整数のソースを表示

{{脚注の不足|date=2022年10月}}
[[ファイル:Number-systems (NZQRC).svg|サムネイル|整数（<math>\mathbb Z</math>）は有理数（<math>\mathbb Q
</math>）の一部であり、自然数（<math>\mathbb N</math>）を含む。]]
{{記号文字|{{Unicode|ℤ}}}}
[[数学]]における'''整数'''（せいすう、{{lang-en-short|integer; whole number}}、{{lang-de-short|Ganze Zahl}}、{{lang-fr-short|nombre entier}}、{{lang-es-short|número entero}}）は、1 とそれに 1 ずつ加えて得られる[[自然数]] (1, 2, 3, 4, …) 、これらに&minus;1を乗じて得られる[[負数]] (&minus;1, &minus;2, &minus;3, &minus;4, …) 、および 0 の総称である。

[[file:Number-line.svg|600px|center|整数は数直線上の格子点として視覚化される]]

整数の全体からなる[[集合]]は、一般に太字の <math>\mathbf Z</math> または[[黒板太字]]の <math>\mathbb Z</math> で表す。これはドイツ語"{{lang|de|Zahlen}}"（ツァーレン。「数」の意・複数形）に由来する。

[[抽象代数学]]、特に[[代数的整数論]]では、しばしば「[[整数環|代数体の整数環]]」の元という意味で[[代数的整数]]あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が[[代数体]]の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「[[有理数]]の中で[[代数方程式|整]]なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を'''有理整数''' {{lang|en|(rational integer)}} と呼ぶことがある<ref group="note">接頭辞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。</ref>。

== 素朴な説明 ==
「もの」の個数という素朴な意味で理解される自然数の中では、足し算と掛け算は自由にできるが、引き算については「引かれる数が引く数よりも大きい」という前提を満たさねばならず、その意味では自由ではない。これを自由に行うために「負の整数」を導入して、数の範囲を拡張しようというのが整数の概念である。すなわち、

:<math>a+x=b</math>

の形の方程式は、<math>a</math>, <math>b</math> が整数ならば必ずただ一つの解を持つ。

自然数を「正の整数」とし、[[自然数]] ''n'' に対して[[反数|加法に関する逆元]] &minus;''n'' を導入し、これを「[[負の整数]]」とする。「正の整数」「0」「負の整数」をあわせた数の中で普通に足し算・引き算・かけ算ができるように、また、「正の整数」に対する演算はもともとの自然数としてのそれであるように加法と乗法を定義することができる（足し算引き算を包摂して「加法」と呼んでいる）。

:<math>a-b=a+(-b)</math>

しかし、例えば <math>2 \times x=1</math> となる整数 <math>x</math> が存在しないように、依然として一般に除法は不自由なままである（自由にできるようにするためには[[有理数]]にまで数の範囲を広げなければならない）。

== 概歴 ==
負の数について論じた最古の文献は、[[紀元前1世紀]]から[[2世紀|紀元後2世紀]]に成立した古代中国の『[[九章算術]]』であり、0および負数の加減演算が扱われている<ref>{{Harvtxt|足立|2013|pp=18-19}}</ref>。また、インドの数学者[[アリヤバータ]]による今日『アーリヤバティーヤ』と呼ばれるテキストでは、負数の加法と減法の満たす規則が定められており、また負数は負債を表し、正数は収入を表すものとして表れている。数世紀のち、ペルシアの数学者[[アブル・ワファー]]は負数同士の積が正数であることを記しているが、しかし依然として数は何らかの物理的な量に結び付けられており、負数が実存のものとして市民権を得るのは困難な状態であった。例えば[[フワーリズミー]]は二次方程式を係数に負数が現れないように6種類に還元帰着することによって扱っている。

ヨーロッパで整数の概念が現れるのは遅く、よく知られた二整数の積に対する符号の規則は一般に[[シモン・ステヴィン|ステヴィン]]に帰せられる。また[[ジャン・ル・ロン・ダランベール|ダランベール]]は、彼の[[百科全書]]において整数が危うい概念であると述べている。

