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'''放物型偏微分方程式'''（ほうぶつがたへんびぶんほうていしき、{{Lang-en-short|parabolic partial differential equation}}）とは、二階の[[偏微分方程式]]（PDE）の一種で、[[熱方程式|熱拡散]]や{{仮リンク|水中音響|label=海洋音波伝播|en|underwater acoustics}}などを含む様々な科学の問題に現れるものである。

次の形式で記述される偏微分方程式
: <math>Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0\,</math>
は、次の条件を満たすとき'''放物型'''であると言われる：
:<math>B^2 - AC = 0.\ </math>

この定義は、平面の[[放物線]]の定義と似たものである。

放物型偏微分方程式の簡単な例として、一次元の[[熱方程式]]
:<math>u_t = k u_{xx}\ </math>
が挙げられる。ここで、<math>u(t,x)</math> は時間 <math>t</math> における位置 <math>x</math> の温度を表し、<math>k</math> は定数とする。<math>u_t</math> は、時間変数 <math>t</math> に関する <math>u</math> の[[偏微分]]を表し、<math>u_{xx}</math> は同様に空間変数 <math>x</math> に関する <math>u</math> の二階の偏微分を表す。

この方程式は、大雑把に言うと、ある与えられた点のある時間における温度は、その点の温度と、その周辺の点の温度の平均の差に比例して、上昇あるいは低下する、ということを意味している。<math>u_{xx}</math> は、[[調和関数]]の平均値の性質を満たす状態から、どのくらい温度が離れているか、ということを示す量となっている。

熱方程式の一般化は、次のように表される：
:<math>u_t = -Lu\ </math>
ここで <math>L</math> は二階の[[楕円型作用素]]である（<math>L</math> はまた正作用素でなければならない。非正であるような場合については、下で述べられている）。このような系は、次の形式で表される方程式の中に含まれている：
:<math>\nabla \cdot (a(x) \nabla u(x)) + b(x)^T \nabla u(x) + cu(x) = f(x)</math>
ただし、行列値関数 <math>a(x)</math> の[[核 (代数学)|核]]は次元 1 であるとする。

== 解 ==
仮定の下で、上述の放物型偏微分方程式には、すべての ''x,y'' および ''t''>0 に対して解が存在する。<math>u_t = -L(u)</math> の形で記述される方程式が放物型であるとは、''L'' が ''u'' およびその一階・二階の微分の（非線型でもあり得る）関数であり、さらにいくつかの追加条件が課されている時を言う。そのような非線型の放物型方程式には、短い時間に対しては解が存在するが、ある有限時間後に生じる[[特異点]]において解の[[爆発#比喩|爆発]]が起こる可能性がある。したがって、解がすべての時間に対して存在するか、または、特異点がどのように現れるかなどのより一般的な研究を行う際に、困難が生じる。これは一般的に確かに困難な問題で、たとえば{{仮リンク|リッチ・フロー|en|Ricci flow}}による[[ポアンカレ予想|ポアンカレ予想の解]]を参照されたい。

== 後退放物型方程式 ==
<math>u_t = Lu\ </math> の形を取る偏微分方程式について考える。ただし <math>L</math> は正の[[楕円型作用素]]とする。問題は必ずしも[[良設定問題|良設定]]である必要はなく（解が有限時間で発散する、あるいは存在すらしない場合も考える）、様々な他の偏微分方程式の解の特異点の reflection について研究する際に生じる問題であるとする <ref>{{citation | first=M. E. | last=Taylor | title=Reflection of singularities of solutions to systems of differential equations | journal=Comm. Pure Appl. Math. | volume=28 | issue=4 | year=1975 | pages=457–478 | doi=10.1002/cpa.3160280403 }}</ref>。

この類の方程式は、標準的な双曲型方程式と密接に関係している。それは、次の様ないわゆる「後退熱方程式」を考えることによって分かる：
:<math>\begin{cases} u_{t} = \Delta u & \textrm{on} \ \ \Omega \times (0,T), \\ u=0 & \textrm{on} \ \ \partial\Omega \times (0,T), \\ u = f & \textrm{on} \ \ \Omega \times \left \{ T \right \}. \end{cases} </math>

これは次の後退双曲型方程式と本質的には同じである：

:<math>\begin{cases} u_{t} = -\Delta u & \textrm{on} \ \ \Omega \times (0,T), \\ u=0 & \textrm{on} \ \ \partial\Omega \times (0,T), \\ u = f & \textrm{on} \ \ \Omega \times \left \{ 0 \right \}. \end{cases} </math>

== 例 ==
* [[熱方程式]]
* {{仮リンク|平均曲率流|en|Mean curvature flow}}
* {{仮リンク|リッチ・フロー|en|Ricci flow}}

== 関連項目 ==
* [[双曲型偏微分方程式]]
* [[楕円型偏微分方程式]]

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | origyear=1998 | url=http://www.ams.org/bull/2000-37-03/.../S0273-0979-00-00868-5.pdf | publisher=[[アメリカ数学会|American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-4974-3 | id={{MathSciNet | id = 2597943}} | year=2010 | volume=19 }}{{リンク切れ|date=2017年10月 |bot=InternetArchiveBot }}
== 関連文献 ==
* 八木厚志：「放物型発展方程式とその応用（上）：可解性の理論」、岩波書店（岩波数学叢書)、ISBN 978-4-00-007595-4 (2011年3月25日).
* 八木厚志：「放物型発展方程式とその応用（下）：解の挙動と自己組織化」、岩波書店（岩波数学叢書）、ISBN ISBN 978-4-00-007596-1 (2011年3月25日).

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ほうふつかたへんひふんほうていしき}}
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