数論的関数のソースを表示

'''数論的関数'''（すうろんてきかんすう、{{lang-en-short|arithmetic function, arithmetical function, number-theoretical function}}）とは、[[定義域]]が正[[整数]]である[[複素数]]を値に持つ[[関数 (数学)|関数]]のことである。

複素数の[[無限数列]] <math>\{ a_n \}_{n\ge 1}</math> は <math>n\mapsto a_n</math> という対応で、数論的関数とみなすことができる。

== 素因数分解に関連する関数 ==
正整数 {{mvar|n}} に対して
<math display="block">
n = \prod_{p\ \text{prime}} p^{\nu_p(n)}\quad (\nu_p(n)\ge 0)
</math>
と[[素因数分解]]する。

この項では、<math>a(n)</math> が <math>\{ a(p^k) | k\ge 0,\ p\ \text{prime}\}</math> によって得られる数論的関数について述べる。 

=== 加法的関数 ===
互いに素である正整数 {{mvar|m}} と {{mvar|n}} に対して、<math>a(mn) = a(m)+a(n)</math> が成立するとき、'''加法的関数'''（{{en|additive function}}）という。

つまり、
<math display="block">
a(n) = \sum_{p;\operatorname{prime}} a(p^{\nu_p(n)})
</math>
が成立する関数である。

特に、任意の正整数 {{mvar|m}} と {{mvar|n}} に対して、<math>f(mn) = f(m)+f(n)</math> が成立するとき、'''完全加法的関数'''（{{en|completely additive function}}）という。つまり完全加法的関数とは
<math>
a(n) = \sum_{p\ \text{prime}} \nu_p(n)a(p)
</math>
が成立する数論的関数である。

==== 例 ====
* [[対数関数]]: <math>\log n</math> 
* ''n'' の相異なる素因数の個数を表す <math>\omega(n)</math>
** <math>\omega(n) = \#\{ p| \nu_p(n)\ne 0 \}</math>
* ''n'' の重複度を数えた素因数の個数を表す <math>\Omega(n)</math>
** <math>\Omega(n) = \sum_{p;\operatorname{prime}}\nu_p(n)</math>
* 素数 ''p'' に対して、''n'' を割る最大指数を表す、<math>\nu_p(n)</math>

=== 乗法的関数 ===
[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である正整数 ''m'' と ''n'' に対して、<math>f(mn) = f(m)f(n)</math> が成立するとき、'''[[乗法的関数]]''' (multiplicative function)という。

つまり、
{{Indent|<math>
a(n) = \prod_{p;\operatorname{prime}} a(p^{\nu_p(n)})
</math>}}
が成立する関数である。

特に、任意の正整数 ''m'' と ''n'' に対して、<math>f(mn) = f(m)f(n)</math> が成立するとき、'''完全乗法的関数''' (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは
{{Indent|<math>
a(n) = \prod_{p;\operatorname{prime}} a(p)^{\nu_p(n)}
</math>}}
が成立する数論的関数である。

==== 例 ====
* [[約数関数]] σ<sub>''x''</sub>(''n'') は乗法的関数であるが、完全乗法的関数ではない。

== q進展開に関連する関数 ==
''q'' を 2以上の正整数とする。

このとき、任意の正整数 ''n'' に対して
{{Indent|<math>
n = \sum_{j\ge 0}b_j(n)q^j\ \ \ \ \ (b_j(n) = 0,\ 1,\ldots,\ q-1)
</math>}}
と ''q'' 進展開する。

この項では、<math>a(n)</math> が <math>\scriptstyle\{ a(bq^j) | j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1\}</math> によって得られる数論的関数について述べる。

=== q加法的関数 ===
<math>\scriptstyle a(n)=\sum_{j\ge 0}a(b_j(n)q^j)</math> を満たすとき、'''q加法的関数''' (q-additive function)という。

特に、''q''加法的関数 <math>a(n)</math> が <math>\scriptstyle a(bq^j)=a(b)</math> <math>\scriptstyle(j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1)</math> を満たすとき、'''強q加法的関数''' (strongly q-additive function)という。

==== 例 ====
* sum of digits 関数 <math>\textstyle s_q(n) = \sum_{j\ge 0}b_j(n)</math>
* digit counting 関数 <math>e_q(b;n) = \#\{ j | b_j(n) = b \}</math> 但し、''b'' は <math>\scriptstyle 1,2,\ldots,q-1</math> のいずれか。

=== q乗法的関数 ===
<math>\scriptstyle a(n)=\prod_{j\ge 0}a(b_j(n)q^j)</math> を満たすとき、'''q乗法的関数''' (q-multiplicative function)という。

特に、''q''乗法的関数 <math>a(n)</math> が <math>\scriptstyle a(bq^j)=a(b)</math> <math>\scriptstyle(j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1)</math> を満たすとき、'''強q乗法的関数''' (strongly q-multiplicative function)という。

==== 例 ====
* トゥエ＝モース数列 <math>a(n) = (-1)^{e_2(1;n)}</math>
* product of digits 関数 <math>\textstyle p_q(n) = \prod_{j=0}^rb_j(n)\ \ \ \ \ (b_r(n)\ne 0,\ b_j(n) = 0\  (j>r))</math>