自然数の成す同値類を用いた[[#厳密な構成|厳密な構成]]を行うことによる整数の概念の定式化が現れるのは、そこからさらに二つの世紀を待たねばならなかった。この重要な発展は、数学の基礎をより厳密に定義することを目指す19世紀後半の数学者たちによってもたらされた。この構成を成した一人である[[リヒャルト・デーデキント|デデキント]]は、整数全体の成す集合を表すのに ''K'' を用いたが、[[ニコラ・ブルバキ|ブルバキ]]によるドイツ語で「数」を意味する "Zahlen" の頭文字が普及するまで、ほかにもいくつかの規約が用いられていた<ref>{{en}} [http://jeff560.tripod.com/nth.html Earliest Uses of Symbols of Number Theory]</ref>。

== 代数構造 ==
{| class="wikitable" style="margin: 1ex auto 1ex auto;"
|+ 整数の集合における基本性質
!  !! 加法 !! 乗法
|-
! 演算の[[閉性]]
| ''a'' + ''b'' は整数 || ''a'' &times; ''b'' は整数
|-
! [[結合法則|結合性]] 
| ''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c'' || ''a'' &times; (''b'' &times; ''c'') = (''a'' &times; ''b'') &times; ''c''
|-
! [[交換法則|可換性]] 
| ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' || ''a'' &times; ''b'' = ''b'' &times; ''a''
|-
! [[中立元]]の存在性 
| ''a'' + 0 = ''a'' （[[加法単位元|零元]]）|| ''a'' &times; 1 = ''a'' （[[乗法単位元|単位元]]）
|-
! [[逆元]]の存在性
| ''a'' + (&minus;''a'') = 0（[[反数]]） || &plusmn;1 &times; &plusmn;1 = 1 （それ以外は逆元無し）
|-
| colspan=3 |
|-
! [[分配法則|分配性]]
| colspan=2 align=center| ''a'' &times; (''b'' + ''c'') = (''a'' &times; ''b'') + (''a'' &times; ''c''), および (''a'' + ''b'')&times; ''c'' = ''a'' &times; ''c'' + ''b'' &times; ''c''
|-
! [[零因子]]がない 
|| || ''a'' &times; ''b'' = 0 ならば ''a'' = 0 または ''b'' = 0
|}

加法についての五性質は、整数の全体 '''Z''' が加法に対して[[アーベル群]]となることを主張するものである。また、任意の整数 ''n'' は
:<math>n = \left\{\begin{align}[ll]
  &\underbrace{\,1 + 1 + \cdots + 1\,}_{n \text{ times}} & (n > 0) \\
  &0 & (n = 0) \\
  &\underbrace{\!(-1) + \cdots + (-1)\!}_{|n| \text{ times}} & (n < 0)
\end{align}\right.</math>
なる形に書けるから、'''Z''' は 1 の生成する無限[[巡回群]] &lang;1&rang; になる。特に '''Z''' は[[群同型|同型]][[の違いを除いて]]唯一の無限巡回群である。

乗法についての四性質は、'''Z''' が乗法に関しては可換[[モノイド]]をなすことを言うものである。

零因子の非存在以外の全ての性質を合わせれば、整数の全体 '''Z''' は[[単位的環|単位的]][[可換環]]であることがわかる。整数全体の成す環は整数環と呼ばれる。例えば負の数同士の積が正となるという性質
: (&minus;''a'') &times; (&minus;''b'') = ''a'' &times; ''b''
は、整数の全体が[[環 (数学)|環]]であることを用いれば、''n'' を任意の整数とするとき、逆元の一意性による &minus;(&minus;''n'') = ''n'' と 0 が[[吸収元]]すなわち ''n'' &times; 0 = 0 =  0 &times; ''n'' = 0 となることなどを使って[[証明 (数学)|証明]]できる。

整数環 '''Z''' は零因子を持たない単位的可換環ゆえに[[整域]]である。逆元を持つ整数は {&plusmn;1} の二つだけであり、'''Z''' から 0 を除いた集合は除法について閉じていないので、'''Z''' は[[可換体|体]]にならない。

