数値線形代数のソースを表示

[[数値解析]]における'''数値線形代数'''（すうちせんけいだいすう、{{lang-en-short|Numerical linear algebra}}）とは、[[線形代数]]で現れる問題（[[行列の乗法|行列積]]、[[行列指数関数]]、[[連立方程式]]や[[固有値]]・[[特異値]]問題）の計算・求解を行う[[アルゴリズム]]を創出するための学問である<ref name="Yamamoto1">{{Cite book |和書 |author=山本哲朗 |title=数値解析入門 |edition=増訂版 |date=2003-06 |publisher=[[サイエンス社]] |series=サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14 |ISBN=4-7819-1038-6}}</ref><ref name="mori">[[森正武]]. 数値解析 第2版. [[共立出版]].</ref><ref name="hpc">数値線形代数の数理と[[高性能計算|HPC]], 櫻井鉄也, 松尾宇泰, 片桐孝洋編（シリーズ応用数理 / [[日本応用数理学会]]監修, 第6巻）[[共立出版]], 2018.8</ref>。[[最適化問題]]・[[有限差分法]]・[[有限要素法]]などに応用されている<ref name="Yamamoto1"/>。
{{seealso|数値解析|線形代数}}

== 意義 ==

どんなに次元の高い[[連立方程式]]でも、原理的には[[クラメルの公式]]を使えば解くことはできる。しかし、[[クラメルの公式]]による数値解法ではものすごく時間がかかってしまうということが分かっている<ref name="Yamamoto1"/>。このため、これまで様々な数値線形代数の[[アルゴリズム]]が開発されてきた<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/><ref name="hpc"/>。[[ガウスの消去法]]はその先駆けとも言える<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/><ref name="hpc"/>。

=== 現代の主流 ===
{{seealso|固有値問題の数値解法}}
現代においては
{{Div col|rules=yes}}
*[[共役勾配法]]
*[[GMRES法]]
*[[ランチョス法]]
*[[QR法]]
*QZ法<ref group="A">Moler, C. B., & Stewart, G. W. (1973). An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems. [[:en:SIAM Journal on Numerical Analysis]], 10(2), 241-256.</ref>
*dqds法 (differential quotient difference with shift)<ref group="A">Fernando, K. V., & Parlett, B. N. (1994). Accurate singular values and differential qd algorithms. [[:en:Numerische Mathematik]], 67(2), 191-229.</ref><ref name="mdlv" group="A">{{Cite journal|和書|author=相島健助, 松尾宇泰, 室田一雄, 杉原正顯 |date=2007 |title=特異値計算のためのdqds法とmdLVs法の収束性について(理論) |url=https://doi.org/10.11540/jsiamt.17.2_97 |journal=日本応用数理学会論文誌 |publisher=日本応用数理学会 |volume=17 |issue=2 |pages=97-131 |naid=110006317521 |doi=10.11540/jsiamt.17.2_97 |ISSN=09172246}}</ref><ref name="m2dlvEn" group="A">{{Cite journal|和書|author=髙田雅美, 豊川博己, 石上裕之, 木村欣司, 山下巧, 岩﨑雅史, 中村佳正 |date=2013 |title=特異値計算アルゴリズムdqds法およびm2dLVs法のための新しいシフト戦略 |url=http://id.nii.ac.jp/1001/00095275/ |journal=情報処理学会論文誌コンピューティングシステム（ACS） |volume=6 |issue=3 |pages=94-107 |naid=110009606663 |ISSN=1882-7829}}</ref><ref group="A">{{Cite journal|和書|author=山本有作, 宮田考史 |date=2008 |title=Ostrowski型下界とBrauer型下界をシフトとして用いたdqds法の収束性について |url=https://hdl.handle.net/2237/10835 |journal=日本応用数理学会論文誌 |publisher=日本応用数理学会 |volume=18 |issue=1 |pages=107-134 |naid=120001053907 |ISSN=0917-2246}}</ref><ref group="A">{{Cite journal|和書|author=前田一貴 |title=dqds法の一般化固有値問題への拡張について (次世代計算科学の基盤技術とその展開) |url=https://hdl.handle.net/2433/195089 |journal=数理解析研究所講究録 |publisher=京都大学数理解析研究所 |date=2013 |issue=1848 |pages=45-60 |naid=110009611227 |ISSN=1880-2818}}</ref><ref group="A">{{Cite journal|和書|author=山本有作 |date=2011 |title=固有値計算のためのdqds法のTotally NonnegativeなHessenberg行列への拡張について (科学技術計算アルゴリズムの数理的基盤と展開) |url=https://hdl.handle.net/2433/170736 |journal=数理解析研究所講究録 |publisher=京都大学数理解析研究所 |issue=1733 |pages=142-148 |naid=110008434597 |ISSN=18802818}}</ref>
*oqds法 (orthogonal quotient difference with shift)<ref group="A">U. von Matt, The orthogonal QD algorithm, SIAM J. Sci. Comput., 18 (1997), 1163–1186.</ref><ref group="A">{{Cite journal|title=Implementation details of an extended oqds algorithm for singular values |author=Araki Sho, Kimura Kinji, Yamamoto Yusaku, Nakamura Yoshimasa |journal=JSIAM Letters |volume=7 |pages=9-12 |year=2015 |publisher=The Japan Society for Industrial and Applied Mathematics |doi=10.14495/jsiaml.7.9 |url=https://doi.org/10.14495/jsiaml.7.9}}</ref><ref group="A">{{cite journal|title=Fast computation method of column space by using the DQDS method and the OQDS method |author=Araki Sho, Tanaka Hiroki, Takata Masami, Kimura Kinji, Nakamura Yoshimasa
 |journal=Proceedings of the International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications (PDPTA) |pages=333-339 |year=2018 |url=https://hdl.handle.net/10098/00028663}}</ref>
*[[分割統治法]]<ref group="A">{{Cite journal|和書|author=桑島豊, 重原孝臣 |title=実対称三重対角固有値問題の分割統治法の拡張(<特集>行列・固有値問題における線形計算アルゴリズムとその応用) |url=https://sucra.repo.nii.ac.jp/records/13621 |journal=日本応用数理学会論文誌 |publisher=日本応用数理学会 |date=2005 |volume=15 |issue=2 |pages=89-115 |naid=110001888790 |doi=10.11540/jsiamt.15.2_89 |ISSN=09172246}}</ref><ref group="A">{{Cite journal|和書|author=桑島豊, 重原孝臣 |date=2006 |title=実対称三重対角固有値問題に対する多分割の分割統治法の改良(理論,行列・固有値問題の解法とその応用,<特集>平成18年研究部会連合発表会) |url=https://sucra.repo.nii.ac.jp/records/13748 |journal=日本応用数理学会論文誌 |publisher=日本応用数理学会 |volume=16 |issue=4 |pages=453-480 |naid=110006197072 |doi=10.11540/jsiamt.16.4_453 |ISSN=09172246}}</ref>
*MRRR法 (multiple relatively robust representations)<ref group="A>Dhillon, I. S., Parlett, B. N., & Vömel, C. (2006). The design and implementation of the MRRR algorithm. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 32(4), 533-560.</ref>
