擬軌道尾行性の補題のソースを表示


[[数学]]の{{仮リンク|力学系理論|en|dynamical systems theory}}において、'''擬軌道尾行性の補題'''（ぎきどうびこうせいのほだい、{{Lang-en-short|shadowing lemma}}）とは、ある[[双曲型集合|双曲型不変集合]]の近くでの擬軌道の挙動に関する[[補題]]である。大雑把に言うと、この定理では、すべての擬軌道（各ステップ毎に丸め誤差を含む、数値的に計算された軌道と考えることが出来る<ref>{{MathWorld | title = Shadowing Theorem | urlname =  ShadowingTheorem }}</ref>）は（わずかに初期値が変動された）ある真の軌道に一様に近い所で留まることが示されている。言い換えると、擬軌道は真の軌道に「尾行される」ということになる。この補題がデジタルカオスに対して利用できないことは、International Journal of Bifurcation and Chaos,<ref>{{cite journal |author=Shujun Li, Guanrong Chen and Xuanqin Mou | title=On the Dynamical Degradation of Digital Piecewise Linear Chaotic Maps 
|journal=International Journal of Bifurcation and Chaos |volume=15 |issue=10 |pages=3119–3151 |date=2005 |doi=10.1142/S0218127405014052 }}</ref> Sec. 2.2.3 で示されている。

== 正式な内容 ==

[[距離空間]] (''X'',&nbsp;''d'') からそれ自身への写像 ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''X'' が与えられたとき、'''&epsilon;-擬軌道'''（あるいは '''&epsilon;-軌道'''）は、<math>f(x_n)</math> の &epsilon;-近傍に <math>x_{n+1}</math> が属するような点列 <math>(x_n)</math> として定義される。

双曲型不変集合の近くで、次が成り立つ<ref>A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Theorem 18.1.2.</ref>：&Lambda; を[[微分同相]] f の双曲型不変集合とする。このとき、次の性質を持つ &Lambda; の近傍 U が存在する：任意の ''&delta;''&nbsp;>&nbsp;0 に対して、ある ''&epsilon;''&nbsp;>&nbsp;0 が存在し、U に留まる任意の（有限あるいは無限）&epsilon;-擬軌道はある真の軌道の &delta;-近傍に留まる。すなわち

:<math>
\forall (x_n),\, x_n\in U, \, d(x_{n+1},f(x_n))<\varepsilon \quad \exists (y_n), \, \, y_{n+1}=f(y_n),\quad \text{such that} \,\, \forall n \,\, x_n\in U_{\delta}(y_n).
</math>

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* Scholarpedia article [http://www.scholarpedia.org/article/Shadowing_lemma_for_flows Shadowing Theorem]

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[[Category:力学系]]
[[Category:補題]]
[[Category:数学に関する記事]]

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