放射非有界函数のソースを表示

[[数学]]において'''放射非有界函数'''（ほうしゃひゆうかいかんすう、{{Lang-en-short|radially unbounded function}}）とは、次が成り立つ函数 <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> のことをいう<ref name="Terrell2009">{{Citation | last1=Terrell | first1=William J. | title=Stability and stabilization | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-13444-4 |mr=2482799 | year=2009}}</ref>：

:<math>\|x\| \to \infty \Rightarrow f(x) \to \infty. \, </math>

このような函数は[[制御理論]]において利用され、[[コンパクト空間]]を決定する[[数理最適化|最適化]]のために必要となる。

この定義に現れる[[ノルム]]は <math> \mathbb{R}^n </math> 上の任意のノルムでよく、軸に沿った函数の挙動のみで放射非有界かどうかが明らかにされるとは限らないことに注意されたい。すなわち、放射非有界であるためには上の条件が

:<math>\|x\| \to \infty \, </math>

であるような任意の経路に沿って確かめられる必要がある。例えば、次のような函数

:<math>\ f_1(x)= (x_1-x_2)^2 \, </math>

:<math>\ f_2(x)= (x_1^2+x_2^2)/(1+x_1^2+x_2^2)+(x_1-x_2)^2 \, </math>

は放射非有界ではない。実際、直線 <math> x_1 = x_2 </math> に沿って考えると、条件が満たされないことが分かる。特に二番目の函数は大域的に正定値であるが、それでも条件は満たされない。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:ほうしやせいゆうかいかんすう}}
[[Category:実解析]]
[[Category:関数]]
[[Category:数学に関する記事]]

{{Mathanalysis-stub}}