*MRTR法<ref group="A">Abe, K., Zhang, S. L., & Mitsui, T. (1997). MRTR method: An iterative method based on the three-term recurrence formula of CG-type for nonsymmetric matrix. JSIAM, 7, 37-50.</ref>
* Sakurai-Sugiura 法<ref group="A">Sakurai, T., & Sugiura, H. (2003). A projection method for generalized eigenvalue problems using numerical integration. [[:en:Journal of computational and applied mathematics]], 159(1), 119-128.</ref>
* CIRR 法 (Rayleigh-Ritz type method with contour integral)<ref group="A">Sakurai, T., & Tadano, H. (2007). CIRR: a Rayleigh-Ritz type method with contour integral for generalized eigenvalue problems. Hokkaido mathematical journal, 36(4), 745-757.</ref>
* 離散勾配法に基づく解法<ref group="A">{{Cite journal|和書|author=宮武勇登, 曽我部知広, 張紹良 |date=2017 |title=微分方程式に対する離散勾配法に基づく線形方程式の数値解法の生成 |url=https://doi.org/10.11540/jsiamt.27.3_239 |journal=日本応用数理学会論文誌 |publisher=日本応用数理学会 |volume=27 |issue=3 |pages=239-249 |naid=130006100066 |doi=10.11540/jsiamt.27.3_239}}</ref><ref group="A">Miyatake, Y., Sogabe, T., & Zhang, S. L. (2018). On the equivalence between SOR-type methods for linear systems and the discrete gradient methods for gradient systems. [[:en:Journal of Computational and Applied Mathematics]], 342, 58-69.</ref>
*フィルターを用いた固有値問題の解法<ref group="A">Tsutomu Ikegami, Tetsuya Sakurai and Umpei Nagashima: A Filter Diagonalization for Generalized Eigenvalue Problems Based on the Sakurai-Sugiura Projection Method, J. Compu. Appl. Math., Vol.233, No.8, pp.1927–1936 (2010).</ref><ref group="A">Anthony P. Austin and Lloyd N. Trefethen: Computing Eigenvalues of Real Symmetric Matrices with Rational Filters in Real Arithmetic, SIAM J. Sci. Comput, Vol.37, No.3, pp.A1365–A1387 (2015).</ref><ref group="A">Hiroshi Murakami: Filter Diagonalization Method by Using a Polynomial of a Resolvent as the Filter for a Real Symmetric-Definite Generalized Eigenproblem, in proceedings of EPASA2015, Springer, LNCSE-117, pp.205–232 (2018).</ref><ref group="A">Hiroshi Murakami: Filters Consist of a Few Resolvents to Solve Real Symmetric-Definite Generalized Eigenproblems, Japan J. Indust. Appl. Math., Vol.36, No.2, pp.579–618 (July 2019).</ref>
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などをはじめとした高速・高精度解法（[[反復法]]）の研究が主流になっている<ref name="mori"/><ref>戸川隼人. (1977). [[共役勾配法]]. シリーズ新しい応用の数学.</ref><ref name="zhang">藤野清次, & 張紹良. (1996). [[反復法]]の数理. [[朝倉書店]].</ref>。
==== クリロフ部分空間法 ====
{{seealso|クリロフ部分空間}}
数値線形代数で現れる[[反復法]]の中には、[[クリロフ部分空間]]に理論的基盤を持つものが少なからず存在する。これらは'''クリロフ部分空間法（{{lang-en-short|Krylov subspace methods}}）'''と総称され、数値線形代数において最も成功した手法とされている<ref name="zhang"/>。主なクリロフ部分空間法として以下が知られている（[[数値線形代数#共役勾配法|共役勾配法については後述する]]）。
{{Div col|rules=yes}}
* [[:en:Arnoldi iteration]]
* [[ランチョス法]]
* [[GMRES法]]
* MINRES法<ref group="A">Christopher C. Paige and Michael A. Saunders, Solution of sparse indefinite systems of linear equations, [[:en:SIAM Journal on Numerical Analysis]] 1975; 12(4):617–629.</ref>（{{lang-en-short|minimal residual}}、この手法は method of minimum residual<ref name="Yamamoto1"/><ref group="A">Krasnoselskii, M. and Krein, S. (1952). An iteration process with minimal residuals. Mat. Sb. N.S., 31, 315–334.</ref> とは異なる）
* CR法<ref group="A">Eduard Stiefel, Commentarii Mathematici Helvetici 1952; 29(1):157–179.</ref>（共役残差法、{{lang-en-short|conjugate residual method}}）
* QMR系
** QMR法<ref group="A">Freund, R. and Nachtigal, N. "QMR: A Quasi-Minimal Residual Method for Non-Hermitian Linear Systems." Numer. Math. 60, 315-339, 1991.</ref><ref group="A">Freund, R. and Nachtigal, N. "An Implementation of the QMR Method Based on Coupled Two-Term Recurrences." SIAM J. Sci. Statist. Comput. 15, 313-337, 1994.</ref>（{{lang-en-short|quasi minimal residual}}、[[MATLAB]]で利用可能）
** QMR-SYM法<ref group="A">R. Freund: Conjugate Gradient-Type Methods for Linear Systems with Complex Symmetric Coefficient Matrices, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol. 13, No. 1, pp. 425–448 (1992).</ref><ref group="A">X.-M. Gu, T.-Z. Huang, L. Li, H.-B. Li, T. Sogabe and M. Clemens: Quasi-Minimal Residual Variants of the COCG and COCR Methods for Complex Symmetric Linear Systems in Electromagnetic Simulations, [[IEEE]] Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 62, No. 12, pp. 2859–2867 (2014).</ref>
** TFQMR法<ref group="A">Roland W. Freund, A transpose-free quasi-minimal residual algorithm for non-Hermitian linear systems, [[:en:SIAM Journal on Scientific Computing]] 1993; 14(2):470–482.</ref>（{{lang-en-short|transpose free quasi minimal residual}}、[[MATLAB]]で利用可能）
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==== 共役勾配法 ====
