数論的ゼータ函数のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、'''数論的ゼータ函数'''（{{lang-en|arithmetic zeta function}}）とは、[[整数]]上の有限型[[概型|スキーム]]についての[[ゼータ函数]]のことを言う。数論的ゼータ函数は[[リーマンゼータ函数]]と[[デデキントゼータ函数]]を一般化したものである。数論的ゼータ函数は、[[数論]]の最も基本的な対象のひとつである。
<!--In [[mathematics]], the '''arithmetic zeta function''' is a [[zeta function]] associated with a [[Scheme (mathematics)|scheme]] of finite type over [[integers]]. The arithmetic zeta function generalizes the [[Riemann zeta function]] and [[Dedekind zeta function]] to higher dimensions. The arithmetic zeta function is one of the most-fundamental objects of [[number theory]].-->

==定義==
数論的ゼータ函数 {{math|ζ<sub>X</sub>&thinsp;(s)}} は[[リーマンゼータ函数]]
:<math>{\zeta_X(s)} = \prod_{x} \frac{1}{1 - N(x)^{-s}}</math>
の[[オイラー積]]の類似によって定義される。ここに、積はスキーム {{mvar|X}} の全ての閉点 {{mvar|x}} を渡るものとする。同じことであるが、積はその点での[[剰余体]]が有限である全ての点を渡るものとする。剰余体の点の数を {{math|N(x)}} で表す。
<!--==Definition==
The arithmetic zeta function {{math|''ζ<sub>X</sub>''&thinsp;(''s'')}} is defined by an [[Euler product]] analogous to the [[Riemann zeta function]]:

:<math>{\zeta_X(s)} = \prod_{x} \frac{1}{1 - N(x)^{-s}},</math>

where the product is taken over all closed points {{mvar|x}} of the scheme {{mvar|X}}. Equivalently, the product is over all points whose [[residue field]] is finite. The cardinality of this field is denoted {{math|''N''(''x'')}}.-->

==例==
例えば、{{mvar|X}} を {{mvar|q}} 個の元を持つ[[有限体]]の[[スペクトル]]とすると、
:<math>\zeta_X(s) = \frac{1}{1-q^{-s}}</math>
となる。

{{mvar|X}} を整数の[[環のスペクトル]]とすると、{{math|ζ<sub>X</sub>&thinsp;(s)}} はリーマンゼータ函数となる。さらに一般的には、{{mvar|X}} を代数体の整数のスペクトルとすると、{{math|ζ<sub>X</sub>&thinsp;(s)}} は[[デデキントゼータ函数]]となる。
<!--==Examples==
For example, if {{mvar|X}} is the spectrum of a finite field with {{mvar|q}} elements, then 

:<math>\zeta_X(s) = \frac{1}{1-q^{-s}}.</math>

If {{mvar|X}} is the spectrum of the ring of integers, then {{math|''ζ<sub>X</sub>''&thinsp;(''s'')}} is the Riemann zeta function. More generally, if {{mvar|X}} is the spectrum of the ring of integers of an algebraic number field, then {{math|''ζ<sub>X</sub>''&thinsp;(''s'')}} is the [[Dedekind zeta function]].-->

スキーム {{mvar|X}} 上の[[アフィン空間]]と[[射影空間]]のゼータ函数は、それぞれ、
:<math>\begin{align}
\zeta_{\mathbf A^n(X)}(s) &= \zeta_X(s-n) \\
\zeta_{\mathbf P^n(X)}(s) &= \prod_{i=0}^n \zeta_X(s-i)
\end{align}</math>
で与えられる。

この式の後半は、任意の共通部分を持たない閉じた部分スキームと開いた部分スキーム {{mvar|U}} と {{mvar|V}} の合併に対して、
:<math>\zeta_X(s) = \zeta_U(s) \zeta_V(s)</math>
とすることにより、導き出される。
<!--The zeta function of [[affine space|affine]] and [[projective space]]s over a scheme {{mvar|X}} are given by

:<math>\begin{align}
\zeta_{\mathbf A^n(X)}(s) &= \zeta_X(s-n) \\
\zeta_{\mathbf P^n(X)}(s) &= \prod_{i=0}^n \zeta_X(s-i)
\end{align}</math>

The latter equation can be deduced from the former using that, for any {{mvar|X}} that is the disjoint union of a closed and open subscheme {{mvar|U}} and {{mvar|V}}, respectively,

