数論力学のソースを表示

{{要改訳}}
'''数論力学'''（すうろんりきがく、{{lang-en-short|Arithmetic dynamics}}<ref>
{{cite book | author=J.H. Silverman | title=The Arithmetic of Dynamical Systems  | url=http://www.math.brown.edu/~jhs/ADSHome.html | publisher=Springer | year=2007 | isbn=978-0-387-69903-5}}</ref>）は、数学における[[力学系]]と[[数論]]という二つの領域を融合した分野である。
<!--'''Arithmetic dynamics'''<ref>
{{cite book | author=J.H. Silverman | title=The Arithmetic of Dynamical Systems  | url=http://www.math.brown.edu/~jhs/ADSHome.html | publisher=Springer | year=2007 | isbn=978-0-387-69903-5}}</ref>
is a field that amalgamates two areas of mathematics, [[dynamical systems]] and [[number theory]].-->

離散力学とは、古典的には[[複素平面]]や[[直線|実直線]]の自己写像の[[反復合成写像|反復合成]]の研究のことである。数論力学は、[[多項式]]や[[有理函数]]の繰り返しの適用の下で、整数点、[[有理点]]、{{mvar|p}}-進点、あるいは、代数的点の数論的な性質を研究することである。数論力学の基本的な目標は、数論的な性質をその基礎にある幾何学的な構造のことばで記述することにある。
<!--Classically, discrete dynamics refers to the study of the [[Iterated function|iteration]] of self-maps of the [[complex plane]] or [[real line]]. Arithmetic dynamics is the study of the number-theoretic properties of [[integer point|integer]], [[rational point|rational]], {{math|<var>p</var>}}-adic, and/or algebraic points under repeated application of a [[polynomial]] or [[rational function]]. A fundamental goal is to describe arithmetic properties in terms of underlying geometric structures.-->

'''大域的数論力学'''（たいいきてきすうろんりきがく、{{lang-en-short|Global arithmetic dynamics}}）とは、離散力学系における古典的な[[ディオファントス方程式|ディオファントス幾何学]]に類似した幾何学的構造の研究のことであるが、一方、'''局所的数論力学'''（きょくしょてきすうろんりきがく、{{lang-en-short|local arithmetic dynamics}}）は、{{mvar|p}}-進力学、あるいは{{仮リンク|非アルキメデス的力学|en|p-adic dynamics}}とも呼ばれ、複素数 '''C''' を [[p-進数|'''Q'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub>]]や '''C'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub> に置き換えた古典力学の類似物で、カオス的振る舞いや[[ファトゥ集合]]や[[ジュリア集合]]を研究する。
<!--''Global arithmetic dynamics'' refers to the study of analogues of classical [[Diophantine equations|Diophantine geometry]]  in the setting of discrete dynamical systems, while ''local arithmetic dynamics'', also called [[p-adic dynamics|p-adic or nonarchimedean dynamics]], is an analogue of classical dynamics in which
one replaces the complex numbers '''C''' by a {{math|<var>p</var>}}-adic field such as [[P-adic number|'''Q'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub>]] or '''C'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub> and studies chaotic behavior and the [[Fatou set|Fatou]] and [[Julia set]]s.-->
次の表は、ディオファントス方程式、特に[[アーベル多様体]]と力学系の大まかな対応を記述したものである。
{|border=1
|+
! ディオファントス方程式 !! 力学系
|-
| 多様体上の有理点や整数点
| 軌道上の有理点や整数点
|-
| アーベル多様体上の有限オーダーの点
| 有理函数の[[周期点]]
|}
<!--The following table describes a rough correspondence between Diophantine equations, especially [[abelian varieties]], and dynamical systems:
{|border=1
|+
! Diophantine equations !! Dynamical systems
|-
| Rational and integer points on a variety
| Rational and integer points in an orbit
|-
| Points of finite order on an abelian variety
| [[periodic point|Preperiodic points]] of a rational function
|}-->