{{seealso|共役勾配法|非線形共役勾配法|[[:en:biconjugate gradient method|双共役勾配法]]|:en:LOBPCG}}
'''[[共役勾配法]]'''（{{lang-en-short|conjugate gradient method}}）は Hestenes-Stiefel によって開発された[[連立方程式]]の数値解法であり、係数行列が[[正定値]][[対称行列]]であるときに適用できる<ref group="A">Hestenes, M. R., & Stiefel, E. (1952). Methods of conjugate gradients for solving linear systems. Washington, DC: NBS.</ref>。この方法は[[ガウス＝ザイデル法]]、[[ヤコビ法]]、[[SOR法]]よりも収束が速いとされることから、1980年代以降から様々な亜種が開発されたり、非対称行列への適用が試みられているが、[[前処理行列]]の取り方が問題によって異なるために決定版と言える解法がまだ存在してない<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/><ref name="zhang"/>。

以下、代表的な亜種を挙げる。
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* CGS (conjugate gradient squared method)<ref group="A">Black, Noel and Moore, Shirley. "Conjugate Gradient Squared Method." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/ConjugateGradientSquaredMethod.html</ref>
* PCG （preconditioned conjugate gradient method、[[MATLAB]]で利用可能）
* SCG (scaled conjugate gradient)<ref group="A">M. F. Moller. A scaled conjugate gradient algorithm for fast supervised learning. Neural Networks, 6:525--533, 1993.</ref>
* ICCG （incomplete Cholesky conjugate gradient method、不完全[[コレスキー分解]]付共役勾配法）<ref name="zhang"/>
* COCG (conjugate orthogonal conjugate gradient method)<ref group="A">H. A. van der Vorst and J. B. M. Melissen: A Petrov-Galerkin type method for solving <math>Ax = b</math>, where <math>A</math> is symmetric complex, [[IEEE]] Trans. Mag., Vol. 26, No. 2, pp. 706–708 (1990).</ref>
* GPBiCG<ref group="A">S. L. Zhang "GPBiCG: Generalized Product-type Methods Based on Bi-CG for Solving
Nonsymmetric Linear Systems", SIAM J. Sci. Stat. Comput. , vol.18, no.2, pp.537-551,
March 1997.</ref><ref group="A">張紹良, 藤野清次，ランチョス・プロセスに基づく積型反復解法，[[日本応用数理学会]]論文誌，5(1995)， 343-360．</ref>
* GPBiCG<math>(m, l)</math><ref group="A">{{Cite journal|和書|author=藤野清次 |date=2001 |title=反復解法GPBiCG(m,l)法の提案と性能評価 (偏微分方程式の数値解法とその周辺(2)) |url=https://hdl.handle.net/2433/64882 |journal=数理解析研究所講究録 |publisher=京都大学数理解析研究所 |issue=1198 |pages=212-221 |naid=110000165251 |ISSN=1880-2818}}</ref>
*STAB系の手法
** BiCGSTAB （biconjugate gradient stabilized method、双共役勾配安定化法、[[MATLAB]]で利用可能）<ref group="A">Van der Vorst, H. A. (1992). Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems. SIAM Journal on scientific and Statistical Computing, 13(2), 631-644.</ref>
** BiCGSTAB2<ref group="A">M. H.Gutknecht，Variants of BiCGSTAB for Matrices with Complex Spectrum，SIAM J. Sci. Statist. Comput.，14(1993)， 1020-1033．</ref>
** QMRCGSTAB<ref group="A">Tony F. Chan, Efstratios Gallopoulos, Valeria Simoncini, Tedd Szeto and Charles H. Tong, A quasi-minimal residual variant of the Bi-CGSTAB algorithm for nonsymmetric systems, [[:en:SIAM Journal on Scientific Computing]] 1994; 15(2):338–347.</ref>
** GBi-CGSTAB<ref name="sugi" group="A">Tanio, M., & Sugihara, M. (2010). GBi-CGSTAB (s, L): IDR (s) with higher-order stabilization polynomials. [[:en:Journal of computational and applied mathematics]], 235(3), 765-784.</ref>
* Block化した手法
** Block CG<ref group="A">D. P. O’Leary: The block conjugate gradient algorithm and related methods, Linear Algebra Appl., 29 (1980), 293–322.</ref><ref group="A">A. A. Nikishin, A. Yu. Yeremin: Variable block CG algorithms for solving large sparse symmetric positive definite linear systems on parallel computers, I: general iterative methods, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 16 (1995), 1135–1153.</ref>
** Block BiCGSTAB<ref group="A">A. El Guennouni, K. Jbilou, H. Sadok: A block version of BiCGSTAB for linear systems with multiple right-hand sides, Electron. Trans. Numer. Anal, 16 (2003), 129–142.</ref>
** Block BiCGGR<ref group="A">H. Tadano, T. Sakurai, Y. Kuramashi: Block BiCGGR: a new block Krylov subspace method for computing high accuracy solutions: JSIAM Lett., 1 (2009), 44–47.</ref>
** Block BiCGGR2<ref group="A">Tadano, H. (2019). Development of the Block BiCGGR2 method for linear systems with multiple right-hand sides. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 1-15.</ref>
** Block GWBiCGSTAB<ref group="A">Tadano, H., & Kuramoto, R. (2019). Accuracy improvement of the Block BiCGSTAB method for linear systems with multiple right-hand sides by group-wise updating technique. Journal of Advanced Simulation in Science and Engineering, 6(1), 100-117.</ref>
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==== 精度保証 ====
数値線形代数における[[精度保証付き数値計算]]の研究も活発になっており<ref name="basic"/><ref name="oishi">[[大石進一]]：「[[精度保証付き数値計算]]」、[[コロナ社 (出版社)|コロナ社]]、（1999年）</ref>、具体的には以下のような研究が行われている。
{{Div col|rules=yes}}
