数字根のソースを表示

'''数字根'''（すうじこん、{{lang-en-short|digital root}}）とは、[[自然数|正の整数]]値の各位の和（[[数字和]]）を求め、結果の数字和を求め、という操作を繰り返し、最終的に得られる 1 桁の数を指す。

例えば、65536 の数字根は 7 である。（6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25 → 2 + 5 = 7）

一般に正の整数値 ''n'' の数字根は ''n'' を 9 で割った余りに等しい<ref group="注釈">余りが 0 の場合は数字根は 9 である。</ref>ので、全ての桁の数字を加算するのではなく、9 を法とする[[合同式]]によって計算可能であり、巨大な数の数字根を求める際に時間を節約できる。

数字根は[[チェックサム]]の一種としても利用できる。例えば、[[加法|加算]]において和の数字根と被加数の数字根の和の数字根は常に等しい。これを利用した検算方法として[[九去法]]がある。

== 性質 ==
特定の数の数字根の特殊例として、次のようなものがある。
* 0 の数字根は 0 である。
* 一般に正の整数値 ''n'' の数字根は ''n'' を 9 で割った余りに等しい。ただし、余りが 0 の場合は、数字根は 9 に等しい。
* 0 以外の 9 の[[倍数]]の数字根は 9 である。
* 0 以外の 3, 6 の倍数の数字根は 3, 6, 9 のいずれかである。
* [[平方数]]の数字根は 1, 4, 7, 9 のいずれかである。
* [[立方数]]の数字根は 1, 8, 9 のいずれかである。
* 3 以外の[[素数]]の数字根は 1, 2, 4, 5, 7, 8 のいずれかである。
* [[2の冪]]の数字根は 1, 2, 4, 5, 7, 8 のいずれかである。
* 6 以外の偶数の[[完全数]]の数字根は 1 である。
* [[三角数]]の数字根は 1, 3, 6, 9 のいずれかである。
* 6 以上の[[階乗]]の数字根は 9 である。これは、3と6をかけているためである。

== 数字根による抽象乗算 ==
以下の表は、十進数の[[九九]]の表から数字根を求めたものである。最初の行と列はかける数である。例えば、'''2'''x'''5''' = 1 となるが、これは積である 10 の数字根が 1 であることを意味する。
<div align="center">
{|class="wikitable" style="text-align:center; width:270px; height:270px" border="1"
! dr !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9
|-
! 1
|style="background-color:red"|1||style="background-color:orange"|2||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:lime"|4||style="background-color:green"|5||style="background-color:blue"|6||style="background-color:aqua"|7||style="background-color:purple"|8||style="background-color:fuchsia"|9
|-
!2
|style="background-color:orange"|2||style="background-color:lime"|4||style="background-color:blue"|6||style="background-color:purple"|8||style="background-color:red"|1||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:green"|5||style="background-color:aqua"|7||style="background-color:fuchsia"|9
|-
!3
|style="background-color:yellow"|3||style="background-color:blue"|6||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:blue"|6||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:blue"|6||style="background-color:fuchsia"|9
|-
!4
|style="background-color:lime"|4||style="background-color:purple"|8||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:aqua"|7||style="background-color:orange"|2||style="background-color:blue"|6||style="background-color:red"|1||style="background-color:green"|5||style="background-color:fuchsia"|9
|-
!5
|style="background-color:green"|5||style="background-color:red"|1||style="background-color:blue"|6||style="background-color:orange"|2||style="background-color:aqua"|7||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:purple"|8||style="background-color:lime"|4||style="background-color:fuchsia"|9
|-
!6
|style="background-color:blue"|6||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:blue"|6||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:blue"|6||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:fuchsia"|9
|-
!7
|style="background-color:aqua"|7||style="background-color:green"|5||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:red"|1||style="background-color:purple"|8||style="background-color:blue"|6||style="background-color:lime"|4||style="background-color:orange"|2||style="background-color:fuchsia"|9
|-
!8
|style="background-color:purple"|8||style="background-color:aqua"|7||style="background-color:blue"|6||style="background-color:green"|5||style="background-color:lime"|4||style="background-color:yellow"|3||style="background-color:orange"|2||style="background-color:red"|1||style="background-color:fuchsia"|9
|-
!9
|style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:fuchsia"|9||style="background-color:fuchsia"|9
|}
</div>
この表には[[対称性]]のある面白い数字の[[パターン]]が表れている。例えば、9 をかけた結果の数字根は常に 9 である。このパターンは、9 の倍数ごとのブロックとして無限に繰り返される。

