数式のソースを表示

{{WikipediaPage|ウィキペディアの記事に数式を執筆する方法については、[[mw:|MediaWiki]]内の[[mw:Extension:Math/Syntax/ja|Extension:Math/構文]]を、その表示設定については[[Help:個人設定#数式]]を、記事のソース内で数式を計算する方法については、[[Help:条件文#expr]]をご覧ください。}}
[[ファイル:EulerianPolynomialsByEuler1755.png|サムネイル|260px|[[オイラー]]が1755年に書いた数式]]
[[数学]]における{{読み仮名_ruby不使用|'''数式'''|すうしき|{{en|mathematical expression}}、{{lang|en|mathematical formula}}}}は、[[数]]・[[演算 (数学)|演算記号]]・[[変数 (数学)|不定元]]などの[[数学]]的な[[文字]]・[[記号]]（および[[約物]]）が一定の[[推論規則|規則]]にのっとって結合された、[[文字列]]である。

== 構文と意味 ==
一般に数式には、その'''値'''（{{lang-en-short|value}}）が定められており、数式はその値を表現すると考えられている。数式の値の'''評価'''（{{lang-en-short|evaluation}}）は、その数式に用いられる記号の定義あるいは値によって決まる。すなわち、数式はそれが現れる[[文脈]]に完全に依存した形で決まる。

=== {{vanc|構文論|シンタックス|syntax}} ===
{{Main|統語論 (論理学)}}

各数式は構文論（シンタックス）的に構築され、[[well-formed formula|正しく並べられた]]（well-formed: 整形の）ものでなければならない。それはつまり、使用が許された[[演算 (数学)|演算]]は、正しい場所に正しい数の引数を持ち、それら引数を構成する文字列は有効かつ[[演算の優先順位|演算の順番]]が明確であるようになっていなければならない、などを意味する。与えられた記号からなる文字列が構文規則に違反するということは、それは正しく並んでおらず数式として有効ではないということになる。

例えば、通常の[[算術]]において式『{{math|1 + 2 × 3}}』は正しく並んでいるが『{{math|&times; 4)''x'' + , / ''y''}}』は有効な式ではない。

===意味論===
{{Main|意味論 (論理学)|形式意味論}}

数式にそれが表す意味を与えることを研究するのが意味論（セマンティクス）である。形式的意味論は、構文論的に正しい文字列として形式的に与えられる数式に、形式的に意味を付与する。

[[代数学]]において数式は「値」を指定することに利用できる（値はその式に現れる[[変数 (数学)|変数]]に割り当てられた値に依存してよい）。この「値」を決定する問題は、数式を構成する各記号に割り当てられた[[意味論 (論理学)|意味論]]に依って異なり、意味論の選択はその数式が属している文脈に依存して決まる。例えば、構文論的には同じ式『{{math|1 + 2 &times; 3}}』でも、[[演算の優先順位]]が文脈によって異なれば、異なる値（この場合、{{math|7}} かもしれないし {{math|9}} かもしれない）を持ち得る。

このような意味論規則の中に、どのような値も持たないある種の数式（例えば、[[零除算]]を含む式）を宣言することは可能である（そのような式は「値が定義されない」とはいえ、それでもなお正しく並べられた式であることに変わりはない）。一般には、数式の意味は「指定された値」に制限されるものではない。例えば、その数式は条件を指定するものであるかもしれないし、それは解かれるべき[[方程式]]であるかもしれないし、あるいは数式それ自体を[[推論規則|ある種の規則]]によって操作可能な数学的対象と見なすことだってできる。ある種の数式では、それが値を指定するものであると同時にそれが持つと仮定された条件をも表すということも起きる（例えば、演算子 {{math|&oplus;}} を含む数式が、[[直和]]という演算を施すこととその演算を施した結果として得られる対象を同時に表している、というようなこと）。

===形式言語とラムダ計算===
{{Main|形式言語|λ計算}}
形式言語によって、正しい数式（{{lang-en-short|well-formed expression}}）の概念を[[形式体系|形式化]]することができるようになる。

[[1930年代]]に「[[λ式]]」と呼ばれる新たな種類の数式が、[[アロンゾ・チャーチ]]および[[スティーヴン・クレイニ]]により、[[函数]]とその評価を定式化するために導入された。λ式は[[λ計算]]&mdash;[[数理論理学]]および{{仮リンク|プログラミング言語理論|en|Programming language theory}}において用いられる[[形式体系]]&mdash;の基礎を成している。

