数え上げの和の法則のソースを表示

{{Unreferenced|date=March 2009}}
初等[[組合せ論]]における'''和の法則'''（わのほうそく、{{lang-en-short|''rule of sum''}}）あるいは'''加法原理''' (''addition principle'') は基本的な{{ill2|組合せ論の諸原理|en|combinatorial principles|label=数え上げ原理}}の一つである。簡単に言えば、「ある試行に関する場合が {{mvar|A}} 通りと別のある場合が {{mvar|B}} 通りあり、それらが同時に起こることがないならば、それらの場合の選び方は {{math|''A'' + ''B''}} 通りある」ということを述べるものである。

より厳密には、和の法則は[[集合]]に関する一つの事実「どの二つも[[素集合|互いに素な集合]]の有限個の[[族 (数学)|集まり]]の[[濃度 (数学)|大きさ]]の和が、それら集合の合併の大きさに等しい」を言うものである。式で書けば <math display="block">
  |S_{1}|+|S_{2}|+\cdots+|S_{n}| = |S_{1} \sqcup S_{2} \sqcup \dotsb \sqcup S_{n}|
</math> が成り立つ（右辺は、族の[[非交和]]の濃度である）。

== 簡単な例 ==
一人の女性が、今日はどこか一つの店で買い物をしようと、街の北側へ行くか南側へ行くか考えている。北側へ行けばモール・家具店・宝石店の {{math|3}} 通りの選択肢があり、南側へ行けば洋服店・靴店の {{math|2}} 通りの選択肢がある。よって、この女性が今日買い物に行く可能性のある店は {{math|3 + 2 {{=}}5}} 通りである。

== 包含と切除の原理 ==
{{main|包除原理}}
包含と切除の原理は、和の法則の一般化と考えることができ、それ自身も適当な集合族の合併の元の数を数えるものである（しかし、考える集合が互いに交わらないとは仮定しない）。

{{math|''A''{{sub|1}}, …, ''A{{sub|n}}''}} が有限集合のとき、<math display="block">\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| =\sum_{i=1}^n |A_i|
-\sum_{1 \le i < j \le n} |A_i\cap A_j| +\sum_{1 \le i < j < k \le n} |A_i\cap A_j\cap A_k| - \dotsb + (-1)^{n-1} |A_1\cap\dotsb\cap A_n|</math> が成り立つ。

== 関連項目 ==
* {{ill2|組合せ論における諸原理|en|Combinatorial principle}}
* [[積の法則 (組合せ論)]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=CardinalAddition|title=Cardinal Addition}}
* {{ProofWiki|urlname=Sum_Rule_for_Counting|title=Sum Rule for Counting}}

{{DEFAULTSORT:かそえあけのわのほうそく}}
[[Category:数学の原理]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]