数学的な美のソースを表示

[[Image:Mandelpart2.jpg|300px|right|thumb|'''表現の美'''の一例: [[マンデルブロ集合]]の境界付近、中心座標 (0.282, -0.01)、対角線座標 (0.278587, -0.012560) 〜 (0.285413, -0.007440) の領域の拡大。]]

'''数学的な美'''（すうがくてきなび、{{lang-en|mathematical beauty}}）とは、[[数学]]に関する[[審美]]的・[[美学]]的な意識・意義・側面である。'''数学的な美''' ({{lang|en|mathematical beauty}}) と'''数学の美''' ({{lang|en|beauty in mathematics}}) はしばしば同義に扱われるが、後者が数学そのものの審美性の概念であるのに対して前者は数学を含む全ての事象の数学的側面に注目する点で異なる。前者は後者を含む意味で捉えられることもある。本文では前者の意味に基づいて論じる。

多くの[[数学者]]は自らが考察している対象、あるいは[[数学]]そのものから[[美学]]的な喜びを覚えている。彼らは数学（あるいは少なくとも数学のある種の側面）を'''美'''として記述することにより、この喜びを表現している。数学者は[[芸術]]の一形態あるいは少なくとも創造的な行動として数学を表現している。このことはしばしば[[音楽]]や[[詩]]を対照として比較される。数学者[[バートランド・ラッセル]]は'''数学的な美'''に関する彼の印象を次のように表現した。

{{quotation|それを正しく考察された数学にあるものは[[真実]]のみではない。そこには至高の美、すなわち、[[彫刻]]が持つような冷淡で厳粛な美、人間の弱い性質が惹き付けられることなく、[[絵画]]や[[音楽]]の華麗な罠なしに、依然として崇高で純粋な、そして偉大な芸術のみが見せることができる強固な完成度の有能性を備えている。真の歓喜の精神は、高揚、人類以上のものであるという感覚、最も卓越した優越性の試金石であり、詩がそうであるように確実に数学において見つかるものだ<ref>{{cite book|last=Russell|first=Bertrand|authorlink=Bertrand Russell|title=Mysticism and Logic: And Other Essays|publisher=[[:en:Longman]]|date=1919|pages=60|chapter=The Study of Mathematics|url=https://books.google.co.jp/books?id=zwMQAAAAYAAJ&pg=PA60&dq=Mathematics+rightly+viewed+possesses+not+only+truth+but+supreme+beauty+a+beauty+cold+and+austere+like+that+of+sculpture+without+appeal+to+any+part+of+our+weaker+nature+without+the+gorgeous+trappings+inauthor:Russell&lr=&as_brr=0&client=opera&redir_esc=y&hl=ja|accessdate=2008-08-22}}</ref>。}}

[[ハンガリー]]の数学者[[ポール・エルデシュ]]は数学の{{仮リンク|言語での表現不可能性|en|ineffability}}に関する彼の見解を次のような言葉で表現した<ref>{{cite book|last=Devlin|first=Keith|title=The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip|publisher=[[:en:Basic Books]]|date=2000|pages=140|chapter=Do Mathematicians Have Different Brains?|url=https://books.google.co.jp/books?id=AJdmfYEaLG4C&pg=PA140&lpg=PA140&dq=Why+are+numbers+beautiful%3F+It%27s+like+asking+why+is+Beethoven%27s+Ninth+Symphony+beautiful.+If+you+don%27t+see+why,+someone+can%27t+tell+you.+I+know+numbers+are+beautiful.+If+they+aren%27t+beautiful,+nothing+is.&source=web&ots=eRoQLJAgG-&sig=hBu19Oddbjz9zw_koj6-dJkyxM0&hl=en&sa=X&oi=book_result&ct=result&redir_esc=y|accessdate=2008-08-22}}</ref>。
:「数は何故美しいのか。それはベートーベンの[[交響曲第9番 (ベートーヴェン)|交響曲第九番]]がなぜ美しいのかと訊ねるようなものだ。君がその答を知らないのであれば、他の誰も答えることはできない。私は数が美しいということを'''知っている'''。もし数が美しくないのなら、美しいものなど何も無い。」