==離散的力学系の定義と記法==
<!--==Definitions and notation from discrete dynamics==-->
集合 {{mvar|S}} に対し、{{math|<var>F</var> : <var>S</var> → <var>S</var>}} を {{mvar|S}} から自分自身への写像とする。自分自身への {{math|<var>F</var>}} の {{math|<var>n</var>}} 回の繰り返しの適用のことを、
:<math>
  F^{(n)} = F \circ F \circ \cdots \circ F.
</math>
と書くこととする。
<!--Let {{math|<var>S</var>}} be a set and let
{{math|<var>F</var>}} : {{math|<var>S</var>}} → {{math|<var>S</var>}} be
a map from {{math|<var>S</var>}} to itself. The iterate of
{{math|<var>F</var>}} with itself {{math|<var>n</var>}} times is denoted
:<math>
  F^{(n)} = F \circ F \circ \cdots \circ F.
</math>-->

点 {{math|<var>P</var> ∈ <var>S</var>}} が'''周期的''' ({{en|periodic}}) とは、ある {{math|<var>n</var> &gt; 1}} が存在して
{{math|<var>F</var><sup>(<var>n</var>)</sup>(<var>P</var>) {{=}} <var>P</var>}} であることを言う。
<!--A point {{math|<var>P</var>}} ∈ {{math|<var>S</var>}} is  ''periodic'' if
{{math|<var>F</var>}}<sup>({{math|<var>n</var>}})</sup>({{math|<var>P</var>}})= {{math|<var>P</var>}} for some {{math|<var>n</var>}} > 1.-->

点が'''前周期的''' ({{en|preperiodic}}) とは、ある {{math|<var>k</var> ≥ 1}} が存在して、{{math|<var>F</var><sup>(<var>k</var>)</sup>(<var>P</var>)}} が周期的であることを言う。
<!--The point is ''preperiodic'' if
{{math|<var>F</var>}}<sup>({{math|<var>k</var>}})</sup>({{math|<var>P</var>}})
is periodic for some {{math|<var>k</var>}} ≥ 1.-->

{{mvar|P}} の（前方の）'''軌道''' ({{en|(forward) orbit of {{mvar|P}}}}) とは、集合
:<math>
  O_F(P) = \bigl\{ P, F(P), F^{(2)}(P), F^{(3)}(P), F^{(4)}(P), \ldots\bigr\}.
</math>
のことを言う。
<!--The (forward) ''orbit of'' {{math|<var>P</var>}} is the set
:<math>
  O_F(P) = \bigl\{ P, F(P), F^{(2)}(P), F^{(3)}(P), F^{(4)}(P), \ldots\bigr\}.
</math>-->

このようにして、{{mvar|P}} が前周期的であることと、その軌道 {{math|<var>O<sub>F</sub></var>(<var>P</var>)}} が有限であることとは同値である。
<!--Thus {{math|<var>P</var>}} is preperiodic if and only if its orbit
{{math|<var>O<sub>F</sub></var>}}({{math|<var>P</var>}}) is finite.-->

==前周期的点の数論的性質==<!--==Number theoretic properties of preperiodic points==-->
{{math|<var>F</var>(<var>x</var>)}} を係数を '''Q''' にもつ少なくとも次数 2 の有理函数とする。ノースコット ({{en|Northcott}}) の定理<ref>
D. G. Northcott. Periodic points on an algebraic variety. ''Ann. of Math. (2)'', 51:167--177, 1950.</ref>は、{{mvar|F}} が有限個の '''Q'''-有理的前周期点、すなわち、{{mvar|F}} が '''P'''<sup>1</sup>('''Q''') に有限個の前周期点しか持たないことを言っている。
<!--Let {{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) be a rational function of degree at least two with coefficients in '''Q'''. A theorem of Northcott<ref>D. G. Northcott. Periodic points on an algebraic variety. ''Ann. of Math. (2)'', 51:167--177, 1950.</ref> says that {{math|<var>F</var>}} has only finitely many '''Q'''-rational preperiodic points, i.e., {{math|<var>F</var>}} has only finitely many preperiodic points in '''P'''<sup>1</sup>('''Q''').-->

