擬距離空間のソースを表示

[[数学]]の分野における'''擬距離空間'''（ぎきょりくうかん、{{Lang-en-short|pseudometric space}}）とは、異なる二点の間の距離がゼロとなることもあるように一般化された[[距離空間]]である。すべての[[ノルム空間]]が[[距離空間]]であるように、すべての[[ノルム|半ノルム空間]]は擬距離空間である。このことから、[[距離空間|半距離空間]]（[[位相空間論]]における意味とは異なる）という語が、特に[[関数解析学]]の分野において、擬距離空間の同義語として用いられることがある。

擬距離の族によって位相が生成される時、その空間は{{仮リンク|ゲージ空間|en|gauge space}}と呼ばれる。

== 定義 ==
擬距離空間 <math>(X,d)</math> とは、すべての <math>x,y,z \in X</math> に対して
#<math>\,\!d(x,x) = 0</math>.
#<math>\,\!d(x,y) = d(y,x)</math> （対称性）
#<math>\,\!d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)</math> （[[劣加法性]] / [[三角不等式]]）
を満たすような非負の実数値関数 <math>d: X \times X \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}</math> （'''擬距離'''と呼ばれる）を備える集合 <math>X</math> のことである。

距離空間とは異なり、擬距離空間における各点は{{仮リンク|不可識別者同一|label=識別可能|en|identity of indiscernibles}}である必要はない。すなわち、二つの異なる値 <math>x\ne y</math> に対して <math>d(x,y)=0</math> が得られることもある。

== 例 ==
擬距離は[[関数解析学]]の分野においては自然に現れる。実数値関数 <math>f:X\to\mathbb{R}</math> からなる空間 <math>\mathcal{F}(X)</math> と、ある特定の点 <math>x_0\in X</math> を考える。この点は、<math>f,g\in \mathcal{F}(X)</math> に対して
:<math>\,\!d(f,g) = |f(x_0)-g(x_0)|\;</math>
で与えられるような擬距離を導く。

ベクトル空間 ''V'' に対し、[[ノルム|半ノルム]] ''p'' は ''V'' 上の擬距離を
:<math>\,\!d(x,y)=p(x-y)</math>
のように導く。逆に、同次の推移不変な擬距離は、半ノルムを導く。

擬距離は、双曲型[[複素多様体]]の理論においても現れる。[[小林距離]]を参照されたい。

== 位相 ==
'''擬距離位相'''とは、[[球|開球]]
: <math>B_r(p)=\{ x\in X\mid d(p,x)<r \}</math>
全てからなる集合が位相（開集合系）の[[基底 (位相空間論)|基底]]を成すものとして導かれる[[位相空間論|位相]]のことである<ref>{{planetmath reference|id=6284|title=Pseudometric topology}}</ref>。位相空間が'''擬距離化可能'''であるとは、その空間上に与えられた位相と一致するような擬距離位相を与えることが出来ることを言う。

擬距離と距離の違いは、完全に位相的なものである。すなわち、擬距離が距離であるための必要十分条件は、それが生成する位相が[[T0空間| ''T''<sub>0</sub> ]]であることである（すなわち、異なる点が位相的に識別可能）。

== 距離等化 ==
擬距離の解消は、'''距離等化'''（metric identification）と呼ばれ、擬距離空間を一廉の[[距離空間]]に変える[[同値関係]]を導く。これは、<math>x\sim y</math> を <math>d(x,y)=0</math> で定義することによって得られる。<math>X^*=X/{\sim}</math> とし、
: <math>d^*([x],[y])=d(x,y)</math>
とする。このとき、<math>d^*</math> は <math>X^*</math> 上の距離であり、<math>(X^*,d^*)</math> は well-defined な距離空間である<ref>{{cite book|last=Howes|first=Norman R.|title=Modern Analysis and Topology|year=1995|publisher=Springer|location=New York, NY|isbn=0-387-97986-7|url=http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-0-387-97986-1|accessdate=10 September 2012|page=27|quote=<math>(X,d)</math> を擬距離空間とし、<math>X</math> における同値関係 <math>\sim</math> を、<math>d(x,y)=0</math> であるなら <math>x \sim y</math> であるとすることによって定義する。<math>Y</math> を商空間 <math>X/\sim</math> とし、<math>p:X\to Y</math> を標準射影で、<math>X</math> の各点を、それを含む同値類へと写すような全射とする。各ペア <math>a,b \in Y</math> に対して、その <math>Y</math> における距離を <math>\rho(a,b) = d(p^{-1}(a),p^{-1}(b))</math> と定義する。<math>\rho</math> が実際に距離であり、<math>Y</math> 上の商位相を定義するということを示すことは、容易である。}}</ref>。 

距離等化は、誘導位相を保つ。すなわち、<math>A\subset X</math> が[[Saturated set|飽和]]、つまり <math>\pi^{-1}(\pi(A)) = A</math> を満たすとき、 <math>A</math> が <math>(X,d)</math> の開集合（あるいは閉集合）であることと、<math>\pi(A)=[A]</math> が <math>(X^*,d^*)</math> の開集合（あるいは閉集合）であることは、同値である。ここで，<math>\pi : X \to X^*</math> は自然な射影である。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book | title=General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory | last=Arkhangel'skii | first=A.V. | coauthors=Pontryagin, L.S. | year=1990 | isbn=3-540-18178-4 | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences}}
* {{cite book | title=Counterexamples in Topology | last=Steen | first=Lynn Arthur | coauthors=Seebach, Arthur | year=1995 | origyear=1970 | isbn=0-486-68735-X | publisher=[[ドーヴァー出版|Dover Publications]] | edition=new edition }}
* {{planetmath reference|id=6273|title=Pseudometric space}}
* {{planetmath reference|id=6275|title=Example of pseudometric space}}

{{DEFAULTSORT:ききよりくうかん}}
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