== 解法の美・手法の美 ==

数学者は数学の[[証明 (数学)|証明]]方法において特に'''華麗'''さを評価する。 これは例えば

*最小限の既知事実や付加的仮定を使用した証明
*異常に簡潔な証明
*驚愕的な方法により結論を演繹する証明 (例えば、一見無関係な既知定理を用いた証明)
*新しい独自の洞察に基づく証明
*類似の問題群を解くための一般化が可能な証明方法

[[ファイル:Pythagorean proof (1).jpg|250px|right|thumb|'''解法の美'''の一例: [[ピタゴラスの定理|三平方の定理]]の単純にして華麗な証明]]のようなものである．

; 解法の美：多数の手段の中の美の発見

華麗な証明を模索する中で、数学者は一般には複数の証明方法から1つを選択することになるが、最初に使用された証明方法が常に最良とは限らない。多数の証明方法が知られている問題の典型例は[[ピタゴラスの定理|三平方の定理]]であり、これまでに数百もの証明が公表されている<ref>[[:en:Elisha Scott Loomis]] published over 360 proofs in his book Pythagorean Proposition (ISBN 0873530365).</ref>。
'''解法の美'''は、この定理の証明にもいくつか見られる。右の図によれば、もはや文章や数式などを付与する必要は全くなく、図のみからその定理の成立がわかる。簡潔であるとともに説明の必要無しに直感的な理解を形成する典型例であり、上で列挙した五つの華麗さのうち少なくとも最初の四つを満たす。他の例として[[平方剰余の相互法則]]があり、[[カール・フリードリヒ・ガウス]]によりこの定理に対して8個の異なる証明が公表された。

逆に、論理的に正しいが膨大な計算量を要するような結果、念入りすぎる方法、大変に平凡なアプローチ、あるいは非常に強力な定理や既知の結果を多数使用する証明方法は通常は華麗とは看做されず、醜悪，不器用などと評価されることもある。

; 手法の美：モデルの美しさ
数学を道具として利用した中での'''手法の美'''のひとつとして[[ヨハネス・ケプラー]]の多面体太陽系モデル仮説が挙げられる。ケプラーの時代には[[太陽系]]の[[惑星]]として[[水星]]・[[金星]]・[[地球]]・[[火星]]・[[木星]]・[[土星]]の6個しか知られていなかった。ケプラーは[[正多面体]]が5種類しかないことと、6個の[[惑星]]の[[軌道 (力学)|軌道]]による5個の隙間には、正多面体と球との外接・内接による関連性があるとの仮説を立てた。結果的にはこの仮説は彼の期待を裏切ることとなったが、後の古典力学の発展に繋がった。([[#美と哲学]]も参照)

==結論の美==
[[ファイル:EulerIdentity2.svg|thumb|right|'''結論の美'''の例: 複素平面において、''e''<sup>0</sup> = 1 を出発点として時間 π に対応する距離を速度 ''i'' で移動して 1 を加算すると、0 に到達する。]]

一見無関係な印象を受ける二つの異なる数学分野を繋ぐ数学的な結論において'''美'''を見出す数学者もいる<ref>{{Harvard citations|last = Rota|year = 1977|loc = p. 173}}</ref>。
そのような結果はしばしば'''深遠な洞察'''によるものと表現される。

ある結果が深遠な洞察によるものかどうかということについて一般的な同意を得ることは難しいが、いくつかの例がしばしば引用される。そのひとつは[[オイラーの等式]]、

:<math> e^{i \pi} + 1 = 0</math>

であり、一見無関係であると思われていた[[ネイピア数]] (自然対数の底) '''''e''''', [[虚数単位]] '''''i''''', [[円周率]] '''&pi;''' の間に[[乗法単位元]]の '''1''' と[[吸収元|乗法零元]] ([[加法単位元]]) の '''0''' のみを用いた単純な関係を与えた。[[アメリカ]]の[[物理学者]][[リチャード・ファインマン]]はこの等式を「数学において最も特筆すべき式」(''The most remarkable formula in mathematics'') と称した。