:<math>\zeta_X(s) = \zeta_U(s) \zeta_V(s).</math>-->

さらに一般的には、無限個の共通部分のない合併に対して、同じような式が成立する。特にこのことは、{{mvar|X}} のゼータ函数が、素数 {{mvar|p}} を modulo として {{mvar|X}} の一つのリダクション(reduction)の積
:<math>\zeta_X(s) = \prod_p \zeta_{X_p}(s).</math>
である。

各々の素数を渡るこのような表現は[[オイラー積]]と呼ばれ、各々の要素はオイラー要素と呼ばれる。興味が持たれる多くの場合は、{{仮リンク|生成ファイバー|en|generic fiber}}(generic fiber) {{math|X<sub>'''Q'''</sub>}} が{{仮リンク|滑らかなスキーム|label=滑らか|en|smooth variety}}(smooth)である。すると、特異（{{仮リンク|悪いリダクション|en|bad reduction}}(bad reduction)）点は有限個しかない。ほとんど全ての素数、つまり、{{mvar|X}}がよりリダクションを持つとき、オイラー要素は {{math|X<sub>'''Q'''</sub>}} の[[ハッセ・ヴェイユのゼータ函数]]の対応する要素に一致することが知られている。従って、これら 2つのゼータ函数は密接に関連している。
<!--Even more generally, a similar formula holds for infinite disjoint unions. In particular, this shows that the zeta function of {{mvar|X}} is the product of the ones of the reduction of {{mvar|X}} modulo the primes {{mvar|p}}:

:<math>\zeta_X(s) = \prod_p \zeta_{X_p}(s).</math>

Such an expression ranging over each prime number is sometimes called [[Euler product]] and each factor is called Euler factor. In many cases of interest, the [[generic fiber]] {{math|''X''<sub>'''Q'''</sub>}} is [[smooth variety|smooth]]. Then, only finitely many {{math|''X<sub>p</sub>''}} are singular ([[bad reduction]]). For almost all primes, namely when {{mvar|X}} has good reduction, the Euler factor is known to agree with the corresponding factor of the [[Hasse-Weil zeta function]] of {{math|''X''<sub>'''Q'''</sub>}}. Therefore, these two functions are closely related.-->

==主要な予想==
(整数上の有限型の）{{仮リンク|正規局所環|label=正規|en|regular local ring}}(regular)な既約で同じ次元のスキーム {{mvar|X}} のゼータ函数の振る舞いについて多くの予想がある。多くの（全てではないが）これらの予想は、オイラー・リーマン・デデキントゼータ函数について良く知られている 1次元の定理（や予想）を一般化したものである。

スキームは {{math|'''Z'''}} 上、必ずしも[[平坦射|平坦]](flat)である必要はない。{{math|'''Z'''}} 上のスキームの場合は、ある有限型スキーム {{math|'''F'''<sub>p</sub>}} が存在する。これは以下で標数 {{mvar|p}} の場合となる。この場合は、多くのこれらの予想（[[バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想|バーチ・スウィナートン=ダイヤー予想]]、つまり特殊値の研究を最も高級な例外として）は既に定理となっている。 {{math|'''Z'''}} の上で平坦なスキームはほとんど知られていなく、次元は 2 かそれ以上である。
<!--==Main conjectures==
There are a number of conjectures concerning the behavior of the zeta function of a [[regular local ring|regular]] irreducible equidimensional scheme {{mvar|X}} (of finite type over the integers). Many (but not all) of these conjectures generalize the one-dimensional case of well known theorems about the Euler-Riemann-Dedekind zeta function.

The scheme need not be [[flat morphism|flat]] over {{math|'''Z'''}}, in this case it is a scheme of finite type over some {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}}. This is referred to as the characteristic {{mvar|p}} case below. In the latter case, many of these conjectures (with the most notable exception of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, i.e. the study of special values) are known. Very little is known for schemes that are flat over {{math|'''Z'''}} and are of dimension two and higher.-->

===有理型接続と函数等式===
ハッセとヴェイユは {{math|ζ<sub>X</sub>&thinsp;(s)}} が複素平面へ[[解析接続|有理型接続]]され、{{mvar|n}} を {{mvar|X}} の次元とすると {{math|s → n − s}} についての函数等式を満たすことを予想した。

これは {{math|n {{=}} 1}} に対し証明されていて、{{math|'''Z'''}} 上の平坦スキームと全ての正の標数 {{mvar|n}} に対して知られているものもある。これはゼータ函数は <math>\mathrm{Re}(s)>n-\tfrac{1}{2}</math> について有理型接続をされるという[[ヴェイユ予想]]（より正確には、リーマン予想の一部）である。
<!--===Meromorphic continuation and functional equation===
Hasse and Weil conjectured that {{math|''ζ<sub>X</sub>''&thinsp;(''s'')}} has a [[meromorphic continuation]] to the complex plane and satisfies a functional equation with respect to {{math|''s'' → ''n'' − ''s''}} where {{mvar|n}} is the absolute dimension of {{mvar|X}}. 