*[[連立方程式]]の解に対する[[精度保証付き数値計算]]<ref name="basic"/><ref name="oishi"/><ref group="B">Yamamoto, T. (1984). Error bounds for approximate solutions of systems of equations. Japan Journal of Applied Mathematics, 1(1), 157.</ref><ref group="B">Oishi, S., & Rump, S. M. (2002). Fast verification of solutions of matrix equations. [[:en:Numerische Mathematik]], 90(4), 755-773.</ref>
**[[並列計算]]<ref group="B">森倉悠介, 椋木大地, 深谷猛, 山中脩也, & [[大石進一]]. (2016). 大規模並列計算機における連立一次方程式の精度保証付き数値計算に対する性能評価. 研究報告ハイパフォーマンスコンピューティング (HPC), 2016(1), 1-7.</ref>
**悪条件問題 （{{lang-en-short|ill-conditioned problems}}、[[条件数]]が大きい問題）<ref group="B">Kobayashi, Y., Ogita, T., & Ozaki, K. (2017). Acceleration of a preconditioning method for ill-conditioned dense linear systems by use of a BLAS-based method. Reliable Computing, 25, 15-23.</ref><ref group="B">Kobayashi, Y., & Ogita, T. (2016). Accurate and efficient algorithm for solving ill-conditioned linear systems by preconditioning methods. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 7(3), 374-385.</ref><ref group="B">A fast and efficient algorithm for solving ill-conditioned linear systems (JSIAM Letters Vol.7 (2015) pp.1-4) Yuka Kobayashi, Takeshi Ogita.</ref><ref group="B">悪条件連立一次方程式の精度保証付き数値計算法, [[日本応用数理学会]]論文誌 Vol.15, No.3, 2005, pp.269-286, 太田貴久, 荻田武史, Siegfried M. Rump, [[大石進一]].</ref>
**[[前処理行列]]<ref group="B">Yanagisawa, Y., Ogita, T., & Oishi, S. (2014). Convergence analysis of an algorithm for accurate inverse Cholesky factorization. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 31(3), 461-482.</ref><ref group="B">Yanagisawa, Y., Ogita, T., & Oishi, S. I. (2014). A modified algorithm for accurate inverse Cholesky factorization. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 5(1), 35-46.</ref><ref group="B">Yanagisawa, Y., & Ogita, T. (2013). Convergence analysis of accurate inverse Cholesky factorization. JSIAM Letters, 5, 25-28.</ref>
**H行列 （[[:en:comparison matrix|比較行列]]が[[M行列]]<ref name="Yamamoto1"/>となる行列）を用いる方法（[[ペロン・フロベニウスの定理]]<ref name="Yamamoto1"/>も使う、この方法は[[疎行列]]のときも適用可能）<ref name="basic"/><ref group="B">Minamihata, A., Sekine, K., Ogita, T., Rump, S. M., & Oishi, S. I. (2015). Improved error bounds for linear systems with H-matrices. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 6(3), 377-382.</ref>
**[[疎行列]]に対する精度保証法（[[コレスキー分解]]に基づく）<ref name="basic"/><ref group="B">Rump, S. M., & Ogita, T. (2007). Super-fast validated solution of linear systems. [[:en:Journal of computational and applied mathematics]], 199(2), 199-206.</ref>
*[[固有値]]問題の解に対する[[精度保証付き数値計算]]<ref name="Yamamoto1"/><ref name="basic"/><ref name="oishi"/><ref group="B">Yamamoto, T. (1980). Error bounds for computed eigenvalues and eigenvectors. [[:en:Numerische Mathematik]], 34(2), 189-199.</ref><ref group="B">Yamamoto, T. (1982). Error bounds for computed eigenvalues and eigenvectors. II. [[:en:Numerische Mathematik]], 40(2), 201-206.</ref><ref group="B">Mayer, G. (1994). Result verification for eigenvectors and eigenvalues. Topics in Validated Computations, Elsevier, Amsterdam, 209-276.</ref>
**[[ゲルシュゴリンの定理]]を使う方法（定石として確立されている）<ref name="Yamamoto1"/><ref name="basic"/><ref name="oishi"/>
**Krawczyk法（精度保証付き[[求根アルゴリズム]]の一つ）を使う方法<ref name="basic"/><ref name="oishi"/><ref group="B">Rump, S. M. (1994). Verification methods for dense and sparse systems of equations.</ref><ref group="B">Rump, S. M. (2001). Computational error bounds for multiple or nearly multiple eigenvalues. Linear Algebra and its Applications, 324(1-3), 209-226.</ref><ref group="B">Rump, S. M., & Zemke, J. P. M. (2003). On eigenvector bounds. [[:en:BIT Numerical Mathematics]], 43(4), 823-837.</ref>
**大規模[[疎行列]]の場合<ref name="basic"/><ref group="B">Yamamoto, N. (2001). A simple method for error bounds of eigenvalues of symmetric matrices. Linear Algebra and its Applications, 324(1-3), 227-234.</ref>
**[[対角化]]可能行列に対する Bauer-Fike型誤差評価、Hoffman-Wielandt型誤差評価<ref name="oishi"/><ref group="B">Elsner, L., & Friedland, S. (1995). Singular values, doubly stochastic matrices, and applications. Linear Algebra and Its Applications, 220, 161-169.</ref><ref group="B">Ipsen, I. C. (1998). Relative perturbation results for matrix eigenvalues and singular values. [[:en:Acta numerica]], 7, 151-201.</ref><ref group="B">Deif, A. S. (1990). Realistic apriori and a posteriori error bounds for computed eigenvalues. IMA journal of numerical analysis, 10(3), 323-329.</ref>
**一般化固有値問題（{{lang-en-short|generalized eigenvalue problem}}）<ref group="B">丸山晃佐, 荻田武史, 中谷祐介, & [[大石進一]]. (2004). 実対称定値一般化固有値問題のすべての固有値の精度保証付き数値計算法. [[電子情報通信学会]]論文誌 A, 87(8), 1111-1119.</ref>
**逆固有値問題（{{lang-en-short|inverse eigenvalue problem}}）<ref group="B">Alefeld, G., Gienger, A., & Mayer, G. (1994). Numerical validation for an inverse matrix eigenvalue problem. Computing, 53(3-4), 311-322.</ref><ref group="B">Miyajima, S. (2017). Verified Solutions of Inverse Symmetric Eigenvalue Problems. Reliable Computing, 24(1), 31-44.</ref>
*[[特異値分解]]の精度保証<ref name="oishi"/><ref group="B">Demmel, J., & Kahan, W. (1990). Accurate singular values of bidiagonal matrices. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 11(5), 873-912.</ref><ref group="B">Oishi, S. (2001). Fast enclosure of matrix eigenvalues and singular values via rounding mode controlled computation. Linear algebra and its Applications, 324(1-3), 133-146.</ref>