現代的な例では、[[楕円曲線]]と[[モジュラー形式]]の間の重要な関連性を見出した[[谷山・志村予想]]がある。[[アンドリュー・ワイルズ]]とその弟子[[ブライアン・コンラッド]]等はこの予想を肯定的に証明し、'''モジュラー性定理'''を確立した。モジュラー性定理はその帰結の一つとして[[フェルマーの最終定理]]を肯定的に解決し、ワイルズは[[ロバート・ラングランズ]]と共に[[ウルフ賞数学部門]]を受賞した。また、[[モンスター群]] ([[:en:Monster group|en]]) を[[モジュラー関数]]に[[弦理論]]を通して結びつける[[モンストラス・ムーンシャイン]]は[[リチャード・ボーチャーズ]]に[[フィールズ賞]]をもたらした。

ここでの'''深遠'''という言葉の対義語として'''自明'''を使用する。自明な方法は、他の既知の結果から明白あるいは簡単な方法で演繹できるような結果であるかも知れないし、空集合のように特定の対象の特定の集合にだけ適用できるものかも知れない。しかしながらしばしば、定理の記述の文章は、その証明がかなり明白であっても'''深い'''洞察をするのに十分に独自的であるかも知れない。

イギリスの数学者[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ]]は彼の随筆である『[[ある数学者の生涯と弁明]]』で、数学的な美は驚愕の一要素から生じると示唆している。それに対してアメリカの数学者・哲学者である[[ジャン＝カルロ・ロタ]] ([[:en:Gian-Carlo Rota<!-- [[:ja:ジャン・カルロ・ロタ]] とリンク -->|en]]) は同意せず、次のような反例を提示している。
:「数学の偉大な多くの定理はそれが最初に出版されたときに驚愕される。従って例えば20年余り前 (1977年当時) の、高次元の超球における[[エキゾチック球面]] (異種球面、[[:en:Exotic sphere|en]]) の存在の証明は驚愕すべきものと考えられたが、現在ではその結論が美しいとは誰にも言わせるものではない。」<ref>{{Harvard citations|last = Rota|year = 1977|loc = p. 172}}</ref>

それに対してはおそらく皮肉にも、[[Michael Monastyrsky]]<ref>{{Harvard citations|last = M. I. Monastyrsky|year = 2001|txt = yes}}</ref>は次のように記している。
:「7次元超球における異なる微分構造に関する[[ジョン・ウィラード・ミルナー]]の美しい構成についてはそれ以前では類似の発見を探すことは大変に困難であり、... ミルナーのオリジナルの証明はそれほど構成的ではないが、後に[[E. ブリスコーン]]はそのような微分構造は究極的に明示的で美しい形で記述できることを示した。」
この反対意見は数学的な美しさの主観的な要素とその数学的な結論の関連性の両方、すなわちこの場合はエキゾチック球面の存在性のみではなくそれらの具体的な実現手段をも表現している。

==経験の美==

[[数]]と[[記号]]の操作から生じるある種の歓喜は、あらゆる数学の研究のために必要なものである。[[科学における哲学|科学哲学]]でそうであったように、[[科学]]や[[工学]]に数学が道具として与えられると、他に例がなくとも技術化社会は[[美学]]を積極的に培うだろう。

大半の数学者での'''数学的な美'''の顕著な経験は、能動的な数学の研究活動からもたらされる。受動的な方法で数学の喜びを楽しむことは大変に難しく、特に数学では、見物人、視聴者、傍観者の立場ではそのような経験をすることはないだろうとされている<ref>{{cite book|last=Phillips|first=George|title=Mathematics Is Not a Spectator Sport|publisher=[[:en:Springer Science+Business Media<!-- [[:ja:シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア]] とリンク -->]]|date=2005|chapter=Preface|isbn=0387255281|url=https://books.google.co.jp/books?id=psFwdN6V6icC&pg=PR7&lpg=PR7&dq=there+is+nothing+in+the+world+of+mathematics+that+corresponds+to+an+audience+in+a+concert+hall,+where+the+passive+listen+to+the+active.+Happily,+mathematicians+are+all+doers,+not+spectators.&source=web&ots=GBNplD5Kl9&sig=k3_W0DQ5LM7UCD_6Xw7RBdYuSto&hl=en&sa=X&oi=book_result&ct=result&redir_esc=y|accessdate=2008-08-22|quote=「演奏を受動的に聴くコンサートホールの聴衆の歓喜に対応するものは数学の世界ではない。幸運なことに数学者は全て能動的であり、観客ではない。」}}</ref>。[[バートランド・ラッセル]]はこのことを数学の'''厳しい美'''と称している。