This is proven for {{math|''n'' {{=}} 1}} and some very special cases when {{math|''n'' > 1}} for flat schemes over {{math|'''Z'''}} and for all {{mvar|n}} in positive characteristic. It is a consequence of the [[Weil conjectures]] (more precisely, the Riemann hypothesis part thereof) that the zeta function has a meromorphic continuation up to <math>\mathrm{Re}(s)>n-\tfrac{1}{2}</math>.-->

===一般化されたリーマン予想===
[[一般化されたリーマン予想]]に従い、{{math|ζ<sub>X</sub>&thinsp;(s)}} の零点は、垂直線 {{math|Re(s) {{=}} 1/2, 3/2, ...}} 上のクリティカル帯 {{math|0 ≤ Re(s) ≤ n}} の内側にあり、{{math|ζ<sub>X</sub>&thinsp;(s)}} の極は垂直線 {{math|Re(''s'') {{=}} 0, 1, 2, ...}} 上のクリティカル帯 {{math|0 ≤ Re(s) ≤ n}} の内側にあることが予想されている。

このことは、([[エミール・アルティン]], [[Helmut Hasse]], [[André Weil]], [[Alexander Grothendieck]], [[Pierre Deligne]]）により正の標数で全ての {{mvar|n}} に対して証明された。しかし、{{math|'''Z'''}} 上に平坦な任意のスキームに対しては証明されていない。[[リーマン予想]]はこの予想の 2 の場合の特別な場合である。
<!--===The generalized Riemann hypothesis===
According to the [[generalized Riemann Hypothesis]] the zeros of {{math|''ζ<sub>X</sub>''&thinsp;(''s'')}} are conjectured to lie inside the critical strip {{math|0 ≤ Re(''s'') ≤ ''n''}} lie on the vertical lines {{math|Re(''s'') {{=}} 1/2, 3/2, ...}} and the poles of {{math|''ζ<sub>X</sub>''&thinsp;(''s'')}} inside the critical strip {{math|0 ≤ Re(''s'') ≤ ''n''}} lie on the vertical lines {{math|Re(''s'') {{=}} 0, 1, 2, ...}}. 

This was proved ([[Emil Artin]], [[Helmut Hasse]], [[André Weil]], [[Alexander Grothendieck]], [[Pierre Deligne]]) in positive characteristic for all {{mvar|n}}. It is not proved for any scheme that is flat over {{math|'''Z'''}}. The [[Riemann hypothesis]] is a partial case of Conjecture 2.-->

===極の位数===
解析接続の主要な問題であるクリティカル帯内での極の位数と整数点での {{math|ζ<sub>X</sub>&thinsp;(s)}} の留数は、{{mvar|X}} の重要な数論的不変量により表されることが予想されている。上記の基本的性質と{{仮リンク|ネター正規化|en|Noether normalization}}(Noether normalization)を基礎とした[[ジャン＝ピエール・セール]](Jean-Pierre Serre)による議論により、{{mvar|X}} のゼータ函数は最大次元の {{mvar|X}} の[[既約成分]]の数に等しい位数を持っている {{math|s {{=}} n}} に極を持つことが示された。<ref>{{cite book | author=Jean-Pierre Serre | authorlink=Jean-Pierre Serre| title= Zeta and L-functions| work=Arithmetical Algebraic Geometry | publisher= Harper and Row | year= 1965}}</ref> 第二に、[[ジョン・テイト]](John Tate)は<ref>{{cite book | author=John Tate | authorlink=John Tate| title=Algebraic cycles and poles of zeta functions| work=Arithmetical Algebraic Geometry | publisher= Harper and Row | year= 1965}}</ref>で、
:<math>\mathrm{ord}_{s=n-1} \zeta_X(s) = rk \mathcal O_X^\times(X) - rk \mathrm{Pic}(X)</math>
つまり、[[極 (複素解析)|極]]の位数は、可逆な[[多様体の射|正則函数]](regular function)の群と[[ピカール群]]のランクにより表されることが予想した。[[バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想]]は、この予想の特別な場合である。実際、テイトによるこの予想は、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想の一般化となっている。
<!--===Pole orders===
Subject to the analytic continuation, the order of the zero or pole and the residue of {{math|''ζ<sub>X</sub>''&thinsp;(''s'')}} at integer points inside the critical strip is conjectured to be expressible by important arithmetic invariants of {{mvar|X}}. An argument due to [[Jean-Pierre Serre|Serre]] based on the above elementary properties and [[Noether normalization]] shows that the zeta function of {{mvar|X}} has a pole at {{math|''s'' {{=}} ''n''}} whose order equals the number of [[irreducible component]]s of {{mvar|X}} with maximal dimension.<ref>{{cite book | author=Jean-Pierre Serre | authorlink=Jean-Pierre Serre| title= Zeta and L-functions| work=Arithmetical Algebraic Geometry | publisher= Harper and Row | year= 1965}}</ref> Secondly, [[John Tate|Tate]] conjectured<ref>{{cite book | author=John Tate | authorlink=John Tate| title=Algebraic cycles and poles of zeta functions| work=Arithmetical Algebraic Geometry | publisher= Harper and Row | year= 1965}}</ref>