*[[行列式]]の精度保証<ref group="B">{{Cite journal|和書|author=荻田武史, 尾崎克久, [[大石進一]] |date=2007 |title=行列式の高速な精度保証付き数値計算法(数値シミュレーションを支える応用数理) |url=https://hdl.handle.net/2433/81323 |journal=数理解析研究所講究録 |publisher=京都大学数理解析研究所 |issue=1573 |pages=45-52 |naid=110006446072 |ISSN=18802818}}</ref><ref group="B">Ogita, T. (2008). Verified Numerical Computation of Matrix Determinant. SCAN’2008 El Paso, Texas September 29–October 3, 2008, 86.</ref>
*[[行列の乗法]]<ref group="B">有向丸めの変更を使用しないタイトな行列積の包含方法, 応用数理 Vol.21, No.3, 2011, pp.186–196, 尾崎克久, 荻田武史, [[大石進一]].</ref><ref group="B">{{Cite journal|和書|author=荻田武史, 大石進一, 後保範 |date=2003 |title=Strassen のアルゴリズムによる行列乗算の高速精度保証 (微分方程式の数値解法と線形計算) |url=https://hdl.handle.net/2433/43088 |journal=数理解析研究所講究録 |publisher=京都大学数理解析研究所 |issue=1320 |pages=151-161 |naid=110000167325 |ISSN=1880-2818}}</ref>
* 行列方程式の解に対する精度保証<ref group="B">{{Cite journal|和書|author=宮島信也 |date=2019 |title=行列方程式の解に対する数値的検証法の進展 |url=https://doi.org/10.11540/bjsiam.29.2_18 |journal=応用数理 |publisher=日本応用数理学会 |volume=29 |issue=2 |pages=18-25 |naid=130007720875 |doi=10.11540/bjsiam.29.2_18}}</ref><ref group="B">Shinya Miyajima, Verified computation for the Hermitian positive definite solution of the conjugate discrete-time algebraic Riccati equation, [[:en:Journal of Computational and Applied Mathematics]], Volume 350, Pages 80-86, April 2019.</ref><ref group="B">inya Miyajima, Fast verified computation for the minimal nonnegative solution of the nonsymmetric algebraic Riccati equation, Computational and Applied Mathematics, Volume 37, Issue 4, Pages 4599-4610, September 2018.</ref><ref group="B">Shinya Miyajima, Fast verified computation for the solution of the T-congruence Sylvester equation, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volume 35, Issue 2, Pages 541-551, July 2018.</ref><ref group="B">Shinya Miyajima, Fast verified computation for the solvent of the quadratic matrix equation, The Electronic Journal of Linear Algebra, Volume 34, Pages 137-151, March 2018</ref><ref group="B">Shinya Miyajima, Fast verified computation for solutions of algebraic Riccati equations arising in transport theory, Numerical Linear Algebra with Applications, Volume 24, Issue 5, Pages 1-12, October 2017.</ref><ref group="B">Shinya Miyajima, Fast verified computation for stabilizing solutions of discrete-time algebraic Riccati equations, [[:en:Journal of Computational and Applied Mathematics]], Volume 319, Pages 352-364, August 2017.</ref><ref group="B">Shinya Miyajima, Fast verified computation for solutions of continuous-time algebraic Riccati equations, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volume 32, Issue 2, Pages 529-544, July 2015.</ref>
* [[行列値関数]]（[[:en:matrix function|en]]）の精度保証（[[行列値関数]]の高精度計算法に関する研究についてはHighamなどによる業績が多数ある<ref group="A">Bini, D. A., Higham, N. J., & Meini, B. (2005). Algorithms for the matrix pth root. Numerical Algorithms, 39(4), 349-378.</ref><ref group="A">Deadman, E., Higham, N. J., & Ralha, R. (2012, June). Blocked Schur algorithms for computing the matrix square root. In International Workshop on Applied Parallel Computing (pp. 171-182). Springer, Berlin, Heidelberg.</ref><ref group="A">Hargreaves, G. I., & Higham, N. J. (2005). Efficient algorithms for the matrix cosine and sine. Numerical Algorithms, 40(4), 383-400.</ref><ref group="A">Davies, P. I., & Higham, N. J. (2003). A Schur-Parlett algorithm for computing matrix functions. [[:en:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications]], 25(2), 464-485.</ref>）
**[[行列指数関数]]<ref group="B">Miyajima, S. (2019). Verified computation of the matrix exponential. Advances in Computational Mathematics, 45(1), 137-152.</ref>
**[[行列の対数]]<ref group="B">Miyajima, S. (2019). Verified computation for the matrix principal logarithm. Linear Algebra and its Applications, 569, 38-61.</ref>
**[[行列の平方根]]<ref group="B">Miyajima, S. (2018). Fast verified computation for the matrix principal pth root. [[:en:Journal of Computational and Applied Mathematics]], 330, 276-288.</ref>
{{div col end}}
== 可積分系との関係 ==
{{seealso|可積分系|可積分アルゴリズム}}