==美からの再発見==

数学的な美は、その美という結果のみで評することはできない。数学的な美を追求することは新たなる事実の発見の切っ掛けとなることは珍しいことではない。物理学者[[ポール・ディラック]]は科学者のとるべき行動についてこう述べている<ref>Paul Adrian Maurice Dirac, "The relation between mathematics and physics (James Scott Prize Lecture)," Proc. Roy. Soc. (Edinburgh), Vol. 59, pp. 122-129, 1939. </ref>。
:「数学的な美を持つ理論は実験的データに適合する見苦しい理論よりももっと確からしい。神は最高次の数学者であり、森羅万象を創造するために非常に高度な数学を用いた。」
つまり、このような二者択一を迫られたときには数学的な美を持つ理論を選択せよ、さすればそれは神が創造した真理に近づき、新たな真理の発見に繋がる、という訓示である。

==美と哲学==
[[Image:Kepler-solar-system-1.png|250px| thumb | '''哲学的解釈による美'''の一例: [[ヨハネス・ケプラー]]初期の多面体太陽系モデル。]]
[[Image:Kepler-solar-system-2.png|250px| thumb | 多面体太陽系モデルでの太陽の近傍。]]

数学者の何割かは数学という学問でなされることは「発明」より「発見」に近いという意見を持っている。そのような数学者は詳細で正確な数学の結論は現世には依存することのない、普遍の真理として扱われるものと考えている。例えば、[[自然数]]の理論は特定の前提を必要とすることなく、普遍的にとして有効であることに意義は唱えない。あるケースが[[神秘主義]]になっても、数学者は数学的な美は真理であるという観点を延長する。

[[ピタゴラス]]そして[[ピタゴラス派]]の哲学学校は文字通りの数に関する真実性を信じていた。二つの[[自然数]]の比として表現できない数の存在は自然に背くことだと考えていた彼らにとって[[無理数]]の存在の発見は大きなショックであった。現代の見方ではピタゴラスの数に関する神秘的な扱いは数学者によるものというよりは[[数秘術者]]による扱いであると考えられている。ピタゴラスの不十分に洗練された世界で欠如していたものは自然数の比の無限数列の極限、すなわち現代の[[実数]]に関する概念である。

[[プラトン]]の哲学では二つの世界、すなわち我々が住む物理的世界、そして数学を含む普遍の真理を持つ概念的世界、がある。彼は物理的世界はさらに完全な概念世界の単なる投影像であると信じていた。

[[ガリレオ・ガリレイ]]は全ての現代物理学の数学的基盤と整合する一文として「数学は神が創造した世界を設計するために用いた言語である」と主張した。

[[ハンガリー]]の数学者、[[ポール・エルデシュ]]は無神論者ではあるが、「神が最も美しい数学的証明を書き下した想像の書籍がある」と考えている。エルデシュが個別の証明の評価を要求されたとき、「その神の書籍が根拠だ! ([[:en:Proofs from THE BOOK|from The Book]]!)」と絶叫した。この世を神が創造したときの法則に関する根源的な真実の発見として、数学は[[神]]という異なる宗教において擬人化されたものの自然な候補である。

20世紀のフランスの哲学者[[アラン・バディウ]]は[[オントロジー]]は数学であると主張する。バティウは数学、詩、そして哲学の間の深いつながりを信じている。

いくらかのケースでは自然哲学者と数学を繁用する他の科学者は、美と物理的真実の間の飛躍的な予想を作ったが、真実でないことが明らかになったものもある。例えば、[[ヨハネス・ケプラー]]は彼の生涯において、当時知られていた[[太陽系]]の惑星の軌道の均衡性は、5個の[[正多面体|プラトン立体]]の配列から神が構成し、それぞれの軌道はひとつの多面体に外接かつ別の多面体に内接する球上にある、と信じていた。プラトン立体は確かに5個あり、ケプラーの仮説は6個の惑星軌道のみに適合するものであり、後の[[天王星]]の発見によって否定される。