:<math>\mathrm{ord}_{s=n-1} \zeta_X(s) = rk \mathcal O_X^\times(X) - rk \mathrm{Pic}(X)</math>

i.e., the [[pole (complex analysis)|pole]] order is expressible by the rank of the groups of invertible [[regular function]]s and the [[Picard group]]. The [[Birch and Swinnerton-Dyer conjecture]] is a partial case this conjecture. In fact, this conjecture of Tate's is equivalent to a generalization of Birch and Swinnerton-Dyer.-->

さらに一般的には、{{仮リンク|クリストフ・スーレ|en|Christophe Soulé}}(Christophe Soulé)は、<ref>{{Citation | last1=Soulé | first1=Christophe | title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Warsaw, 1983) | publisher=PWN | location=Warszawa | year=1984 | chapter=''K''-théorie et zéros aux points entiers de fonctions zêta | pages=437–445}}</ref>で、
:<math>\mathrm{ord}_{s=n-m} \zeta_X(s) = - \sum_i (-1)^i rk K_i (X)^{(m)}</math>
であることを予想した。

右辺は、{{mvar|X}} の[[代数的K-理論]]のアダムズ(Adams)の固有空間を表している。これらのランクは[[バスの予想]](Bass conjecture)によれば有限である。

これらの予想は、{{math|''n'' {{=}} 1}}のとき、つまり数の環の場合や有限体上の[[代数曲線]]の場合には知られている。{{math|n > 1}} のときのバーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想の一部は証明されているが、正標数の場合の予想は未だ証明されていない。
<!--More generally, [[Christophe Soulé|Soulé]] conjectured<ref>{{Citation | last1=Soulé | first1=Christophe | title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Warsaw, 1983) | publisher=PWN | location=Warszawa | year=1984 | chapter=''K''-théorie et zéros aux points entiers de fonctions zêta | pages=437–445}}</ref>

:<math>\mathrm{ord}_{s=n-m} \zeta_X(s) = - \sum_i (-1)^i rk K_i (X)^{(m)}</math>

The right hand side denotes the Adams eigenspaces of [[algebraic K-theory|algebraic {{mvar|K}}-theory]] of {{mvar|X}}. These ranks are finite under the [[Bass conjecture]].

These conjectures are known when {{math|''n'' {{=}} 1}}, that is, the case of number rings and [[algebraic curve|curves]] over finite fields. As for {{math|''n'' > 1}}, partial cases of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture have been proven, but even in positive characteristic the conjecture remains open.-->