[[可積分系]]・[[力学系]]と数値線形代数の間に関係があるという事実が注目されている<ref name="pedia">[[解析学]]百科II [[可積分系]]の数理、[[朝倉書店]]、中村佳正 et al. (2018)</ref><ref name="func">可積分系の機能数理、[[共立出版]]、中村佳正。</ref><ref group="C">Nakamura, Y. (2001). Algorithms associated with arithmetic, geometric and harmonic means and integrable systems. [[:en:Journal of computational and applied mathematics]], 131(1-2), 161-174.</ref><ref group="C">Chu, M. T. (2008). Linear algebra algorithms as dynamical systems. [[:en:Acta Numerica]], 17, 1-86.</ref>。具体的には[[:en:Toda lattice|戸田格子]]（[[ソリトン]]方程式の一つ）と[[QR法]]<ref name="pedia"/><ref name="func"/>・qd法<ref group="C">Sogo, K. (1993). Toda molecule equation and quotient-difference method. Journal of the Physical Society of Japan, 62(4), 1081-1084.</ref>、[[可積分系]]と[[特異値分解]]<ref name="pedia"/><ref name="func"/><ref group="C">{{Cite journal|和書|author=中村佳正 |date=2003 |title=特異値分解法の可積分アルゴリズムINT-SVD (微分方程式の数値解法と線形計算) |url=https://hdl.handle.net/2433/43095 |journal=数理解析研究所講究録 |publisher=京都大学数理解析研究所 |issue=1320 |pages=219-230 |naid=110000167332 |ISSN=1880-2818}}.</ref><ref group="C">Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2006). Accurate computation of singular values in terms of shifted integrable schemes. Japan journal of industrial and applied mathematics, 23(3), 239.</ref>との関係が明らかになった。これらを背景に、離散[[可積分系]]から数値線形代数に有用な[[反復法]]を開発する試みが行われている。例えば
{{Div col|rules=yes}}
*dLVアルゴリズム<ref group="C">{{Cite journal|和書|author=岩崎雅史, 中村佳正 |date=2005 |title=特異値計算アルゴリズムdLVの基本性質について(応用可積分系,<特集>平成17年研究部会連合発表会) |url=https://doi.org/10.11540/jsiamt.15.3_287 |journal=日本応用数理学会論文誌 |publisher=日本応用数理学会 |volume=15 |issue=3 |pages=287-306 |naid=110001900187 |doi=10.11540/jsiamt.15.3_287 |ISSN=09172246}}</ref><ref group="C">「Verification of dLVv Transformation for Singular Vector Computation with High Accuracy」 『In Proceedings of International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications』 Vol.II, pp.881-887 (2006, 6) Masami Takata, Taro Konda, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura.</ref><ref group="C">「An Evaluation of Singular Value Computation by the Discrete Lotka-Volterra System」 『In Proceedings of International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications』 Vol.II, pp.410-416 (2005, 6) Masami Takata, Iwasaki Masashi, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura.</ref><ref name="in" group="C">Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2011). Positivity of dLV and mdLVs algorithms for computing singular values. Electronic Transactions on Numerical Analysis, 38, 184-201.</ref>
*dhLVアルゴリズム<ref group="C">Fukuda, A., Ishiwata, E., Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2008). The discrete hungry Lotka–Volterra system and a new algorithm for computing matrix eigenvalues. Inverse Problems, 25(1), 015007.</ref><ref group="C">Fukuda, A., Ishiwata, E., Yamamoto, Y., Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2013). Integrable discrete hungry systems and their related matrix eigenvalues. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 192(3), 423-445.</ref><ref group="C">Fukuda, A., Ishiwata, E., Iwasaki, M., & Nakamura, Y. (2009). On the qd-type discrete hungry Lotka-Volterra system and its application to the matrix eigenvalue algorithm. JSIAM Letters, 1, 36-39.</ref><ref group="C">Yamamoto, Y., & Fukaya, T. (2010). Differential qd algorithm for totally nonnegative Hessenberg matrices: introduction of origin shifts and relationship with the discrete hungry Lotka-Volterra system. JSIAM Letters, 2, 69-72.</ref>
*mdLVアルゴリズム<ref name="mdlv" group="A"/><ref name="m2dlvEn" group="A"/><ref name="in" group="C"/><ref group="C">{{Cite journal|和書|author=中村佳正, 岩崎雅史, 木村欣司, 高田雅美 |date=2008 |title=行列の特異値計算のmdLVsアルゴリズムにおける最近の進展 (非線形波動現象の数理と応用) |url=https://hdl.handle.net/2433/81673 |journal=数理解析研究所講究録 |publisher=京都大学数理解析研究所 |issue=1594 |pages=136-148 |naid=110006633519 |ISSN=18802818}}</ref><ref group="C">「An Improved Shift Strategy for the Modified Discrete Lotka-Volterra with Shift Algorithm」 『In Proceedings of 2011 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications』 Vol.II, pp.720-726 (2011, 7) Masami Takata, Takumi Yamashita, Akira Ajisaka, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura.</ref><ref group="C">「Speed-up in mdLVs by Limitation in Computational Number of Shift」 『In Proceedings of 2009 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications』 Vol.II, pp.704-710 (2009, 7) Masami Takata, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura.</ref>