任意の二つのラムダ式に対して'''同値性'''判定を行うことは[[決定問題|決定不可能な問題]]である。実数を表現する数式に対する（つまり、整数から始めて四則演算や指数対数を用いて実数を構成する）場合もである（{{仮リンク|リチャードソンの定理|en|Richardson's theorem}}）。

== 変数 ==
{{main|独立変数と従属変数|自由変数と束縛変数}}
数式には{{読み仮名_ruby不使用|'''独立変数'''|どくりつへんすう|{{lang-en-short|independent variable}}}}、{{読み仮名_ruby不使用|'''自由変数'''|じゆうへんすう|{{lang-en-short|free variable}}}}あるいは{{読み仮名_ruby不使用|[[不定元]]|ふていげん|{{lang-en-short|indeterminate}}}}と呼ばれる、その数式自体の中では値を持たないような記号を含むものもある。独立変数の評価は数式を含む文脈から外因的に与えられる。対して{{読み仮名_ruby不使用|'''従属変数'''|じゅうぞくへんすう|{{lang-en-short|dependent variable}}}}または{{読み仮名_ruby不使用|'''束縛変数'''|そくばくへんすう|{{lang-en-short|bound variable}}}}と呼ばれる記号はその評価が特定の独立変数に結び付けられており、その対応する独立変数の評価が行われ値が決定されるごとに、従属変数自身の評価が同時に（従属的に）行われる。

[[回帰分析]]などにおいては、モデルの独立変数を{{読み仮名_ruby不使用|'''説明変数''' |せつめいへんすう|{{lang-en-short|explanatory variable}}}}と呼び、従属変数を{{読み仮名_ruby不使用|'''応答変数'''|おうとうへんすう|{{lang-en-short|response variable}}、{{lang|en|responding variable}}}}とか{{読み仮名_ruby不使用|'''目的変数'''|もくてきへんすう|{{lang-en-short|target variable}}}}<ref group="注">目的変数という語はしばしば『{{lang|en|response variable}}』の訳語として用いられる。また、目的変数に対応する語として『{{lang|en|objective variable}}』という語があてられることもある。</ref>などと呼ぶ。[[確率論]]や[[統計学]]の分野では[[確率論的独立性|確率変数の独立性]]などについて「独立」という言葉を多く用いるため、誤解を避けるため独立変数という言葉はあまり用いられない（説明変数は確率論の意味で独立でなくてよい）。

== 数式の種類 ==
{{Mathematical expressions}}
=== 代数式と超越式 ===
代数式とは加減乗除冪根の6種類の符号によって連結されている数式をいい、それ以外の式を超越式という<ref name="shinsyu">『新修百科辞典』 p.1286 三省堂 1934年</ref>。代数式には有理式と無理式がある<ref name="electric">紙田公 著『改訂2版 電験2種電気数学』 p.7 電気書院 2013年</ref>。
* 代数式
** 有理式 - 根号を含まない代数式<ref name="shinsyu" />
*** 整式（有理整式） - 文字の分母を含まない式<ref name="shinsyu" />
**** 単項式（<math>-3x^3y^2</math>など）
**** 多項式（<math>2-a</math>や<math>x^3-y</math>など）
*** 分数式 - 文字の分母を含む式<ref name="shinsyu" />（<math>\frac{1}{2x-1}</math>など）
** 無理式 - 根号を含む代数式<ref name="shinsyu" />（<math>\sqrt{x+1}</math>など）
* 超越式

=== 関係式 ===
関係式には等式と不等式がある<ref name="electric" />。
* [[等式]]
** [[恒等式]] - 文字にどのような数値を入れても成り立つ式<ref name="electric" />
** [[方程式]] - 文字に特定の数値を入れたときにだけ成り立つ式<ref name="electric" />
* [[不等式]]
** 絶対不等式
** 条件付不等式

=== その他の分類 ===
* 完全平方式 - 整数の平方に変換することができる式<ref name="electric" />
* 対称式 - 前後の文字を入れ替えても同じ式となる式（<math>a+b</math>や<math>ab</math>など）<ref name="electric" />
* 交代式 - 前後の文字を入れ替えると符号が変化する式（<math>a-b</math>や<math>a^2-b^2</math>など）<ref name="electric" />

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}
== 参考文献 ==

== 関連項目 ==
* [[公式]]
* [[数学記号の表]]
* [[数式エディタ]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Expression|title=Expression}}
* {{PlanetMath|urlname=expression|title=expression}}
*

{{DEFAULTSORT:すうしき}}
[[Category:数式|*]]
[[Category:論理式]]
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:数学に関する記事]]