[[数学の哲学#数学の美学|数学の哲学]]も参照。

==美と数理情報理論==
[[Image:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|right|260px|thumb|可視化された'''潜在的な美'''の一例: [[フラクタル]]性を持つ[[マンデルブロ集合]]の全体像の可視化。]]

1970年代、[[アブラハム・モレス]]と[[フリーダー・ネイク]]は美と[[情報処理]]、[[情報理論]]の間の関係を調査した<ref>[[:en:Abraham Moles|A. Moles]]: ''Théorie de l'information et perception esthétique'', Paris, Denoël, 1973 ([[:en:Information Theory]] and aesthetical perception)</ref><ref>[[:en:Frieder Nake|F Nake]] (1974). Ästhetik als Informationsverarbeitung. ([[:en:Aesthetics]] as [[:en:information processing]]). Grundlagen und Anwendungen der Informatik im Bereich ästhetischer Produktion und Kritik. Springer, 1974, ISBN 3211812164, ISBN 9783211812167</ref>。
1990年代では、[[ユージン・シュミットフーベル]]は[[アルゴリズム的情報理論]]に基づく観察者依存の主観的な美に関する数学的理論を定式化し、主観的に拮抗した対象間での最も美しいものはその観測者が持つ事前知識に関連する短い[[アルゴリズム]]表現を持つとした<ref>[[:en:Jürgen Schmidhuber|J. Schmidhuber]]. [[:en:Low-complexity art]]. Leonardo, Journal of the International Society for the Arts, Sciences, and Technology, 30(2):97–103, 1997. http://www.jstor.org/pss/1576418 </ref><ref>[[:en:Jürgen Schmidhuber|J. Schmidhuber]]. Papers on the theory of beauty and [[:en:low-complexity art]] since 1994: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html </ref><ref>[[:en:Jürgen Schmidhuber|J. Schmidhuber]]. Simple Algorithmic Principles of Discovery, Subjective Beauty, Selective Attention, Curiosity & Creativity. Proc. 10th Intl. Conf. on Discovery Science (DS 2007) p. 26-38, LNAI 4755, Springer, 2007. Also in Proc. 18th Intl. Conf. on Algorithmic Learning Theory (ALT 2007) p. 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Joint invited lecture for DS 2007 and ALT 2007, Sendai, Japan, 2007. https://arxiv.org/abs/0709.0674 </ref>。
シュミッドフーベルは美と興味を明示的に区別している。

後者の興味は主観的に知覚した美の[[微分|一階微分]]に対応し、観測者は反復、[[対称性]]、[[フラクタル]][[自己相似]]性のような秩序の発見による観測結果の[[推測性]]と[[圧縮性]]を改良し続けている。継続観測事象がかつて無かったような小量の[[情報量]]で記述できるように、観測者の学習過程 (人工[[ニューラルネットワーク|神経回路網]]の予測のような) が改良データ圧縮をもたらす度に、圧縮過程に対応するデータへの一時的な興味をもたらし、観測者に内在する好奇的な報酬に比例する<ref>[[Jürgen Schmidhuber|J. Schmidhuber]]. Curious model-building control systems. International Joint Conference on Neural Networks, Singapore, vol 2, 1458–1463. IEEE press, 1991</ref><ref>Schmidhuber's theory of beauty and curiosity in a German TV show: {{Cite web |url=http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml |title=アーカイブされたコピー |accessdate=2008-06-03 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080603221058/http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml |archivedate=2008-06-03 |url-status=dead|url-status-date=2017-10 }} </ref>。