*dhTodaアルゴリズム<ref group="C">Takahashi, Y., Iwasaki, M., Fukuda, A., Ishiwata, E., & Nakamura, Y. (2018). Periodic convergence in the discrete hungry Toda equation. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 51(34), 344001.</ref><ref group="C">Fukuda, A., Yamamoto, Y., Iwasaki, M., Ishiwata, E., & Nakamura, Y. (2013). On a shifted LR transformation derived from the discrete hungry Toda equation. Monatshefte für Mathematik, 170(1), 11-26.</ref><ref group="C">Fukuda, A., Yamamoto, Y., Iwasaki, M., Ishiwata, E., & Nakamura, Y. (2012). Error analysis for matrix eigenvalue algorithm based on the discrete hungry Toda equation. Numerical Algorithms, 61(2), 243-260.</ref>
*I-SVDアルゴリズム<ref group="C">Toyokawa, H., Kimura, K., Takata, M., & Nakamura, Y. (2009). On parallelism of the I-SVD algorithm with a multi-core processor. JSIAM Letters, 1, 48-51.</ref><ref group="C">{{Cite journal|和書|author=豊川博己, 山本有作, 木村欣司, 高田雅美, 中村佳正 |title=密正方行列特異値分解における並列I-SVD法の特性を用いた後処理の高速化 |url=http://id.nii.ac.jp/1001/00069731/ |journal=情報処理学会論文誌コンピューティングシステム（ACS） |publisher=情報処理学会 |date=2010 |volume=3 |issue=2 |pages=30-38 |naid=110007990289 |ISSN=1882-7829}}</ref><ref group="C">{{Cite journal|和書|author=豊川博己, 木村欣司, 高田雅美, 中村佳正 |date=2009 |title=近接特異値を持つ行列に対応したI-SVD法の並列化とその評価 |url=http://id.nii.ac.jp/1001/00062613/ |journal=情報処理学会研究報告. MPS数理モデル化と問題解決研究報告 |publisher=情報処理学会 |volume=74 |pages=J1-J6 |naid=110007993815 |ISSN=09196072}}</ref>
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等が研究されている<ref name="pedia"/><ref name="func"/>。

== 関連項目 ==
*[[行列解析]] ([[:en:Matrix analysis|en]])
*[[条件数]]
=== ソフトウェア・ライブラリ ===
{{seealso|線型代数学ライブラリの比較}}
{{Div col|rules=yes}}
*[[BLAS]]
*[[OpenBLAS]]
*[[LAPACK]]
*[[MATLAB]]
*[[GNU Octave]]
*[[INTLAB]]
*[[NAG数値計算ライブラリ]]
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=== 手法 ===
{{Div col|rules=yes}}
*[[反復法]]
*[[クリロフ部分空間]]
*[[ハウスホルダー変換]]
*[[ギブンス回転]]
*[[べき乗法]]
*[[逆べき乗法]]
*[[ヤコビ法 (固有値問題)]]
*[[シュトラッセンのアルゴリズム]]
*[[前処理行列]]
*[[行列の分解]]
**[[LU分解]]
**[[QR分解]]
**[[コレスキー分解]]
**[[固有値分解]] ([[:en:Eigendecomposition of a matrix|en]])
**[[特異値分解]]
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== 研究者・専門家 ==
=== 日本 ===
*[[杉原正顯]]（[[共役勾配法]]の研究に従事<ref name="sugi" group="A"/>）
*[[大石進一]]（数値線形代数の精度保証に貢献<ref name="basic"/><ref name="oishi"/>）
*[[速水謙]]
=== 海外 ===
*[[:en:Aleksey Krylov]]（[[クリロフ部分空間]]を導入）
==== ドイツ ====
*[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ]]（[[固有値]]問題の解法である[[:en:Jacobi eigenvalue algorithm]]で知られる<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/>）
*[[イサイ・シューア]]（[[逆行列]]を求めるのに使う[[シューア補行列]]で知られる<ref name="Yamamoto1"/>）
*[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス]]（[[ペロン＝フロベニウスの定理]]で知られる<ref name="Yamamoto1"/>）
*[[:en:Helmut Wielandt]]（[[固有値]]問題などについて業績がある<ref name="Yamamoto1"/><ref name="oishi"/>）
*[[アンドレアス・フロマー]]
==== アメリカ合衆国 ====
*[[リチャード・バルガ]] ([[:en:Richard S. Varga|en]])
*[[ジーン・ゴラブ]] ([[:en:Gene H. Golub|en]])
*[[クリーブ・モラー]] ([[:en:Cleve Moler|en]])

==== イギリス ====
*[[ジェームズ・H・ウィルキンソン]]
*[[ニコラス・ハイアム]] ([[:en:Nicholas Higham|en]])
*[[ニック・トレフェセン]] ([[:en:Nick Trefethen|en]])

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2|refs=
<ref name="basic">『[[精度保証付き数値計算]]の基礎』[[大石進一]] 編著、[[コロナ社 (出版社)|コロナ社]]、2018年。</ref>
}}
=== 反復法・高精度計算に関する論文 ===
{{Reflist|group="A"|2}}
=== 精度保証に関する論文 ===
{{Reflist|group="B"|2}}
=== 可積分アルゴリズムに関する論文 ===
{{Reflist|group="C"|2}}

== 参考文献 ==
=== 洋書 ===
{{Div col|rules=yes}}
* Demmel, J. W. (1997): ''Applied Numerical Linear Algebra'', [[SIAM (学会)|SIAM]].
* Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989): ''Introduction to Numerical Linear Algebra and Optimization'', [[Cambridge University Press]].
* Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997): ''Numerical Linear Algebra'' (1st ed.), Philadelphia: [[:en:Society for industrial and applied mathematics|SIAM]]. {{ISBN2|978-0-89871-361-9}}.
* Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996): ''Matrix Computations'' (3rd ed.), Baltimore: [[ジョンズ・ホプキンズ大学出版局|The Johns Hopkins University Press]]. {{ISBN2|0-8018-5413-X}}.
* G. W. Stewart: ''Matrix Algorithms Vol I: Basic Decompositions'', SIAM, ISBN 0-89871-414-1 (1998).
* G. W. Stewart: ''Matrix Algorithms Vol II: Eigensystems'', SIAM, ISBN 0-89871-503-2 (2001). 
* Varga, Richard S.: ''Matrix Iterative Analysis'', Springer, 2000.
* {{cite book | first=Yousef | last=Saad | title=Iterative Methods for Sparse Linear Systems | edition=2nd ed. | year=2003 | publisher=[[:en:Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] | isbn=978-0-89871534-7 | oclc=51266114 }} [https://www-users.cse.umn.edu/~saad/IterMethBook_2ndEd.pdf ]
* Raf Vandebril, Marc Van Barel, and Nicola Mastronardi: ''Matrix Computations and Semiseparable Matrices, Volume 1: Linear systems'', Johns Hopkins Univ. Press, ISBN 978-0-8018-8714-7 (2008).
* Raf Vandebril, Marc Van Barel, and Nicola Mastronardi: ''Matrix Computations and Semiseparable Matrices, Volume 2: Eigenvalue and Singular Value Methods'', Johns Hopkins Univ. Press, ISBN 978-0-8018-9052-9 (2008).