{{仮リンク|パトリック・モルトン|en|Patrick Morton}} ({{en|Patrick Morton}}) と{{仮リンク|ジョセフ・シルバーマン|en|Joseph Silverman}} ({{en|Joseph Silverman}}) の {{en|Uniform Boundedness Conjecture}}<ref>P. Morton and J. H. Silverman. Rational periodic points of rational functions. ''Internat. Math. Res. Notices'', (2):97--110, 1994.</ref>は、'''P'''<sup>1</sup>('''Q''') の中の {{mvar|F}} の前周期的点の数は、{{mvar|F}} の次数にのみ依存する定数によって境界が決まるという予想である。
<!--The Uniform Boundedness Conjecture<ref>P. Morton and J. H. Silverman. Rational periodic points of rational functions. ''Internat. Math. Res. Notices'', (2):97--110, 1994.</ref>of [[Patrick Morton|Morton]] and [[Joseph Silverman|Silverman]]
says that the number of preperiodic points of {{math|<var>F</var>}} in '''P'''<sup>1</sup>('''Q''') is bounded by a constant that depends only on the degree of {{math|<var>F</var>}}.-->

より一般的に、{{math|<var>F</var> : '''P'''<sup><var>N</var></sup> → '''P'''<sup><var>N</var></sup>}} を数体 {{mvar|K}} 上に定義された少なくとも次数 {{math|2}} の写像とする。ノースコットの定理は、{{mvar|F}} が {{math|'''P'''<sup><var>N</var></sup>(<var>K</var>)}} 内に有限個の前周期的点しか持たないことを言い、一般化された {{en|uniform boundedness conjecture}} は {{math|'''P'''<sup><var>N</var></sup>(<var>K</var>)}} 内の前周期的点の数が、'''Q''' 上の {{mvar|F}} の次数と {{mvar|K}} の次数および {{mvar|N}} によってのみ定まる項によって制限されるという予想である。
<!--More generally, let {{math|<var>F</var>}} : '''P'''<sup>N</sup> → '''P'''<sup>N</sup> be a morphism of degree at least two defined over a number field {{math|<var>K</var>}}. Northcott's theorem says that {{math|<var>F</var>}} has only finitely many preperiodic points in
'''P'''<sup>N</sup>({{math|<var>K</var>}}), and the general Uniform Boundedness Conjecture says that the number of preperiodic points in
'''P'''<sup>{{math|<var>N</var>}}</sup>({{math|<var>K</var>}}) may be bounded solely in terms of {{math|<var>N</var>}}, the degree of {{math|<var>F</var>}}, and the degree of {{math|<var>K</var>}} over '''Q'''.-->

有理数体 '''Q''' 上の二次多項式 {{math|<var>F<sub>c</sub></var>(<var>x</var>) {{=}} <var>x</var><sup>2</sup> + <var>c</var>}} に対しても、{{en|uniform boundedness conjecture}} は証明されていない。これが証明されている場合は、{{math|<var>F<sub>c</sub></var>(<var>x</var>)}} が周期 {{math|4}} の周期点を持たない場合<ref>P. Morton. Arithmetic properties of periodic points of quadratic maps. ''Acta Arith.'', 62(4):343--372, 1992.</ref> 周期 {{math|5}} の周期点<ref>E. V. Flynn, B. Poonen, and E. F. Schaefer. Cycles of quadratic polynomials and rational points on a genus-2 curve. ''Duke Math. J.'', 90(3):435--463, 1997.</ref>と周期 {{math|6}} の周期点<ref>M. Stoll, [https://arxiv.org/abs/0803.2836 Rational 6-cycles under iteration of quadratic polynomials], 2008.</ref>の場合である。ただし、周期 {{math|6}} の結果は[[バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想]]を前提としている。{{仮リンク|ビヨルン・プーネン|en|Bjorn Poonen}} ({{en|Bjorn Poonen}}) は、{{math|<var>F<sub>c</sub></var>(<var>x</var>)}} は {{math|3}} より大きい周期の有理的な周期点は持ちえないことを予想した<ref>B. Poonen. The classification of rational preperiodic points of quadratic  polynomials over '''Q''': a refined conjecture. ''Math. Z.'', 228(1):11--29, 1998.</ref>。
<!--The Uniform Boundedness Conjecture is not known even for quadratic
polynomials {{math|<var>F<sub>c</sub></var>}}({{math|<var>x</var>}}) =
{{math|<var>x</var>}}<sup>2</sup>+{{math|<var>c</var>}} over the
rational numbers '''Q'''. It is known in this case that
{{math|<var>F<sub>c</sub></var>}}({{math|<var>x</var>}}) cannot have
periodic points of period four,
<ref>
P. Morton.
Arithmetic properties of periodic points of quadratic maps.
''Acta Arith.'', 62(4):343--372, 1992.
</ref>
five,<ref>
E. V. Flynn, B. Poonen, and E. F. Schaefer.
Cycles of quadratic polynomials and rational points on a genus-2 curve.
''Duke Math. J.'', 90(3):435--463, 1997.
</ref>
or six,<ref>
M. Stoll, [https://arxiv.org/abs/0803.2836 Rational 6-cycles under iteration of quadratic polynomials], 2008.
</ref>
although the result for period six is contingent on the validity of
the [[Birch Swinnerton-Dyer Conjecture|conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer]]. [[Bjorn Poonen|Poonen]] has conjectured that
{{math|<var>F<sub>c</sub></var>}}({{math|<var>x</var>}}) cannot have
rational periodic points of any period strictly larger than
three.<ref>
B. Poonen.
The classification of rational preperiodic points of quadratic  polynomials over '''Q''': a refined conjecture.
''Math. Z.'', 228(1):11--29, 1998.
</ref>-->

