擬凸性のソースを表示

{{about|多変数複素函数における概念|凸解析における概念|擬凸函数}}

[[数学]]の[[多変数複素函数]]の理論において、'''擬凸集合'''（ぎとつしゅうごう、{{Lang-en-short|pseudoconvex set}}）は {{mvar|n}} 次元複素空間 {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} 内のある特殊なタイプの[[開集合]]である。擬凸集合が重要となるのは、それらが[[正則領域]]の分類に有用となるからである。

今

:<math>G \subset \mathbb{C}^n</math>

を領域、すなわち、[[開集合|開]][[連結空間|連結]][[部分集合]]とする。{{mvar|G}} が擬凸（あるいは、ハルトークス擬凸）であるとは、すべての[[実数]] {{mvar|x}} に対して

:<math>\{ z \in G \mid \varphi(z) < x \}</math>

が {{mvar|G}} の[[相対コンパクト]]な部分集合となるような、{{mvar|G}} 上のある[[連続 (数学)|連続]][[多重劣調和函数]] {{mvar|&phi;}} が存在することを言う。言い換えると、{{mvar|G}} が連続かつ多重劣調和なエグゾースチョン函数 (exhaustion function) を持つとき、その領域は擬凸である。

{{mvar|G}} が {{math|''C''<sup>2</sup>}}（二階[[滑らかな函数|連続的微分可能]]）級の[[境界 (位相空間論)|境界]]を持つとき、この概念はより簡単に扱えるレヴィ擬凸性となる。より具体的に、{{math|''C''<sup>2</sup>}} 級の境界を持つ {{mvar|G}} には定義函数が存在することが示される。すなわち、{{math|1=''G'' = {{mset|''&rho;'' < 0}}}} および {{math|1=&part;''G'' = {{mset|''&rho;'' {{=}} 0}}}} を満たすような {{math|''C''<sup>2</sup>}} 級の {{math|''&rho;'': '''C'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R'''}} の存在が示される。今、{{mvar|G}} が擬凸であるための必要十分条件は、すべての {{math|''p'' &isin; &part;''G''}} と、{{mvar|p}} での複素接空間内の {{mvar|w}}, すなわち

:<math> \nabla \rho(p) w = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \rho (p)}{\partial z_j} w_j = 0 </math>

を満たすような {{mvar|w}} に対して、

:<math>\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 \rho(p)}{\partial z_i \partial \bar{z_j}} w_i \bar{w_j} \geq 0</math>

が成立することである。

{{mvar|G}} の境界が {{math|''C''<sup>2</sup>}} 級でないなら、次の近似的な結果が有用となる。

'''命題1'''  {{mvar|G}} が擬凸であるなら、境界が {{math|''C''<sup>&infin;</sup>}} 級（[[滑らかな函数|滑らか]]）で、{{mvar|G}} 内で相対コンパクトであるような[[有界集合|有界]]強レヴィ擬凸領域 {{math|''G{{sub|k}}'' &sub; ''G''}} で

:<math>G = \bigcup_{k=1}^\infty G_k </math>

を満たすものが存在する。

この命題がなぜ成立するかと言うと、定義におけるような {{mvar|&phi;}} に対して、実際に {{math|''C''<sup>&infin;</sup>}} エグゾースチョン函数 (exhaustion function) を得ることが出来るからである。

== {{math|1=''n'' = 1}} の場合 ==

複素一次元において、すべての開領域は擬凸である。したがって擬凸性の概念は、より高次元の場合においてより有意義となる。

== レヴィの問題 ==

「擬凸領域は正則領域か？」と問う問題を'''レヴィの問題'''という{{Sfn|酒井|1960|p=157}}。1911年に{{仮リンク|エウジェーニオ・エリア・レヴィ|en|Eugenio Elia Levi}}によって提出された。

