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{{Expand English|Integral element|date=2024年5月}}
[[可換環論]]において、可換環 ''B'' とその部分環 ''A'' について、''B'' の元 ''b'' が ''A'' 係数の[[モニック多項式]]の根であるとき、''b'' は ''A'' 上'''整である'''（integral over ''A''）という。''B'' のすべての元が ''A'' 上整であるとき、''B'' は ''A'' 上整である、または、''B'' は ''A'' の'''整拡大'''（integral extension）であるという。
本記事において、環とは単位元をもつ可換環のこととする。

== 定義 ==
''B'' を環、''A'' をその部分環とする。''b'' &isin; ''B'' が ''A'' 上'''整である'''とは、
:<math>b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \dotsb + a_1 b + a_0 = 0</math>
を満たす自然数 ''n'' &ge; 1 と ''A'' の元 ''a''<sub>0</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''&minus;1</sub> が存在することである。''B'' の元がすべて ''A'' 上整であるとき、''B'' は ''A'' 上'''整である'''、または、''B'' は ''A'' の'''整拡大'''であるという。

''B'' の元で ''A'' 上整であるものすべてのなす集合は ''B'' の部分環となり、これを ''B'' における ''A'' の'''整閉包'''という。''B'' における ''A'' の整閉包が ''A'' 自身であるとき、''A'' は ''B'' において'''整閉'''であるという。

''A'' と ''B'' が[[可換体|体]]のとき、整、整拡大、整閉包はそれぞれ、代数的、[[代数拡大]]、[[代数的閉包]]と呼ばれる。

== 例 ==
* [[整数]]環 '''Z''' 上整な[[有理数]]体 '''Q''' の元は整数しかない。言い換えると、'''Z''' は '''Z''' の '''Q''' における整閉包である。
* [[ガウス整数]]、すなわち <math>a + b \sqrt{-1}, a, b \in \mathbf{Z}</math> の形の複素数は、'''Z''' 上整である。<math>\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]</math> が '''Z''' の <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-1})</math> における整閉包である。
* '''Z''' の <math>\mathbf{Q}(\sqrt{5})</math> における整閉包は、<math>a+b(1 + \sqrt{5})/2</math> の形の元からなる。ただし、''a'' と ''b'' は整数である。この例と直前の例は二次の整数(quadratic integer)の例である。
* ζ を[[1の冪根]]とすると、[[円分体]] '''Q'''(ζ) における '''Z''' の整閉包は '''Z'''[ζ] である<ref>{{harvnb|Milne|ANT|loc=Theorem 6.4}}</ref>。
* '''Z''' の複素数体 '''C''' における整閉包は[[代数的整数]]の環と呼ばれる。
* <math>\overline{k}</math> が体 ''k'' の代数的閉包であれば、[[多項式環]] <math>\overline{k}[x_1, \dots, x_n]</math> は <math>k[x_1, \dots, x_n]</math> 上整である。
* [[有限群]] ''G'' が環 ''A'' に作用しているとする。このとき ''A'' は ''G'' によって固定される元の集合 ''A<sup>G</sup>'' 上整である。[[:en:Ring (mathematics)#Ring of invariants|ring of invariants]] を見よ。
* 任意の環において1の冪根と[[冪零元]]は '''Z''' 上整である。
* ''R'' を環とし、''u'' を ''R'' を含む環における単位元とする。このとき<ref>Kaplansky, 1.2. Exercise 4.</ref>
#''u''<sup>&minus;1</sup> が ''R'' 上整であるのは、''u''<sup>&minus;1</sup> ∈ ''R''[''u''] であるとき、かつそのときに限る。
#<math>R[u] \cap  R[u^{-1}]</math> は ''R'' 上整である。
* [[形式冪級数環]] '''C'''<nowiki>[[</nowiki>''x''<nowiki>]]</nowiki> の、[[ローラン級数]]体 '''C'''((''x'')) の有限次拡大における整閉包は、<math>\mathbf{C}[[x^{1/n}]]</math> の形である(cf. [[ピュイズー級数]]){{citation needed|date=October 2012}}。
* 正規[[射影多様体]] ''X'' の[[斉次座標環]]の整閉包は切断の環(ring of sections)である<ref>{{harvnb|Hartshorne|1977|loc=Ch. II, Excercise 5.14}}</ref>。
::<math>\bigoplus\nolimits_{n \ge 0} \operatorname{H}^0(X, \mathcal{O}_X(n))</math>

== 整元の特徴づけ ==
''B'' を環とし、''A'' をその部分環とする。このとき ''B'' の元 ''b'' について次は同値。
* ''b'' は ''A'' 上整
* 部分環 ''A''[''b''] &sub; ''B'' は ''A''-加群として有限生成
* ''A''[''b''] は有限生成 ''A''-加群である部分環 ''C'' &sub; ''B'' に含まれる
* 忠実な ''A''[''b'']-加群 ''M'' で ''A'' 上有限生成なものが存在する
* 有限生成部分 ''A''-加群 ''M'' &sub; ''B'' が存在し、''bM'' &sub; ''M'' であり、''M'' の ''B'' における[[零化イデアル]]は0

== 関連項目 ==
* [[整閉整域]]
* [[上昇定理]]

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|和書
|last1     = 堀田
|first1    = 良之
|author    = 堀田良之
|year      = 2006
|title     = 可換環と体
|publisher = 岩波書店
|isbn      = 4-00-005198-9
|ref       = harv
}}

* {{cite book | last = Kaplansky | first = Irving | title = Commutative Rings
  | series = Lectures in Mathematics |date=September 1974
  | publisher = [[University of Chicago Press]] | isbn = 0-226-42454-5 }}

*{{Hartshorne AG}}

* [[James Milne (mathematician)|J. S. Milne]], "Algebraic number theory." available at http://www.jmilne.org/math/

{{DEFAULTSORT:せいかくたい}}
[[Category:環論]]
[[Category:可換環論]]
[[Category:数学に関する記事]]