==軌道の整数点==
有理写像の軌道は無限に多くの整数点を持つことがある。例えば、{{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) を整数係数の多項式とし、{{math|<var>a</var>}} を整数とすると、明らかに、全ての軌道 {{math|<var>O</var>}}<sub>{{math|<var>F</var>}}</sub>({{math|<var>a</var>}}) は整数全てからなっている。同様に、{{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) を有理写像、繰り返し {{math|<var>F</var>}}<sup>({{math|<var>n</var>}})</sup>({{math|<var>x</var>}}) を整数係数の多項式とすると、全ての {{math|<var>n</var>}} 番目の軌道の要素は整数である。この現象の例は写像 {{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) =
1/{{math|<var>x<sup>d</sup></var>}} での現象で、2番目の繰り返しは多項式である。このことは、無限個の整数点を含むような軌道は、この方法以外にないことを示している。

'''定理'''<ref>
J. H. Silverman.
Integer points, Diophantine approximation, and iteration of rational maps.
''Duke Math. J.'', 71(3):793-829, 1993.
</ref> {{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) ∈ '''Q'''({{math|<var>x</var>}}) を少なくとも次数 2 の有理函数として、{{math|<var>F</var>}} で多項式であるような繰り返しが存在しないとする<ref>
基本定理は、{{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) &isin; が'''C'''({{math|<var>x</var>}}) であり、ある {{math|<var>F</var>}} の繰り返しが多項式であれば、第二番目の繰り返しは多項式であるという定理
</ref>。 {{math|<var>a</var>}} ∈ '''Q''' とすると、軌道 {{math|<var>O</var>}}<sub>{{math|<var>F</var>}}</sub>({{math|<var>a</var>}}) は有限個の整数しか持たない。
<!--==Integer points in orbits==
The orbit of a rational map may contain infinitely many integers. For
example, if {{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) is a
polynomial with integer coefficients and if {{math|<var>a</var>}} is
an integer, then it is clear that the entire orbit
{{math|<var>O</var>}}<sub>{{math|<var>F</var>}}</sub>({{math|<var>a</var>}})
consists of integers. Similarly, if
{{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) is a rational map and
some iterate
{{math|<var>F</var>}}<sup>({{math|<var>n</var>}})</sup>({{math|<var>x</var>}})
is a polynomial with integer coefficients, then every {{math|<var>n</var>}}th entry
in the orbit is an integer. An example of this phenomenon is the map
{{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) =
1/{{math|<var>x<sup>d</sup></var>}}, whose second iterate is a polynomial.
It turns out that this is the only way that an orbit can contain
infinitely many integers.

'''Theorem'''<ref>
J. H. Silverman.
Integer points, Diophantine approximation, and iteration of rational maps.
''Duke Math. J.'', 71(3):793-829, 1993.
</ref>
Let {{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) ∈
'''Q'''({{math|<var>x</var>}}) be a rational function of degree at
least two, and assume that no iterate<ref>
An elementary theorem says that if
{{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) &isin;
'''C'''({{math|<var>x</var>}}) and if some iterate of {{math|<var>F</var>}}
is a polynomial, then already the second iterate is a polynomial.
</ref>
of {{math|<var>F</var>}} is a polynomial. Let
{{math|<var>a</var>}} ∈ '''Q'''. Then the orbit
{{math|<var>O</var>}}<sub>{{math|<var>F</var>}}</sub>({{math|<var>a</var>}})
contains only finitely many integers.-->