== その他の数論的関数 ==
(1) 素数に関係する関数
* [[素数計数関数]]: <math>\pi(n)</math>
* [[フォン・マンゴルト関数]]: <math>\Lambda(n)</math>
** <math>\Lambda(n) = \begin{cases}\log p & (n=p^m,\ m\ge 1,\ p;\operatorname{prime}) \\ 0 & (n\ne p^m) \end{cases}</math>
* <math>\textstyle\vartheta(n) = \sum_{p\le n,\ p;\operatorname{prime}}\log p</math>
* <math>\textstyle\psi(n) = \sum_{p^m\le n,\ p;\operatorname{prime}}\log p</math>

(2) 数の表現・分割

* ''n'' を２つの平方数の和で表す表し方の数を与える <math>r_2(n)</math>
* ''n'' を正整数の和で表す表し方の数を与える <math>p(n)</math>
* [[ウェアリングの問題]]
** 全ての正整数が ''s'' 個の ''k'' 乗数の和で表される様な ''s'' の最小値 <math>g(k)</math>
** 十分大きな全ての正整数が ''s'' 個の ''k'' 乗数の和で表される様な ''s'' の最小値 <math>G(k)</math>

== 性質 ==
=== 代数的性質 ===
数論的関数 <math>\scriptstyle f(n),\ g(n)</math> に対して、ディリクレ積 <math>f*g</math> を
{{Indent|<math>
(f*g)(n) = \!\!\!\sum_{d\ge 1,\ d|n}\!\!\!f(d)g(n/d)
</math>}}
と定めると、<math>f*g</math> は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。

乗法的関数 <math>\scriptstyle f(n),\ g(n)</math> に対して、ディリクレ積 <math>f*g</math> で得られた数論的関数は乗法的関数となる。

数論的関数 <math>f(n)</math> が、ある正数 ''C'' と、数論的関数 <math>g(n)</math> が存在して、<math>\scriptstyle f(n)= C^{g(n)}</math> と表されるとする。すると、<math>f(n)</math> が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、<math>g(n)</math> は(完全)加法的関数である。

=== 位数 ===
(1) 最大位数

数論的関数 <math>a(n)</math> に対して、ある単純な形をした ''n'' の関数 <math>\psi(n)</math> が存在して
{{Indent|<math>
\limsup_{n\to\infty}\frac{a(n)}{\psi(n)} = 1
</math>}}
が成立するとき、<math>a(n)</math> の'''最大位数'''は <math>\psi(n)</math> であるという。
 
(2) 平均位数

数論的関数 <math>a(n)</math> に対して、ある単純な形をした ''n'' の関数 <math>\psi(n)</math> が存在して
{{Indent|<math>
\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n a(k)}{\sum_{k=1}^n \psi(k)} = 1
</math>}}
が成立するとき、<math>a(n)</math> の'''平均位数'''は <math>\psi(n)</math> であるという。

従って、<math>a(n)</math> は、だいたい <math>\psi(n)</math> であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、<math>a(n)</math> がほぼ <math>\psi(n)</math> である様な ''n'' は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。

(3) 正規位数

任意の正数 &varepsilon; とほとんど全て<ref>条件を満たさない ''n'' 以下の正整数の個数を ''n'' で割った値が 0 に収束するという意味。</ref>の正整数 ''n'' に対して
{{Indent|<math>
(1-\varepsilon)\psi(n) < a(n) < (1+\varepsilon)\psi(n)
\!</math>}}
が成立するとき、<math>a(n)</math> の'''正規位数'''は <math>\psi(n)</math> であるという。

平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。
平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。

=== 例 ===
(1) 約数関数 <math>d(n)</math>

最大位数は、
{{Indent|<math>
2^{\log n/\log\log n}
\!</math>}}
であり、平均位数は <math>\log n</math> である。
さらに <math>\log d(n)</math> の正規位数は <math>log2\log\log n</math> である。
従って、任意の正数 &epsilon; とほとんど全ての正整数 ''n'' に対して
{{Indent|<math>
(\log n)^{(1-\epsilon)\log 2} < d(n) < (\log n)^{(1+\epsilon)\log 2}
\!</math>}}
が成立する。

つまり、ほとんど全ての正整数に対して、<math>d(n)</math> の値は、平均位数よりも小さい。

(2) 約数和関数 <math>\sigma(n)</math>

最大位数は
{{Indent|<math>
e^{\gamma}n\log\log n
\!</math>}}
であり、平均位数は <math>\pi^2n/6</math> である。

(3) オイラー関数 <math>\varphi(n)</math>

最大位数は <math>n-1</math> であり、平均位数は <math>6n/\pi^2</math> である。

(4) ''n'' の相異なる素因数の個数を表す関数 <math>\omega(n)</math>

平均位数および正規位数は共に <math>\log\log n</math> である。

(5) ''n'' の重複を込めた素因数の個数を表す関数 <math>\Omega(n)</math>

平均位数および正規位数は共に <math>\log\log n</math> である。

(6) 素数の個数を表す <math>\pi(n)</math>

正規位数は、<math>n/\log n</math> である。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 注釈 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Notelist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|last=ハーディ|first=G.H.|translator=示野 信一・矢神 毅|coauthors=ライト, E.M.|year=2001|title=数論入門 I, II|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=Tattersall|first=J. J.|translator=小松 尚夫|year=2008|title=初等整数論9章 [第2版]|publisher=森北出版|location=東京}}
* {{Cite journal|author=H. Delange|title=Sur les fonctions q-additive ou q-multiplicatives|journal=Acta. Arith.|issue=21|year=1972|pages=285-298}}

== 関連項目 ==
*[[関数 (数学)|関数]]
*[[数列]]


{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:すうろんてきかんすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:関数]]
[[Category:整数論的関数|*]]
[[Category:数学に関する記事]]