換算質量のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年6月}}
'''換算質量'''（かんさんしつりょう、{{lang-en|reduced mass}}）とは、[[ニュートン力学]]の[[二体問題]]において用いられる有効な[[質量|慣性質量]]のことである。質量の[[量の次元|次元]]を持つ量であり、二体問題を一体問題であるかのように扱うことを可能にする。換算質量はよくギリシャ文字<math>\mu</math>を使って示される。

換算質量は2つの質量の[[調和平均]]の半分であり、常に2物体それぞれの質量以下となる。ただし、重力の大きさを決める[[重力質量]]自体が減っているとみなせるわけではない。一方の質量を換算質量で置き換えた場合、他方を2物体の質量の和に置き換えれば、計算上は重力を正しく表せる。

==二体問題における換算質量==
質量<math>m_{1}</math>と<math>m_{2}</math>を持つ2つの物体があり、[[重心]]の周りを回転している。この問題と等価な一体問題は、物体2を位置の基準とし、物体1の質量を換算質量
:<math>m_\text{red} = \mu =  \cfrac{1}{\cfrac{1}{m_1}+\cfrac{1}{m_2}} = \cfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}</math>
に置き換え、重力はもとの2つの物体の間に働くものと同じとして物体1の位置を求める問題である。

これは簡単に証明することができる。[[運動の第2法則|ニュートンの第2法則]]を用いると、物体2によって物体1に及ぼされる力は以下のようになる。
:<math>F_{12} = m_1 a_1</math>.

物体1によって物体2に及ぼされる力も同様に
:<math>F_{21} = m_2 a_2</math>
である。

[[運動の第3法則|ニュートンの第3法則]]に従うと、すべての作用に対して大きさの等しい逆向きの反作用があるので、
:<math>F_{12} = - F_{21}.</math>
である。したがって
:<math>m_1 a_1 = - m_2 a_2</math>
であり
:<math>a_2=-{m_1 \over m_2} a_1</math>
である。

2つの物体の間の相対的な加速度は、以下のように与えられる。
: <math>a= a_1-a_2 = \left({1+{m_1 \over m_2}}\right) a_1 = {{m_2+m_1}\over{m_1 m_2}} m_1 a_1 = {F_{12} \over m_\text{red}} </math>.
したがって物体1は、物体2の位置を基準にして、換算質量と同じ質量を持った物体と同じように動く。

重力の公式を使うと、物体2に対する物体1の位置は、2物体の質量の和と同じ質量を持つ物体の周りを公転している非常に小さな物体の位置と同じ微分方程式によって支配されていることがわかる。なぜなら
:<math>{m_1 m_2 \over m_\text{red}} = m_1+m_2.</math>
だからである。

また、
:<math>m_1 m_2 = (m_1+m_2) m_\text{red}</math>
より
:<math>F = G {m_1 m_2 \over r^2}=G  {(m_1+m_2) m_\text{red}\over r^2}</math>
よって、一方の質量を換算質量で置き換えた場合、他方を2物体の質量の和に置き換えれば、計算上は重力を正しく表せる。

==より一般的な換算質量==
「換算質量」という言葉はより一般的に、次のような形の代数項を指すことがある。
:<math>x_\text{red} =  {1 \over {1 \over x_1} + {1 \over x_2}} = {x_1 x_2 \over x_1 + x_2}</math>.

これを拡張することで、次のような形の式を簡略化することができる。
:<math>\ {1\over x_\text{eq}} = \sum_{i=1}^n {1\over x_i} = {1\over x_1} + {1\over x_2} + \cdots+ {1\over x_n}</math>.

このような換算質量は、並列につながれた複数の電気的、熱的、水圧的、あるいは力学的な[[抵抗器|抵抗]]などの要素の関係式にも用いられる。それらの関係式は、要素をつなぐ[[連続の方程式]]と同様に、要素の物理的な特性によって決定されるものである。

{{DEFAULTSORT:かんさんしつりよう}}

[[Category:力学]]
[[Category:質量]]