9 番目の行と列を無視すれば、[[半群]] {J/(9), '''X'''} が残る。J/(9) とは、9 を法とする剰余類で分けられた整数の集合であり、'''X''' はこの半群上の元の間の抽象乗算を意味する。''a'' と ''b'' が {J/(9), '''X'''} の元であるとき、''a'''''X'''''b'' は ''mod'' (''a''x''b'', 9) であり、''a''x''b'' は通常の乗算を表す。言い換えれば、次の式の '''c''' を求めていることに他ならない。
{{Indent|<math>a\times b \equiv c \pmod{9}</math>}}
もちろん、'''c''' は ''a''x''b'' の数字根であり、(a,b) は共に J と {J/(9), '''X'''} の元である<ref>{{Harvnb|Deskins|1996|pp=162-167}}</ref>。

== 形式的定義 ==
<math>n</math> の各位の和（数字和）を求める関数を <math>f(n)</math> とする。<math>f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), \dotsb</math> と計算していくと、最終的に定数値に収束する。この定数値（<math>n</math> の数字根）を求める関数を <math>f^{*}(n)</math> とする。

=== 例 ===
<math>1853</math> の数字根は次のように求められる。
{{Indent|
<math>f(1853)=1+8+5+3=17\,</math><br />
<math>f(17)=1+7=8\,</math>
}}
したがって、<math>f^{*}(1853)=8</math> となる。

=== 定数値が存在することの証明 ===
<math>f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), \dotsb</math> が最終的に定数となることの証明は以下の通り。

<math>x=d_1+10d_2+\dotsb+10^{n-1}d_n</math> とし、<math>0\le d_i\in\mathbb{Z}<10</math> とする（全ての <math>i</math> について <math>d_i</math> は 0 以上、10 未満の[[整数]]である）。すると、<math>f(x)=d_1+d_2+\dotsb+d_n</math> となる。つまり <math>d_2,d_3,\dotsb,d_n=0</math> でない限り <math>f(x)<x</math> が成り立ち、<math>d_2,d_3,\dotsb,d_n=0</math> であるということは、<math>x</math> が 1 桁であることを意味する。従って <math>f(x)</math> を繰り返し適用していくと <math>x</math> は小さくなっていき、最終的に 1 桁の数になり、その時点で <math>f(d_1)=d_1</math> なので定数となる。

== 合同式による定義 ==
合同式による定義は次の通りである。

:<math> \operatorname{dr}(n) = \begin{cases}0 & \mbox{if}\ n = 0, \\ 9 & \mbox{if}\ n \neq 0,\ n\ \equiv 0\pmod{9},\\ n\ {\rm mod}\ 9 & \mbox{if}\ n \not\equiv 0\pmod{9}.\end{cases}</math>
または
:<math> \mbox{dr}(n) = 1\ +\ ((n-1)\ {\rm mod}\ 9).\ </math>

基数 ''b'' が異なる[[位取り記数法]]の数字根では、上記の式の 9 を ''b'' - 1 に置き換えればよい。

== 関連項目 ==
*[[九去法]]
*[[数字和]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation2
|last=Deskins
|first=W. E.
|origyear=1964
|date=1996
|title=Abstract Algebra
|publisher=Dover Publications
|edition=Unabridged 
|series=Dover Books on Mathematics
|isbn=978-0-486-68888-6
}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Digital Root|urlname=DigitalRoot}}
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/DigitSum/index.html pattern of digital root using MS Excel]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:すうしこん}}
[[Category:数論]]
[[Category:代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]