摩擦損失係数のソースを表示

'''摩擦損失係数'''とは[[流体力学]]での[[ダルシー・ワイスバッハの式]]に使われる[[無次元数]]であり、配管流れや[[開水路流れ]]での流体エネルギーの摩擦損失を記述している。基本的な流れであり、産業的にも重要であるため、数多くの式が提案されている。

[[次元解析]]により無次元化された式で表現されており、提案されている式は全て次の2つの無次元変数によって表されている：
* <math>Re = \frac{UD}{\nu}</math> ：[[レイノルズ数]]

* <math>\frac{\varepsilon}{D}</math> ：相対粗度、絶対粗度&epsilon;と配管の直径''D''の比


以下では摩擦損失係数の記号に <math>f</math> を用いる。

== 流れ領域 ==
摩擦損失係数は流れのタイプにより次の6つに分かれる。

*層流
*層流と乱流の遷移領域
*滑面における十分に発達した乱流
*滑面と粗面の中間における十分に発達した乱流
*粗面における十分に発達した乱流
*自由表面流れ([[開水路流れ]])

=== 層流 ===
[[レイノルズ数]]''Re'' が2000未満での[[層流]]における摩擦損失係数''f'' は次のように与えられる。

:<math> f = \frac{64}{Re}</math>

=== 遷移領域 ===
遷移領域(十分に発達した層流と十分に発達した乱流を除く領域)は[[レイノルズ数]]''Re'' が2000～4000の間に現れる。この領域での摩擦損失係数の値は大きな不確実性に支配される。摩擦損失係数''f'' は次のように近似される<ref>http://www.epa.gov/nrmrl/wswrd/dw/epanet.html#downloads EPANET 2 Users Manual (PDF)P189</ref>。

:<math> f = X_1+ R(X_2 + R(X_3 + X_4))</math>

*<math> R = \frac{2000}{Re}</math>
*<math> X_1 = 7F_A - F_B \, </math>
*<math> X_2 = 0.128 -17F_A + 2.5F_B \, </math>
*<math> X_3 = -0.128 +13F_A - 2F_B \, </math>
*<math> X_4 = R (0.032 - 3F_A + 0.5F_B)</math>
**<math> F_A = Y_3^{-2}</math>
**<math> F_B = F_A \left( 2 - \frac {0.00514215} {Y_2 Y_3} \right)</math>
***<math> Y_2 = \frac{\varepsilon}{3.7 D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}} </math>
***<math> Y_3 = -0.86859 \ln \left( \frac{\varepsilon}{3.7 D} + \frac{5.74}{4000^{0.9}}\right)</math>

=== 滑面配管での乱流 ===
滑らかな円管の摩擦損失係数を求める経験式としては
* ブラジウスの式。ファニングの摩擦係数に関し初期に求められた近似式である。
*: <math>f=0.3164Re^{-0.25}</math>
* ファニングの式<ref>{{cite|和書 |editor= |author=相原利雄 |title=エスプレッソ伝熱工学 |edition= |publisher=裳華房 |year=2009 |isbn=978-4-7853-6023-8 |page=75}}</ref>
*:<math>f=0.046Re^{-0.2},\quad 10^4<Re<2\times10^5</math>

=== 滑面と粗面の中間配管での乱流 ===
滑らかな円管及び荒い円管における摩擦損失係数を求める経験式としてコールブルックの式がある。
{{main|コールブルックの式}}

=== 粗面配管での乱流 ===
粗い円管で''Re'' が十分高い流れの摩擦損失係数を求める経験式として次のカルマン・ニクラーゼの式がある。これはコールブルックの式に対し''Re'' →&infin;の極限を取って''f'' についての陰的な項を省略したものである。
:<math>\begin{align}\frac{1}{\sqrt{f}} &= 2 \log_{10} 3.7-2 \log_{10} \left( \frac {\varepsilon}
{D} \right)\\
&= 1.1364\ldots  -2 \log_{10} \left( \frac {\varepsilon}
{D} \right)\end{align}</math>

=== 自由表面流れ ===
{{main|コールブルックの式#自由表面流れ}}
<!--コールブルックの式のページの最後の式が自由表面流れにおける式である。この項の他の近似式はこの自由表面流れに適用できない。-->

== 式の選択 ==
式を選ぶ前に[[ムーディー線図]]により紙面上で摩擦損失係数を求めることもができることを知ることも有用である。ムーディーは滑面配管では±5%、粗面配管では±10%の精度があると述べている。

流れ領域の検討の結果、上記のうち2つ以上の式が適用可能であるなら、式の選択は下記を参考とすればよい。
*必要とされる[[精度]]
*必要とされる[[計算速度]]
*使用可能なコンピューター技術:
**計算機 ([[キーストローク]]の最小化)
**[[スプレッドシート]] (シングルセル計算式)
**[[プログラミング言語]]/[[スクリプト言語]] ([[サブルーチン]])

== コールブルックの式 ==
{{main|コールブルックの式}}
コールブルックの式は摩擦損失係数''f'' を求めることができるが、式の両辺に''f'' を含む[[陰関数|陰的な方程式]]であり不便なため、以下のような陽的な近似式がさまざまに提案されている。近似式ではあるが、実験データとの乖離はデータの変動内であり精度は十分である。

=== ハーランドの式 (Haaland equation) ===
S.E ハーランドにより1983年に開発された。
:<math> \frac{1}{\sqrt{f}} = -1.8 \log_{10} \left[ \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} \right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re} \right] </math>

