数え上げ幾何学のソースを表示

{{要改訳}}{{seealso|交叉理論}}
[[数学]]では'''数え上げ幾何学'''(enumerative geometry)は[[代数幾何学]]の一分野であり、主に[[交叉理論]]により、幾何学的な問題の解の数を数え上げることに関連している。
<!---In [[mathematics]], '''enumerative geometry''' is the branch of [[algebraic geometry]] concerned with counting numbers of solutions to geometric questions, mainly by means of [[intersection theory]].-->

==歴史==
[[File:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|thumb|right|[[アポロニウスの問題|アポロニウスの円]]]]
[[アポロニウスの問題]]は、数え上げ幾何学のもっとも早い段階の例の一つである。この問題は、3つの円、点、直線が与えられたときに、それらに接する円の数と構成を問うている問題である。一般に、3つの円が与えられたときには、問題の解は 8つあり、それらの解は 2<sup>3</sup> とみることができて、各々の接する条件は円の空間上の二次式の条件で与えられる。しかし、与えられた円が特別な位置にあると、解の数は 0 （答えがない）から 6 までの任意の整数の値をとりうる。ただし、アポロニウスの問題に 7 つの解が与えられる配置というものは存在しない。

==重要なツール==
いくつかのツールが、基本的なものからもっと進んだものの広い範囲にわたってある。
* {{仮リンク|余次元|label=次元の数え上げ|en|Dimension counting}}
* [[ベズーの定理]]
* {{仮リンク|シューベルトの計算|en|Schubert calculus}}(Schubert calculus)とさらに一般的な[[コホモロジー論]]の[[特性類]]
* コホモロジーで交点数を数え上げることと関連して、[[ポアンカレ双対性]]
* 曲線、写像、そのほかの幾何学的対称の[[モジュライ空間]]の研究、しばしば、[[量子コホモロジー]]を通しての研究（量子コホモロジーの研究では、弦理論の[[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]を通して、クレメンス予想に大きな進展があった。）

数え上げ幾何学は[[交点理論]]に非常に密接に関連している。

==シューベルトの計算==
数え上げ幾何学は、19世紀の終わりに{{仮リンク|ヘルマン・シューベルト|en|Hermann Schubert}}(Hermann Schubert)により、大きな進展がみられた。<ref>{{Cite book|first=H. |last=Schubert|title=Kalkül der abzählenden Geometrie| origyear =1879|year =1979}}</ref> このために彼は、{{仮リンク|シューベルトの計算|en|Schubert calculus}}と呼ばれる方法を導入した。この計算で、彼は広い領域に基本的な幾何学的、トポロジー的な値を導入した。（当時は、）数え上げ幾何学に特別に必要なものは注目されなかったが、代数幾何学が全体で一般的な前提として、1960年代、1970年代になるとそれらが深い注目を集めるようになった。（例えば、{{仮リンク|スティーブン・クライマン|en|Steven Kleiman}}(Steven Kleiman)が指摘している）。[[アンドレ・ヴェイユ]]により[[交点数]]が厳密に定義されたが、これは、1942&ndash;6年にヴェイユの基本的なプログラムの一部として厳密に定義がされ、さらにその後、確立されたものである。しかし、これは、数え上げ問題の固有な領域のすべてを解決するものではなかった。
<!---Enumerative geometry saw spectacular development towards the end of the nineteenth century, at the hands of [[Hermann Schubert]].<ref>{{Cite book|first=H. |last=Schubert|title=Kalkül der abzählenden Geometrie| origyear =1879|year =1979}}</ref> He introduced for the purpose the [[Schubert calculus]], which has proved of fundamental geometrical and [[topological]] value in broader areas. The specific needs of enumerative geometry were not addressed, in the general assumption that algebraic geometry had been fully axiomatised, until some further attention was paid to them in the 1960s and 1970s (as pointed out for example by [[Steven Kleiman]]). [[Intersection number]]s had been rigorously defined (by [[André Weil]] as part of his foundational programme 1942&ndash;6, and again subsequently). This did not exhaust the proper domain of enumerative questions.-->

==ファッジ因子とヒルベルトの第15問題==
次元の数え上げとベズーの定理のナイーブな適用は、誤った結果を導く。このことを次の例で示す。これらの問題の対応として、代数幾何学者たちは曖昧な『ファッジ因子』（ぼんやりとした柔らかい因子とでも訳すべきか）を導入したが、この厳密な評価は何十年か後となってしまった。

例として、[[射影平面]]にある5本の直線が与えられたとき、この5本の直線に接する[[円錐曲線]]の数を数え上げることを考える。<ref>{{cite book|first=William|last= Fulton| title=Intersection Theory|year=1984|chapter= 10.4|isbn=0-387-12176-5}}</ref> もし点が[[一般の位置]]にあるのであれば、線形条件を通して、円錐が次元 5 の[[射影空間]]からなり、6つの係数を[[同次座標]]として持ち、{{仮リンク|5点が円錐を決定|en|five points determine a conic}}する。同様にして、与えられた直線 L に接する（接するとは、多重度 2 の交叉数を持つことを意味する）ことは、二次式の条件であるから、P<sup>5</sup> の中の{{仮リンク|二次超曲面|en|quadric}}(quadric)を決定する。しかし、すべての 2次超曲面からなる{{仮リンク|因子の線形系|en|linear system of divisors}}は、{{仮リンク|基本軌跡|en|base locus}}(base locus)を持たない。実際、そのような各々の 2次超曲面は{{仮リンク|ヴェロネーゼ曲面|en|Veronese surface}}(Veronese surface)を含んでいる。ヴェロネーゼ曲面は、次の「二重線」と呼ばれる円錐曲線をパラメトライズする。

:<math>(aX + bY + cZ)^2 = 0</math>

この理由は、二重線は平面内のすべての直線と交叉するからで、射影平面内の直線は多重度 2 でほかの直線と交叉し、従って、直線に'''接する'''非退化な円錐曲線として、同じ交叉条件を満たす（交叉するときの多重度は 2）。

<!---Naïve application of dimension counting and Bézout’s theorem yields incorrect results, as the following example shows. In response to these problems, algebraic geometers introduced vague "fudge factors", which were only rigorously justified decades later.

