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'''数ベクトル空間'''（すうベクトルくうかん、space of numerical vectors, numerical vector space）とは、「“数”の組からなる空間」（[[数空間]]<ref>{{Cite Kotobank |word=数空間 |accessdate=2015年10月22日}}</ref>{{Refnest|group="*"|数空間のことを座標空間と呼ぶこともある<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/~homma/lec/Ga0616.pdf |title=11 座標空間 |access-date=2015-10-22 |author=本間正明 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150608101904/http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/~homma/lec/Ga0616.pdf |archive-date=2015-06-08 |url-status=dead|url-status-date=2022-05-17}}</ref>が、「座標系を備えた空間」という意味で座標空間と呼ぶこともあるので紛らわしい（{{仮リンク|座標空間|en|Coordinate space}}の項も参照）。}}）を自然に[[ベクトル空間]]と見たものである。
: ここでいう“数”の集合 ''K'' は四則の定められた代数系、殊に[[可換体]]で[[順序体|順序]]や[[位相体|位相]]の定められたものを指している。実数全体の成す体 '''R''' や複素数全体の成す体 '''C''' は典型的であるが、代数体や有限体あるいはその局所化などの上で数ベクトル空間を考えることもある。関数体の上で考える場合は関数空間として捉える方が妥当である。

== 定義 ==
'''体 ''K'' 上の ''n''-次元数ベクトル空間'''は [[数空間|''K'' の ''n'' 個の直積集合 ''K''<sup>''n''</sup>]] を台集合として
* 加法 <math>+: K^n \times K^n \rightarrow K^n; (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \mapsto (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ \ldots, \ x_n + y_n)</math>
* スカラー乗法 <math>\circ :
F \times K^n \rightarrow K^n;
(\lambda , \boldsymbol{x}) \mapsto (\lambda x_1, \lambda x_2, \ \ldots, \ \lambda x_n)</math>
からなる組 <math>(K^n, +, \circ)</math> である。ここで <math>\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \ \ldots, \ x_n) \in K^n,
\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \ \ldots, \ y_n) \in K^n, \lambda \in F</math> である。

この組は数のタプルを元として[[ベクトル空間]]の公理系を満たし、後述のようにn次の有限次元であるため、"n-次元" "数ベクトル空間" と呼ばれる。

== 基底と次元 ==
数ベクトル空間 <math>K^n</math> においてn個のベクトルからなる集合 <math>B = \{ \boldsymbol{e_i} \in K^n | 1 \leq i \leq n \}</math> を次のように定義する。 
: <math>\begin{align}
 \mathbf{e}_1 &= (1,0,0,\ldots,0),\\
 \mathbf{e}_2 &= (0,1,0,\ldots,0),\\
 \mathbf{e}_3 &= (0,0,1,\ldots,0),\\
  &\ \vdots \\
 \mathbf{e}_n &= (0,0,0,\ldots,1)\\
\end{align}</math>
このとき任意のベクトル <math>\boldsymbol{x} \in K^n</math> は <math>\boldsymbol{e_i}</math> の[[線型結合]]で表現できる。つまり
: <math>\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=0}^{n}x_i\mathbf{e}_i</math>
が成立する、すなわち <math>K^n</math> は <math>B</math> で張られる（全域性）。また <math>B</math> は明らかに線形独立である。ゆえに <math>B</math> は <math>K^n</math> の[[基底 (線型代数学)|基底]]である。この基底を'''標準基底''' {{lang|en|(canonical basis, standard basis)}} という。

<math>K^n</math> の基底を構成するベクトルの数がnであることから、<math>K^n</math> は {{mvar|K}} 上のベクトル空間として {{mvar|n}}-次元の有限次元である。

== 内積 ==
[[標準内積]]は次のように定義される。
: <math>(x_1, x_2, \ldots, x_n)\cdot(y_1, y_2, \ldots, y_n) := x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n</math>

== アフィン構造 ==
標準内積を考えない場合の数ベクトル空間をとくに ''n'' 次元[[アフィン空間]] '''A'''<sup>''n''</sup> = '''A'''<sub>''K''</sub><sup>''n''</sup> と呼ぶことがある。これは[[アフィン変換]]で閉じている。正則アフィン変換は直交群と平行移動群の直和に位相群として分解される。

実数体 '''R''' 上のアフィン空間 ''A''<sup>''n''</sup> = '''A'''<sub>'''R'''</sub><sup>''n''</sup> は[[ユークリッド空間]] ''E''<sup>''n''</sup> に付随して[[座標]]や平行移動を表す空間と見なされ、''E''<sup>''n''</sup> のなかで平行性や線型独立性など、[[距離空間|距離]]に依存しない性質を扱うことができる。

== 一般のベクトル空間との関係 ==
有限次元ベクトル空間は基底を選ぶことにより、次元の同じ数ベクトル空間に同型となるため、有限次元の抽象ベクトル空間の分類は次元によって支配されているということができる。

== 類似概念 ==
{{main|数列空間|函数空間}}
無限次元の数ベクトル空間と呼ぶべきものについては、その位相についての議論を避けることはできないが、いくつか存在する。例えば、次元が十分大きな数空間 '''K'''<sup>''n''</sup> の ''n'' を限りなく大きくとることの極限として得られる可算次元空間
: <math>\mathbb{K}^{\infty} = \bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathbb{K} = \varinjlim_{n\to\infty}\mathbb{K}^n = \bigcup_{n=0}^{\infty}\mathbb{K}^n</math>
や、座標が無限数列となるような可算次元空間
: <math>\mathbb{K}^{\mathbb{N}} = \mathrm{Map}(\mathbb{N},\mathbb{K}) = \prod_{n=0}^{\infty}\mathbb{K} = \varprojlim_{n\to\infty}\mathbb{K}^n</math>
や、あるいはもっと濃度の大きな集合で添字付けられるようなものも同様に想定できるが、これらはもはや[[関数空間]]として扱われるようなものである。

== 注 ==
{{reflist|group="*"}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==関連項目==
* {{仮リンク|座標空間|en|Coordinate space}}
* [[実数空間|実 {{mvar|n}}-次元数空間]]
* [[複素数空間|複素 {{mvar|n}}-次元数空間]]

{{DEFAULTSORT:すうへくとるくうかん}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:アフィン幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ベクトル空間]]