例えば、複素数列の極限の存在・発散性の問題は古くから議論されていたが、膨大な計算量を必要とするその全容解明には[[コンピュータ]]の計算速度の発達を待つ必要が有った。特に[[ブノワ・マンデルブロ]]はある種の複素数列でのこの問題の挙動について研究し、[[フラクタル]]性・[[自己相似]]性といわれる非常に奇妙な振る舞いを持つ[[マンデルブロ集合]]を発見した。[[フラクタル]][[幾何学]]や[[カオス理論]]を題材としたこのような視覚化映像は、数学と[[計算機科学]]・[[数理情報理論]]の競演による、数学が持つ'''潜在的な美'''の可視化であるといえる。これは次節で述べる[[デジタルアート]]の発展の引き金のひとつとなるとともに、直接的ではないにしても数理情報理論、特に情報圧縮の進展への刺激となったことは特筆できる。

==日本において==
日本においては、[[数学セミナー#エレガントな解答をもとむ|専門誌『数学セミナー』の「エレガントな解答をもとむ」というコーナー]]が長期にわたって「エレガントな解」（「美」と似た概念と言えるであろう）を扱っている。

==数学と芸術==
{{listen|filename=DescenteInfinie.ogg|title=シェパードトーン (無限音階) の例|description=|format=[[:en:Ogg<!-- [[:ja:Ogg]] とリンク -->]]}}
[[File:Aphrodite_of_Milos.jpg|260px|thumb|黄金比が見出されるとされる[[ミロのヴィーナス]]]]
[[File:Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|260px|thumb|'''表現の美'''の一例: [[ジュリア集合]]]]

数学における[[美学]]の[[心理]]は、[[統合心理学]] ([[:en:psychosynthesis|en]]) における[[ピエロ・フェルッチ]] ([[:en:Piero Ferrucci|en]]) の業績である[[精神解析学]]以後の手法、[[認知心理学]] ( [[シェパードトーン]] (無限音階, [[:en:Shepard tones|en]]) における[[自己相似]]を用いた[[錯覚]]の研究) 、美学的評価の[[神経心理学]]、などとして研究されている。これらは単に数学の芸術への応用としてのみではなく、数学の持つ美を見える・聞こえる・感じる、といった方法による表現、すなわち'''表現の美'''をもたらす。なお、これらは単に数学を利用した芸術として扱うべきものではなく、数学の深層美がそこに存在することが重要であろう。いくつかの芸術分野での数学的な美の例を以下に示す。

;音楽
[[ヤニス・クセナキス]] の[[確率的音楽]]、[[ヨハン・ゼバスティアン・バッハ]]の[[対位法]]、 [[イーゴリ・ストラヴィンスキー]]の[[春の祭典]]のような[[ポリリズム]]的構造、[[エリオット・カーター]]の[[:en:Metric modulation|Metric modulation]]、[[アルノルト・シェーンベルク]]の[[十二音技法]]での[[順列]]、そして[[カールハインツ・シュトックハウゼン]]の [[:en:Hymnen|Hymnen]] でのシェパードトーンの応用など。

;美術
美術のなかでの顕著な一例は[[黄金比]]である。美術作品での対象物の形、構図、などにおいて安定性のひとつの根拠として用いられている。これが数学的な定義による黄金比の輸入によるものであるにしろ、結果として美術作品から黄金比が見いだされたものであるにしろ、数学と美術の関連性を示す有意な例である。このような安定性を与える他の例として[[白銀比]]、[[フィボナッチ数]]がある。

;ビジュアルアート
[[カオス理論]]と[[フラクタル]][[幾何学]]の[[デジタルアート]]への応用、[[レオナルド・ダ・ビンチ]]の[[対称性]]の研究、[[ルネサンス]]美術の[[遠近法]]の開発における[[射影幾何学]]、[[オプ・アート]]での[[格子]]模様、[[ジャンバッティスタ・デッラ・ポルタ]]の[[カメラオブスキュラ]]での光幾何学、解析的な[[立体派]]と[[未来派]]など。

==関連項目==
*[[叙述的科学]] ([[:en:Descriptive science|en]])
*[[規範的科学]]
*[[数学の哲学]]
*[[数学と建築]]
*[[審美]]
*[[美学]]
*[[芸術]]
*[[ヒューリスティクス]]
*[[黄金比]]
*[[白銀比]]
*[[四色定理]]（「美しくない証明」で有名な定理）
*[[美学会]] 
*[[芸術学]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

==参考文献==
*[[:en:Martin Aigner|Aigner, Martin]], and [[:en:Gunter M. Ziegler|Ziegler, Gunter M.]] (2003), ''[[:en:Proofs from THE BOOK]],'' 3rd edition, Springer-Verlag.