==方法と理論==
クロネッカー次元 {{mvar|n}} の正規連結で等次元な数論的スキームの数論的ゼータ函数は、適切に定義されたL-要素と任意の要御の積に分解することができる。よって、L-函数の上の結果は数論的ゼータ函数上の対応する結果に反映することができる。しかしながら、標数 0 で次元が 2 もしくはそれ以上の次元の数論的スキームのL-要素についての証明された結果は未だ極めて少ししかない。[[イヴァン・フェセンコ]](Ivan Fesenko)は<ref>{{Citation | last1=Fesenko | first1=Ivan | author1-link=Ivan Fesenko| title=Adelic approach to the zeta function of arithmetic schemes in dimension two  | year=2008 | journal=Moscow Mathematical Journal  | volume=8  |  pages=273–317}}</ref>で、L-要素を使用することなしで、直接、数論的ゼータ函数を研究しようと提唱した。これは[[テイト論文]]の高次元への一般化であり、すなわち、高次の[[類体論]]から来る高次[[アデール環]]、高次ゼータ整数や対象を使う。この理論は、大域体上の楕円曲線の固有正規モデルの有理型接続や函数等式が境界函数の平均周期的性質に関係付けている。<ref name="#1">{{Citation | last1=Fesenko | first1=Ivan | author1-link=Ivan Fesenko| title=Analysis on arithmetic schemes. II  | year=2010 | journal=Journal of K-theory| volume=5 |  pages=437–557}}</ref> 彼のM. Suzuki と G. Ricotta との共同の仕事では、数論的ゼータ函数と指数的な増加以上の増加率を持つ実直線上の滑らかな函数空間の平均周期函数との間の数論の新しい対応が提唱されている。<ref>{{Citation | last1=Fesenko | first1=Ivan | author1-link=Ivan Fesenko | last2=Ricotta |first2=Guillaume | last3=Suzuki | first3=Masatoshi | title=Mean-periodicity and zeta functions | year=2008 | journal=front.math.ucdavis.edu/0803.2821}}</ref> この対応は[[ラングランズ・プログラム|ラングランズ対応]]と関連付けられる。フェセンコの理論の 2つの応用は、大域体上の楕円函数の固有モデルのゼータ函数の極への応用と、中心点での特殊値へ応用である。<ref name="#1"/>
<!--==Methods and theories==
The arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme of Kronecker dimension {{mvar|n}} can be factorized into the product of appropriately defined {{mvar|L}}-factors and an auxiliary factor. Hence, results on {{mvar|L}}-functions imply corresponding results for the arithmetic zeta functions. However, there is still very little amount of proven results about the {{mvar|L}}-factors of arithmetic schemes in characteristic zero and dimensions 2 and higher. [[Ivan Fesenko]] initiated<ref>{{Citation | last1=Fesenko | first1=Ivan | author1-link=Ivan Fesenko| title=Adelic approach to the zeta function of arithmetic schemes in dimension two  | year=2008 | journal=Moscow Mathematical Journal  | volume=8  |  pages=273–317}}</ref>  a theory which studies the arithmetic zeta functions directly, without working with their {{mvar|L}}-factors. It is a higher-dimensional generalisation of [[Tate's thesis]], i.e. it uses higher [[adele ring|adele]] groups, higher zeta integral and objects which come from higher [[class field theory]]. In this theory, the meromorphic continuation and functional equation of proper regular models of elliptic curves over global fields is related to mean-periodicity property of a boundary function.<ref>{{Citation | last1=Fesenko | first1=Ivan | author1-link=Ivan Fesenko| title=Analysis on arithmetic schemes. II  | year=2010 | journal=Journal of K-theory| volume=5 |  pages=437–557}}</ref> In his joint work  with M. Suzuki and G. Ricotta a new correspondence in number theory is proposed, between the arithmetic zeta functions and mean-periodic functions in the space of smooth functions on the real line of not more than exponential growth.<ref>{{Citation | last1=Fesenko | first1=Ivan | author1-link=Ivan Fesenko | last2=Ricotta |first2=Guillaume | last3=Suzuki | first3=Masatoshi | title=Mean-periodicity and zeta functions | year=2008 | journal=front.math.ucdavis.edu/0803.2821}}</ref> This correspondence is related to the [[Langlands correspondence]]. Two other applications of Fesenko's theory are to the poles of the zeta function of proper models of elliptic curves over global fields and to the special value at the central point.<ref>{{Citation | last1=Fesenko | first1=Ivan | author1-link=Ivan Fesenko| title=Analysis on arithmetic schemes. II  | year=2010 | journal=Journal of K-theory| volume=5 |  pages=437–557}}</ref>-->

== 参考文献 ==
<references />
'''原論文'''
* {{cite book | title=Lectures on some aspects of p-adic analysis | author=François Bruhat | publisher=Tata Institute of Fundamental Research | year= 1963}}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre |authorlink=Jean-Pierre Serre| title=Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures) |journal=Séminaire Delange-Pisot-Poitou|year=1969/70 | volume=19 }}

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[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]