==部分多様体上にある力学的に定義された点==
{{仮リンク|張寿武|en|Shouwu Zhang}}(Shouwu Zhang)他による一般的な予想は<ref>
S.-W. Zhang, Distributions in algebraic dynamics,
''Differential Geometry: A Tribute to Professor S.-S. Chern'', ''Surv. Differ. Geom.'', Vol. X, Int. Press, Boston, MA, 2006, pages 381&ndash;430.
</ref>、無限に多くの周期点を持つ部分多様体や、無限に多くの軌道と交叉する部分多様体を扱っている。これらは、それぞれ、レイノーにより証明された[[アーベル多様体の数論#マーニン・マンフォードの予想|マーニン・マンフォード予想]]と、[[ゲルト・ファルティングス]](Gerd Faltings)により証明された[[ファルティングスの定理#モーデル・ラング予想|モーデル・ラングの予想]]の力学的類似物となっている。次の予想は、部分多様体が曲線の場合の一般論の説明である。

'''予想''' {{math|<var>F</var>}} : '''P'''<sup>N</sup> → '''P'''<sup>N</sup> を写像とし、{{math|<var>C</var>}} ⊂ '''P'''<sup>N</sup> を既約な代数曲線とする。次のどちらかが正しいとする。
<BR>
(a)  {{math|<var>C</var>}} は無限個の {{math|<var>F</var>}} の周期点をもっている。
<BR>
(b)  点 {{math|<var>P</var>}} ∈ '''P'''<sup>N</sup> が存在し、{{math|<var>C</var>}} は軌道 {{math|<var>O<sub>F</sub></var>}}( {{math|<var>P</var>}}) の中に無限個の点を持つ。
<BR>
すると、{{math|<var>C</var>}} は {{math|<var>F</var>}} に対し周期点を持つ。この意味は、{{math|<var>C</var>}} を自分自身へ写す写像 {{math|<var>F</var>}} の繰り返しが存在するという意味である。
<!--==Dynamically defined points lying on subvarieties==
There are general conjectures due to [[Shouwu Zhang]]<ref>
S.-W. Zhang, Distributions in algebraic dynamics,
''Differential Geometry: A Tribute to Professor S.-S. Chern'', ''Surv. Differ. Geom.'', Vol. X, Int. Press, Boston, MA, 2006, pages 381&ndash;430.
</ref>
and others concerning subvarieties that contain infinitely many periodic
points or that intersect an orbit in infinitely many points. These are
dynamical analogues of, respectively,  the [[Manin-Munford conjecture|Manin&ndash;Mumford conjecture]], proven by Raynaud,
and the [[Faltings' theorem|Mordell&ndash;Lang conjecture]], proven by [[Gerd Faltings|Faltings]].
The following conjectures illustrate the general theory in the case that the subvariety is a curve.

'''Conjecture'''
Let {{math|<var>F</var>}} : '''P'''<sup>N</sup> → '''P'''<sup>N</sup> be a morphism and let
{{math|<var>C</var>}} ⊂ '''P'''<sup>N</sup> be an irreducible algebraic curve. Suppose
that either of the following is true:
<BR>
(a)  {{math|<var>C</var>}} contains infinitely many points that are periodic points of  {{math|<var>F</var>}}.
<BR>
(b)  There is a point  {{math|<var>P</var>}} ∈ '''P'''<sup>N</sup> such that
{{math|<var>C</var>}} contains infinitely many points in the orbit  {{math|<var>O<sub>F</sub></var>}}( {{math|<var>P</var>}}).
<BR>
Then  {{math|<var>C</var>}} is periodic for  {{math|<var>F</var>}} in the sense that there is some
iterate  {{math|<var>F</var>}}<sup>({{math|<var>k</var>}})</sup> of  {{math|<var>F</var>}} that maps
{{math|<var>C</var>}} to itself.-->