*[[:en:Subrahmanyan Chandrasekhar<!-- [[:ja:スブラマニアン・チャンドラセカール]] とリンク -->|Chandrasekhar, Subrahmanyan]] (1987), ''Truth and Beauty: Aesthetics and Motivations in Science,'' University of Chicago Press, Chicago, IL.

*[[:en:Jacques Hadamard<!-- [[:ja:ジャック・アダマール]] とリンク -->|Hadamard, Jacques]] (1949), ''The Psychology of Invention in the Mathematical Field,'' 1st edition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2nd edition, 1949. Reprinted, Dover Publications, New York, NY, 1954.

*[[:en:G.H. Hardy|Hardy, G.H.]] (1940), ''A Mathematician's Apology'', 1st published, 1940. Reprinted, [[:en:C.P. Snow<!-- リダイレクト先の「[[:en:C. P. Snow]]」は、[[:ja:チャールズ・パーシー・スノー]] とリンク -->]] (foreword), 1967. Reprinted, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.

*[[:en:Paul Hoffman (science writer)|Hoffman, Paul]] (1992), ''[[:en:The Man Who Loved Only Numbers]]'', Hyperion.

*[[:en:H.E. Huntley<!-- 存在しない -->|Huntley, H.E.]] (1970), ''The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty'', Dover Publications, New York, NY.

*[[:en:Elisha Scott Loomis|Loomis, Elisha Scott]] (1968), ''The Pythagorean Proposition'', The National Council of Teachers of Mathematics. Contains 365 proofs of the Pythagorean Theorem.

*[[:en:H.-O. Peitgen<!-- 存在しない -->|Peitgen, H.-O.]], and [[:en:P.H. Richter<!-- 存在しない -->|Richter, P.H.]] (1986), ''The Beauty of Fractals'', Springer-Verlag.

*Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), ''Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras'', Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.

*{{citation
| last = Rota
| first = Gian-Carlo
| author-link = Gian-Carlo Rota
| title = The phenomenology of mathematical beauty
| year = 1977
| journal = Synthese
| volume = 111
| issue = 2
| pages = 171&ndash;182
| doi = 10.1023/A:1004930722234
}}
*{{citation
| last1 = Monastyrsky
| first1 = Michael
| title = Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal
| journal = Can. Math. Soc. Notes
| year = 2001
| volume = 33
| issue = 2 and 3
| url = http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf
}}

==外部リンク==
*[http://www.cut-the-knot.org/manifesto/beauty.shtml Is Mathematics Beautiful?] {{en icon}}
*[https://web.archive.org/web/20061101224549/http://www.madras.fife.sch.uk/maths/linksbeauty.html Links Concerning Beauty and Mathematics] {{en icon}}
*[http://www.chemistrycoach.com/science_mathematics_and_beauty.htm Mathematics and Beauty] {{en icon}}
*[https://web.archive.org/web/20031004103933/http://users.forthnet.gr/ath/kimon/ The Beauty of Mathematics] {{en icon}}
*[http://www.justinmullins.com/ Justin Mullins] {{en icon}}
*[http://www.the-athenaeum.org/poetry/detail.php?id=80 Edna St. Vincent Millay (poet): ''Euclid alone has looked on beauty bare''] {{en icon}}
*[http://creativelab.org.ua/eng/index_eng.htm The method for transformation of music into an image through numbers and geometrical proportions] {{en icon}}
*[[:en:Terence Tao<!-- [[:ja:テレンス・タオ]] とリンク -->|Terence Tao]], [http://arxiv.org/pdf/math/0702396.pdf ''What is good mathematics?''] {{en icon}}

{{数学}}

{{DEFAULTSORT:すうかくてきなひ}}
[[Category:数学的思考]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:美学]]
[[Category:美]]
[[Category:数学と文化]]