As an example, count the [[conic section]]s tangent to five given lines in the [[projective plane]].<ref>{{cite book|first=William|last= Fulton| title=Intersection Theory|year=1984|chapter= 10.4|isbn=0-387-12176-5}}</ref> The conics constitute a [[projective space]] of dimension 5, taking their six coefficients as [[homogeneous coordinates]], and [[five points determine a conic]], if the points are in [[general linear position]], as passing through a given point imposes a linear condition. Similarly, tangency to a given line ''L'' (tangency is intersection with multiplicity two) is one quadratic condition, so determined a [[quadric]] in ''P''<sup>5</sup>. However the [[linear system of divisors]] consisting of all such quadrics is not without a [[base locus]]. In fact each such quadric contains the [[Veronese surface]], which parametrizes the conics 

:(''aX'' + ''bY'' + ''cZ'')<sup>2</sup> = 0

called 'double lines'. This is because a double line intersects every line in the plane, since lines in the projective plane intersect, with multiplicity two because it is doubled, and thus satisfies the same intersection condition (intersection of multiplicity two) as a nondegenerate conic that is ''tangent'' to the line.-->

[[ベズーの定理]]は、5次元空間の中の 5次超曲面は 32 = 2<sup>5</sup> 個の点で交叉するであろうことを言っている。しかし、適当な 2次超曲面は[[一般の位置]]にはない。32 個の中から、31 個が引き抜かれて、ヴェロネーゼ曲面に受け継がれ、正しい答へ至る（幾何学的な観点から）、すなわち 1 である。｢退化｣している場合との交叉に引き継がれる過程は、'[[Wiktionary:fudge factor|fudge factor]]'の典型的な幾何学的導入部である。 

これらが一見、任意の入り込んでしまう性質を克服するのが、{{仮リンク|ヒルベルトの問題|en|Hilbert problem}}で（正確には、{{仮リンク|ヒルベルトの第15問題|en|Hilbert's fifteenth problem}}）である。この問題は、シューベルトの計算自体の基本的問題を超えている。

<!---The general [[Bézout theorem]] says 5 general quadrics in 5-space will intersect in 32 = 2<sup>5</sup> points. But the relevant quadrics here are not in [[general position]]. From 32, 31 must be subtracted and attributed to the Veronese, to leave the correct answer (from the point of view of geometry), namely 1. This process of attributing intersections to 'degenerate' cases is a typical geometric introduction of a '[[Wiktionary:fudge factor|fudge factor]]'. 

It was a [[Hilbert problem]] (the [[Hilbert's fifteenth problem|fifteenth]], in a more stringent reading) to overcome the apparently arbitrary nature of these interventions; this aspect goes beyond the foundational question of the Schubert calculus itself.-->

==クレメンス予想==
1984年、H. クレメンスは、[[クインティックスリーフォールド]] <math>X\subset \mathbf{P}^4</math> の上の[[有理曲線]]の数を数え上げる問題を考察する中から、次の予想に到達した。
:<math>X\subset \mathbf{P}^4</math> を一般の5次超曲面とし、d を正の整数とすると、このとき <math>X</math> 上には d 次有理曲線は有限個しか存在しない。


この予想は一般的には未解決である。しかし現在は、 <math>d\le9</math> の場合は証明されている。

1991年に弦理論の[[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]の論文<ref>* {{cite journal |last=Candelas |first=Philip |last2=de la Ossa |first2=Xenia |last3=Green |first3=Paul |last4=Parks |first4=Linda |date=1991 |title=A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory |journal=Nuclear Physics B |volume=359 |issue=1 |pages=21-74|doi=10.1016/0550-3213(91)90292-6 }}</ref> で、物理的な観点から一気に一般の d についての有理曲線の数を与えることができるという予想が提出された。当時、代数幾何学では <math>d\le5</math> の場合が有理曲線の数を求められる最大の次数であったので、大変な驚きを持って迎えられた。

==関連項目==
[[アポロニウスの問題]]
==参考文献==
{{reflist}}
*{{citation|mr=0908713  |last=Kleiman|first=S.|last2= Strømme|first2= S. A.|last3= Xambó|first3= S.|chapter= Sketch of a verification of Schubert's number 5819539783680 of twisted cubics|title= Space curves (Rocca di Papa, 1985)|pages= 156–180|series= Lecture Notes in Math., |volume=1266|publisher= Springer|place= Berlin|year= 1987}}
*{{citation|mr=0555576 
|last=Schubert|first= Hermann
|title=Kalkül der abzählenden Geometrie|language=German
|series=Reprint of the 1879 original|editor-first=Steven L. |editor-last=Kleiman|publisher= Springer-Verlag|place= Berlin-New York|year= 1979|isbn= 3-540-09233-1 |origyear=1879|url=https://archive.org/details/kalklderabzh00schuuoft}}

==外部リンク==
*{{cite journal|author=Bashelor, Andrew|author2=Ksir, Amy|author3=Traves, Will|title=Enumerative Algebraic Geometry of Conics|journal=Amer. Math. Monthly|volume=115|issue=8|year=2008|pages=701-7|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/enumerative-algebraic-geometry-of-conics}}

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