==p-進力学==
{{仮リンク|p-進力学|label=p-進（非アルキメデス的）力学|en|p-adic dynamics}}({{math|<var>p</var>}}-adic (or nonarchimedean) dynamics)の分野では、非アルキメデス的な付値の観点から完全な体上の古典的力学方程式の研究を行っている。そのような体の例としては、p-進有理数 '''Q'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub> やその代数的な完全化 '''C'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub> がある。{{math|<var>K</var>}} の計量と等連続性の定義により、有理写像 {{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) ∈ {{math|<var>K</var>}}({{math|<var>x</var>}}) のファトゥやジュリア集合の定義を可能となる。複素数と非アルキメデス的な理論の間には多くの共通点があるが、多くの違いもある。最も明確な違いは、非アルキメデス的な設定ではファトゥ集合はいつも空集合であり、ジュリア集合は空かもしれない。このことは、複素数の上では正しいことの逆である。非アルキメデス的力学は{{仮リンク|ベルコビッチ空間|en|Berkovich space}}(Berkovich space)へ拡張され<ref>
R. Rumely and M. Baker,
[https://arxiv.org/pdf/math/0407433 Analysis and dynamics on the Berkovich projective line], ArXiv preprint, 150 pages.
</ref>、ベルコビッチ空間は、全体では不連続な非局所コンパクトな体 '''C'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub> を含むコンパクトな連結空間である。
<!--==''p''-adic dynamics==
The field of [[p-adic dynamics|{{math|<var>p</var>}}-adic (or nonarchimedean) dynamics]] is the study of classical dynamical questions
over a field {{math|<var>K</var>}} that is complete with respect to a nonarchimedean absolute value. Examples of such fields are the
field of {{math|<var>p</var>}}-adic rationals '''Q'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub> and the completion of its algebraic
closure '''C'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub>. The metric on {{math|<var>K</var>}} and the standard definition of equicontinuity leads to the
usual definition of the [[Fatou set|Fatou]] and [[Julia set]]s of a rational map {{math|<var>F</var>}}({{math|<var>x</var>}}) ∈ {{math|<var>K</var>}}({{math|<var>x</var>}}). There are many similarities between the complex and the nonarchimedean theories, but also many differences. A striking difference is that in the nonarchimedean setting, the Fatou set is always nonempty, but the Julia set may be empty. This is the reverse of what is true over the complex numbers. Nonarchimedean dynamics has been extended to [[Berkovich space]],<ref>
R. Rumely and M. Baker,
[https://arxiv.org/pdf/math/0407433 Analysis and dynamics on the Berkovich projective line], ArXiv preprint, 150 pages.
</ref>
which is a compact connected space that contains the totally disconnected non-locally compact field '''C'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub>.-->

==一般化==
'''Q''' や '''Q'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub> が数体や {{math|<var>p</var>}}-進完備化と置き換わるような自然な数論力学の一般化が存在する。もうひとつの自然な一般化が '''P'''<sup>1</sup> や '''P'''<sup>{{math|<var>N</var>}}</sup> の自己写像を他のアフィン多様体 {{math|<var>V</var>}} → {{math|<var>V</var>}} や [[射影多様体]]上の自己写像に置き換えることである。
<!--==Generalizations==
There are natural generalizations of arithmetic dynamics
in which '''Q''' and '''Q'''<sub>{{math|<var>p</var>}}</sub> are
replaced by number fields and their {{math|<var>p</var>}}-adic completions.
Another natural generalization is to replace self-maps of '''P'''<sup>1</sup> or '''P'''<sup>{{math|<var>N</var>}}</sup> with self-maps (morphisms)
{{math|<var>V</var>}} → {{math|<var>V</var>}}
of other affine or [[projective variety|projective varieties]].-->

==数論と力学の交叉する他の領域==
他にも力学系の設定に自然に現れる多くの数論的問題があるの以下に挙げる。

* [[有限体]]上の力学
* '''C'''({{math|<var>x</var>}}) のような[[大域体|函数体]]上の力学
* 形式的 p-進[[べき級数]]の繰り返し
* [[リー群]]上の力学
* [[モジュライ空間]]を力学的に定義する数論的性質
* {{仮リンク|等分配|en|equidistribution}}(equidistribution)<ref>[https://books.google.co.jp/books?id=a4XE8QWc1GUC&redir_esc=y&hl=ja Equidistribution in number theory, an introduction], Andrew Granville, Zeév Rudnick
Springer, 2007, ISBN 978-1-4020-5403-7</ref> と不変[[測度]]、特に、{{math|<var>p</var>}}-進空間上の
* [[ドリンフェルト加群]]上の力学
* 多様体上の有理写像によっては記述することのできない数論的な繰り返し問題、例えば、[[コラッツの問題|コラッツ問題]]
* 実数の数論的展開を基礎とした力学系のシンボリックなコーディング<ref>{{cite book | last=Sidorov | first=Nikita | chapter=Arithmetic dynamics | zbl=1051.37007 | editor1-last=Bezuglyi | editor1-first=Sergey | editor2-last=Kolyada | editor2-first=Sergiy | title=Topics in dynamics and ergodic theory. Survey papers and mini-courses presented at the international conference and US-Ukrainian workshop on dynamical systems and ergodic theory, Katsiveli, Ukraine, August 21–30, 2000 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-53365-1 | series=Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. | volume=310 | pages=145–189 | year=2003 }}</ref>