=== スワミー・ジャインの式 (Swamee–Jain equation) ===
:<math>f =  0.25\left[\log_{10} \left(\frac{\varepsilon}{3.7D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right)\right]^{-2}</math>

=== セルギーダスの式(Serghides's solution) ===
この式は[[w:en:Steffensen's method]]を用いて開発されている<ref>Serghides, T.K (1984). "Estimate friction factor accurately". ''Chemical Engineering Journal'' '''91'''(5): 63–64.</ref>。コールブルックの式に対し誤差0.0023%の精度があることが知られている。データ精度の確認は、10個の相対粗度（0.00004から0.05）及び7個のレイノルズ数（2500 to 10<sup>8</sup>）の計70点を用いて行われている。

: <math> f = \left(A - \frac{(B - A)^2}{C - 2B + A}\right)^{-2}</math>

* <math> A = -2\log_{10 }\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{12}{Re}\right) </math>

* <math> B = -2\log_{10} \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51 A}{Re}\right) </math>

* <math> C = -2\log_{10} \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51 B}{Re}\right) </math>

=== ゴーダー・ソナッドの式 (Goudar–Sonnad equation)<ref>Goudar, C.T., Sonnad, J.R. (August 2008). "Comparison of the iterative approximations of the Colebrook–White equation". ''Hydrocarbon Processing'' '''Fluid Flow and Rotating Equipment Special Report'''(August 2008): 79–83.</ref> ===
最も精度が高い近似式である。

:<math>\frac{1}{\sqrt{f}} = a\left[ \ln\left( \frac{d}{q} \right) + D_\mathrm{CFA} \right] </math>

* <math> a = 2 / \ln 10</math>
* <math> d = \frac{\ln 10}{5.02} Re </math>
* <math> q = s^{s/(s+1)}</math>
* <math> D_\mathrm{CFA} = D_\mathrm{LA} \left(1 + \frac{z/2}{(g+1)^2+(z/3)(2g-1)}\right) </math>
** <math> s = bd + \ln d  \, </math>
** <math> D_\mathrm{LA} = z\frac{g}{g+1} </math>
** <math> g = bd + \ln\frac{d}{q} </math>
** <math> z = \ln\frac{q}{g} </math>
*** <math> b = \frac{\varepsilon/D}{3.7} </math>

=== ブルキッチの式 (Brki&#x107; solution) ===<!--&#x107;はć-->
ブルキッチは[[ランベルトのW関数]]に基づきコールブルックの式の近似式を示した<ref>
{{cite journal |   title = An Explicit Approximation of Colebrook’s equation for fluid flow friction factor
    | author = Brkić, Dejan
    | journal = Petroleum Science and Technology
    | volume = 29
    | pages = 1596–1602
    | year = 2011
    | issue = 15 |   doi = 10.1080/10916461003620453}}</ref> 。この式は誤差3.15%の精度でコールブルックの式に一致することが知られている。

: <math> \frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10} \left(\frac{\varepsilon/D}{3.71} + \frac{2.18 S}{Re}\right) </math>

*<math> S = \ln\frac{Re}{1.816\ln\frac{1.1Re}{\ln(1+1.1Re)}}</math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite journal | first=C.F. | last=Colebrook | title=Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws | journal=Journal of the Institution of Civil Engineers | location=London |date=February 1939 | doi=10.1680/ijoti.1939.13150}} <br /> For the section which includes the free-surface form of the equation — {{Citation2 |df=ja  | year=2002 |title=Computer Applications in Hydraulic Engineering | edition=5th | publisher=Haestad Press | postscript=<!--None--> }}, p.&nbsp;16.
*{{cite journal|last = Haaland|first = SE|title = Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Flow|journal = Journal of Fluids Engineering | publisher=ASME|volume = 103|pages = 89–90|year = 1983|issue = 5|doi=10.1115/1.3240948
}}
*{{cite journal | author = Swamee, P.K. | coauthors = Jain, A.K. | year = 1976 | title = Explicit equations for pipe-flow problems | journal = Journal of the Hydraulics Division | publisher=ASCE | volume = 102 | issue = 5 | pages = 657–664}}
*{{cite journal| author = Serghides, T.K | year = 1984 |title = Estimate friction factor accurately | journal = Chemical Engineering | volume = 91 | issue = 5 | pages = 63–64}} — Serghides' solution is also mentioned [http://www.cheresources.com/colebrook2.shtml here].
*{{cite journal | first=L.F. | last=Moody | title=Friction Factors for Pipe Flow | journal=Transactions of the ASME | volume=66 | issue=8 | year=1944 | pages=671–684 }}
*{{cite journal | first=Dejan | last=Brkić | title=Review of explicit approximations to the Colebrook relation for flow friction | journal=Journal of Petroleum Science and Engineering | volume=77 | issue=1 | year=2011 | pages=34–48 | doi=10.1016/j.petrol.2011.02.006 }}
*{{cite journal | first=Dejan | last=Brkić | title=W solutions of the CW equation for flow friction | journal=Applied Mathematics Letters | volume=24 | issue=8 | year=2011 | pages=1379–1383 | doi=10.1016/j.aml.2011.03.014 }}

== 外部リンク ==
*[http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/aaaa/akira/pipe_friction.html 管摩擦係数λ]

{{DEFAULTSORT:まさつそんしつけいすう}}
[[Category:流体力学の無次元数]]
[[Category:水理学]]