[[ジョン・フォン・ノイマン]]による[[順序数]]の定義を用いると、順序数は[[遺伝的]]に推移的な集合として定義される
:すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で(よって順序数でも)ある。

[[フォン・ノイマン宇宙]] ''V''や [[構成可能集合|構成可能宇宙]] ''L'' の構成の際に現れる
''V''<sub>α</sub> や ''L''<sub>''α''</sub>といった全ての階層も推移的集合である。
[[宇宙 (数学)|宇宙]] ''L'' と ''V'' もそれ自体推移的クラスである。

== 性質 ==
集合 ''X'' が推移的であることは<math>\bigcup X \subseteq X</math>であることと同値である。
ここで<math>\bigcup X</math>は、''X''の全ての要素(のうち集合であるもの)の[[合併 (集合論)|和]]、すなわち
<math>\bigcup X = \{y | (\exists x \in X) y \in x\}</math>のことである。
''X'' が推移的であるなら、<math>\bigcup X</math>も推移的である。
''X'' と ''Y'' が推移的なら、''X''&cup;''Y''&cup;{''X'',''Y''}も推移的である。
一般的に、''X''が全ての要素が推移的集合であるクラスならば、<math>X \cup \bigcup X</math>も推移的である。

urelementsを持たない集合''X''が推移的であることはそれが自身の[[冪集合]]の部分集合となること、
すなわち<math>X \subset \mathcal{P}(X)</math>となることと同値である。
urelementsを持たない推移的集合の冪集合は推移的である.

== 推移閉包 ==
集合''X''の'''推移閉包'''は''X''を含む推移的集合の中で(包含関係の意味で)最小のもののことである。
集合''X''が与えられたとして、''X''の推移閉包は
:<math>\bigcup \{ X, \bigcup X, \bigcup \bigcup X, \bigcup \bigcup \bigcup X, \bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X, ... \}.</math>
である。つまり、これは''X''上の所属関係に関する[[推移閉包]]で関係づけられる全ての対象のによる集合である。

==集合論における推移的モデル==
[[有界量化子|有界な式]]によって定義された性質が推移的クラスに対して[[絶対性|絶対的]]である
ということから、推移的クラスは集合論の中における[[:en:relative interpretation|interpretation]]sの構成のためにしばしば用いられる。
これはいわゆる[[内部モデル (数学)|内部モデル]]と言われるものである。

推移的集合(クラス)が集合論の[[:en:theory (mathematical logic)|formal system]]のモデルであることを
その理論の'''推移的モデル'''と言い表す。
推移性は式の絶対性を決定するのに重要な要因である。

==関連項目==
*[[:en:End extension]]
*[[推移関係]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* {{cite book
|last=Jech
|first=Thomas
|authorlink=Thomas Jech
|title=The Axiom of Choice
|year=2008
|origyear=originally published in 1973
|publisher=[[Dover Publications]]
|isbn=0-486-46624-8
}}

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[[Category:集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]