[https://web.archive.org/web/20080513023708/http://www.math.brown.edu/~jhs/ADSBIB.pdf Arithmetic Dynamics Reference List]には、数論的力学のトピックスの広い範囲をカバーする論文や書籍の大きなリストが掲載されている。
<!--==Other areas in which number theory and dynamics interact==
There are many other problems of a number theoretic nature that appear in the setting of dynamical systems, including:

* dynamics over [[finite field]]s.
* dynamics over [[Global field|function fields]] such as '''C'''({{math|<var>x</var>}}).
* iteration of formal and {{math|<var>p</var>}}-adic [[power series]].
* dynamics on [[Lie group]]s.
* arithmetic properties of dynamically defined [[moduli space]]s.
* [[equidistribution]]<ref>[https://books.google.co.jp/books?id=a4XE8QWc1GUC&redir_esc=y&hl=ja Equidistribution in number theory, an introduction], Andrew Granville, Zeév Rudnick
Springer, 2007, ISBN 978-1-4020-5403-7</ref> and invariant [[Measure (mathematics)|measures]], especially on {{math|<var>p</var>}}-adic spaces.
* dynamics on [[Drinfeld module]]s.
* number-theoretic iteration problems that are not described by rational maps on varieties, for example, the [[Collatz problem]].
* symbolic codings of dynamical systems based on explicit arithmetic expansions of real numbers.<ref>{{cite book | last=Sidorov | first=Nikita | chapter=Arithmetic dynamics | zbl=1051.37007 | editor1-last=Bezuglyi | editor1-first=Sergey | editor2-last=Kolyada | editor2-first=Sergiy | title=Topics in dynamics and ergodic theory. Survey papers and mini-courses presented at the international conference and US-Ukrainian workshop on dynamical systems and ergodic theory, Katsiveli, Ukraine, August 21–30, 2000 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-53365-1 | series=Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. | volume=310 | pages=145–189 | year=2003 }}</ref>

The [http://math.brown.edu/~jhs/ADSBIB.pdf Arithmetic Dynamics Reference List] gives an extensive list of articles and books covering a wide range of arithmetical dynamical topics.-->

==参照項目==
*{{仮リンク|数論幾何|en|Arithmetic geometry}}(Arithmetic geometry)
*[[数論トポロジー]]
*{{仮リンク|組み合わせと力学系|en|Combinatorics and dynamical systems}}(Combinatorics and dynamical systems)

==脚注==
===参考文献===
{{Reflist}}

==進んだ文献==
* [http://swc.math.arizona.edu/aws/2010/2010SilvermanNotes.pdf Lecture Notes on Arithmetic Dynamics Arizona Winter School], March 13–17, 2010, Joseph H. Silverman
* Chapter 15 of [https://books.google.co.jp/books?id=fGGP482b54sC&redir_esc=y&hl=ja A first course in dynamics: with a panorama of recent developments], Boris Hasselblatt, A. B. Katok, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-58750-1

==外部リンク==
* [http://www.math.brown.edu/~jhs/ADSHome.html ''The Arithmetic of Dynamical Systems'' home page]
* [http://math.brown.edu/~jhs/ADSBIB.pdf Arithmetic dynamics bibliography]
* [https://arxiv.org/pdf/math/0407433 Analysis and dynamics on the Berkovich projective line]
* [http://www.ams.org/bull/2009-46-01/S0273-0979-08-01216-0/S0273-0979-08-01216-0.pdf Book review] of [[Joseph H. Silverman]]'s  "The Arithmetic of Dynamical Systems", reviewed by [[Robert L. Benedetto]]

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[[Category:力学系]]
[[Category:代数学]]
[[Category:数論]]
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