* Higham, N. J. (2008): ''Functions of Matrices: Theory and Computation'', [[:en:Society for industrial and applied mathematics|SIAM]].
* Higham, N. J. (2002): ''Accuracy and Stability of Numerical Algorithms'', [[SIAM (学会)|SIAM]].
* David S. Watkins (2008): ''The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods'', [[:en:Society for industrial and applied mathematics|SIAM]].
* Liesen, J., & Strakos, Z. (2012): ''Krylov Subspace Methods: Principles and Analysis'', Oxford Univ. Press,  Oxford.
* Claude Brezinski, Gérard Meurant and Michela Redivo-Zaglia (2022): ''A Journey through the History of Numerical Linear Algebra'', SIAM, ISBN 978-1-61197-722-6.
{{Div col end}}

=== 和書 ===
{{Div col|rules=yes}}
* 仁木滉, & 河野敏行. (1998). 楽しい反復法. [[共立出版]].
* 河村哲也. (2005). [[線形代数]]と[[数値解析]], [[朝倉書店]].
* [[杉原正顯]], 室田一雄, 線形計算の数理, [[岩波書店]], 2009年.
* 山本哲朗. (2010). 行列解析の基礎–Advanced [[線形代数]], SGC ライブラリ 79. [[サイエンス社]].
* 線形方程式の反復解法、一般社団法人 日本計算工学会 編、藤野清次 著、阿部邦美 著、[[杉原正顯]] 著、[[丸善出版]]、2013年09月。
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== 関連特許 ==
*「固有値分解装置、及び固有値分解法」 特許5017666（日本）、PCT/JP2007/051575
*「特異値分解装置、及び特異値分解法」 特許5011545（日本）、PCT/JP2006/318713

== 外部リンク ==
{{外部リンクの注意|date=2024年2月18日 (日) 03:38 (UTC)|section=1}}
*{{PDFlink|[https://www.maths.manchester.ac.uk/~higham/talks/enumath11.pdf Numerical Linear Algebra in the UK: From Cayley to Exascale Computing]}}
*{{PDFlink|[https://www.maths.manchester.ac.uk/~higham/talks/hartree13.pdf Bringing New Algorithms in Numerical Linear Algebra to Industry]}}
*{{PDFlink|[https://nlagrouporg.files.wordpress.com/2019/06/anla19_zounon.pdf Numerical Linear Algebra Routines for Emerging Computer Architectures]}}
*{{PDFlink|[https://nlagrouporg.files.wordpress.com/2019/06/anla19_drmac.pdf Advances in high accuracy matrix computations]}}
* [https://www.win.tue.nl/~hochsten/journals.html Some Journals in Numerical Linear Algebra]
=== 手法に関する解説記事 ===
==== 反復法 ====
*[http://www.jicfus.jp/wiki/index.php?%E6%9C%80%E5%B0%8F%E6%AE%8B%E5%B7%AE%E6%B3%95 最小残差法]
*[http://www.jicfus.jp/wiki/index.php?MINRES%20%E6%B3%95 MINRES 法]
*[http://www.jicfus.jp/wiki/index.php?CR%20%E6%B3%95 CR法 (共役残差法)]
*[http://www.jicfus.jp/wiki/index.php?CG%20%E6%B3%95 CG法 (共役勾配法)]
*[http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~fujisawa.makoto.fu/cgi-bin/wiki/index.php?Arnoldi%CB%A1 Arnoldi法]
*[http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/eigenvalues/ 行列の固有値問題]
*{{PDFlink|[http://nkl.cc.u-tokyo.ac.jp/16n/Eigen.pdf 固有値解析]}}

==== 精度保証 ====
*{{PDFlink|[http://www.sr3.t.u-tokyo.ac.jp/jsiam/slides/aminamihata.pdf 連立一次方程式の数値解に対する精度保証付き数値計算法]}}
*{{PDFlink|[http://www.sr3.t.u-tokyo.ac.jp/jsiam/slides/2015/morikura_20151224_ver1.1.pdf 事前誤差評価を用いた線形計算の精度保証–誤差解析から大規模計算まで–]}}
=== 研究グループ・部会 ===
*{{twitter|nla_grp|Numerical Linear Algebra Group}} ([[イギリス]]の数値線形代数研究グループ)
*{{twitter|siagla|siagla}} ([[SIAM (学会)|SIAM]]の数値線形代数研究部会)
*[https://gammanla.wordpress.com/ The GAMM Activity Group on Applied and Numerical Linear Algebra]
*[http://na.nuap.nagoya-u.ac.jp/index.php/research/ 計算数理グループ] ([[名古屋大学]]の数値線形代数研究グループ)
*[https://na.cs.tsukuba.ac.jp/mepa/ 日本応用数理学会「行列・固有値問題の解法とその応用」研究部会 (Algorithms for Matrix / Eigenvalue Problems and their Applications)] ([[日本応用数理学会]]の研究部会)

=== 全米科学財団 ===
*[https://www.nsf.gov/awardsearch/showAward?AWD_ID=1661760 Collaborative Research: Randomized Numerical Linear Algebra (RandNLA) for multi-linear and non-linear data]
*[https://www.nsf.gov/awardsearch/showAward?AWD_ID=0098150 Numerical Linear Algebra and Eigenvalue Computations]
=== 科学研究費助成事業 ===
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-16H03917/ 数値線形代数における高精度計算アルゴリズムの開発]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-23700023/ ロバストで高効率な数値線形代数アルゴリズムの開発]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-18H05392/ 量子計算を併用した数値線形代数学の開拓]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-19H04127/ エクサ時代の非同期タスクを応用した高性能高次元数値線形代数の研究]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-13J05977/ リーマン多様体上の最適化アルゴリズムおよびその数値線形代数への応用]

{{applied-math-stub}}
{{linear algebra}}
{{数学}}
{{Commonscat}}
{{デフォルトソート:すうちせんけいたいすう}}
[[Category:数値線形代数|*]]
[[Category:数値解析]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:応用数学]]
[[Category:計算数学]]
[[Category:研究の計算分野]]
[[Category:アルゴリズム]]
[[Category:数学に関する記事]]