多変数函数論の発展に大きな影響を与えたこの問題は1942年に[[岡潔]]によって2変数の場合にまず解かれた{{Sfn|酒井|1957|p=26}}。その後1953年に岡によって一般次元の場合にも解かれ、1954年に{{仮リンク|ハンス＝ヨアヒム・ブレメルマン|en|Hans-Joachim Bremermann}}や{{仮リンク|フランソワ・ノルゲ|de|François Norguet}}によっても独立に解かれた。なお、未公表ではあったが1943年に岡は一般次元の場合も解いていた{{Sfn|Noguchi|2019|p=19}}。[[一松信]]も1949年に公表された日本語の論文の中で一般次元の場合を解いていた{{Sfn|Noguchi|2019|p=22}}。

1958年に{{仮リンク|ハンス・グラウエルト|en|Hans Grauert}}は岡の証明を簡易化した{{Sfn|Noguchi|2019|p=23}}。1965年に[[ラース・ヘルマンダー]]は
<math>\scriptstyle \bar{\partial}</math>
方程式を直接解く方法による別証明を得た。

岡潔だけはこの問題を[[フリードリヒ・ハルトークス]]にちなむ'''ハルトークスの逆問題'''という名前で呼んでいた<ref>
{{Citation|和書
| author = [[高瀬正仁]]
| contribution = 数学史における本質的連鎖と論理的連鎖　　---多変数函数論と虚数乗法論からの二つの例---
| title = [https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo01/ 19世紀数学史, 第1回数学史シンポジウム報告集]
| contribution-url = https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo01/01takase.pdf
| year = 1991
| series = 津田塾大学数学・計算機科学研究所報
| issue = 1
| pages = 11
| publisher = 津田塾大学数学・計算機科学研究所
}}
</ref>。レヴィの問題と異なり、ハルトークスの逆問題では境界の2回連続微分可能性を課さないので、その意味でより一般的なのだという{{Sfn|Noguchi|2019|p=20}}。

この問題の解決により、正則領域がはじめて境界局所的な概念によって特徴づけられた<ref>
{{Cite book|和書|author=倉田令二朗|others=高瀬正仁 解説|title=多変数複素関数論を学ぶ|publisher=日本評論社|year=2015|page=169}}
</ref>。

== 出典 ==
{{reflist|2}}

== 関連項目 ==
* [[正則凸包]]
* [[シュタイン多様体]]
* {{仮リンク|解析的多面体|en|Analytic polyhedron}}

== 参考文献 ==
* [[ラース・ヘルマンダー|Lars Hörmander]], ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables'', North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
* Steven G. Krantz. ''Function Theory of Several Complex Variables'', AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
* {{Citation |last=Range |first= R. Michael |date=February 2012 |title=WHAT IS...a Pseudoconvex Domain? |journal=Notices of the American Mathematical Society |volume=59 |issue=2 |pages=301–303 |url=http://www.ams.org/notices/201202/rtx120200301p.pdf |doi=10.1090/noti798}}

=== レヴィの問題 ===
* {{Cite journal|和書| doi = 10.11429/sugaku1947.9.17| volume = 9| issue = 1| page = 17–44| author = 酒井栄一| title = 正則領域| journal = [[数学 (雑誌)|数学]]| date = 1957 | ref={{SfnRef|酒井|1957}}}}
* {{Cite journal|和書| doi = 10.11429/sugaku1947.11.157| volume = 11| issue = 3| pages = 157–162| author = 酒井栄一| title = Leviの問題| journal = [[数学 (雑誌)|数学]]| date = 1960 | ref={{SfnRef|酒井|1960}}}}
* {{Cite journal| doi = 10.4310/ICCM.2019.v7.n2.a2| volume = 7| issue = 2| pages = 19–24| last = Noguchi| first = Junjiro| title = A brief chronicle of the Levi (Hartog’s inverse) problem, coherence and open problem| journal = Notices of the International Congress of Chinese Mathematicians| year = 2019| url = https://content.intlpress.com/journal/ICCM/article/1744 | ref = harv}}

{{DEFAULTSORT:きとつせい}}
[[Category:多変数複素函数論]]
[[Category:複素解析]]
[[Category:数学に関する記事]]