乗法の逆演算としての通常の除法は '''Z''' 上で定義された演算とはならないけれども、しかし '''Z''' は[[除法の原理]]と呼ばれる性質「任意の整数''a'' と任意の整数 ''b'' &ne; 0 に対して、''a'' = ''qb'' + ''r'' かつ 0 ≦ ''r'' &lt; &#x7c;''b''&#x7c; を満たす二つの整数''q'' と''r'' が存在する」が成り立つので、「余りのある除法」を定義することができて、'''Z''' は[[ユークリッド整域]]となる。特に ''x'' と ''y'' の最大公約数が ''d'' のとき、''ax'' + ''by'' = ''d'' を満たす整数 ''a'', ''b'' が存在することは[[ユークリッドの互除法]]などにより保証され
: (''x'') + (''y'') = (''d'')
が成り立つから、'''Z''' が[[単項イデアル整域]]であることがわかる。ここから導かれる、任意の整数が単元を掛ける違いを除いて素数の積として一意に表されるという重要な事実は[[算術の基本定理]]と呼ばれ、'''Z''' が[[一意分解環]]であることを示す。

== 順序構造 ==
<math>\mathbf Z</math> における通常の大小関係

<math>\ldots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\ldots </math>

は、上にも下にも有界でない[[全順序関係]]であり、
# <math>a<b</math> かつ <math>c<d</math> ならば <math>a+c<b+d</math>,
# <math>a<b</math> かつ <math>0<c</math> ならば <math>ac<bc</math>
が成り立つという意味で <math>\mathbf Z</math> の環構造と両立し、<math>\mathbf Z</math> は[[順序環]]となる。0 より大きな元は「正」、0 より小さな元は「負」である。正の整数全体 <math>\mathbf N</math> は、任意の整数 <math>x</math> に対し <math>x</math> または <math>-x</math> が <math>\mathbf N</math> に属するという意味で <math>\mathbf Z</math> の[[付値環|賦値環]]である。

== 厳密な構成 ==
[[file:Relative numbers representation.svg|thumb|300px|right|格子点と整数との対応]]
自然数の全体 '''N''' は減法について閉じていないが、上ではそれを補完するものとして負整数を導入し、整数の全体 '''Z''' を構成した。それと本質的には変わらないが、よく知られる方法<ref>{{Harvtxt|エビングハウス他|2004}}</ref>としてここでは、減法を陽に持ち出さずに、自然数の加法と乗法のみから[[同値関係]]や商集合といった道具を使って、整数が厳密に構成できることを記しておく。なお、以下の構成では、自然数には 0 を含まないとする<ref group="note">つまり、整数の構成に際して、自然数に 0 を含んでも含まなくてもどちらでも構わないことも注意する必要がある。</ref>。

まず、[[直積集合]] '''N'''<sup>2</sup> = '''N''' × '''N''' = {(''a'', ''b'') | ''a'', ''b'' は自然数} を考える<ref name="equivalence" group="note">かなり技巧的な作業のように見えるが、自然数を二つの自然数の差として (''a'', ''b'') = ''a'' &minus; ''b'' というつもりで書いてあるものとして読んで差し支えない。差が一定の自然数の組は無数にあるので、実際には [''a'', ''b''] = ''a'' &minus; ''b'' と考えるべきだが、そう考えることに整合性があることを確かめるのが、多少抽象的であるが、途中で同値関係で割ったり、同値類の間に演算を導入したりする部分である。</ref>。'''N'''<sup>2</sup> に[[同値関係]] &sim; を
: (''a'', ''b'') &sim; (''c'', ''d'') &hArr; ''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''
と定義することができる。ここで、'''N'''<sup>2</sup> を同値関係 &sim; で類別した集合（商集合）'''N'''<sup>2</sup>/&sim; を考える。これは、互いに同値なもの全体の集合（同値類）を元とするような集合であり、直観的には互いに同値であるようなものを同一視する操作である。(''a'', ''b'') &isin; '''N'''<sup>2</sup> の属する同値類を [''a'', ''b''] &isin; '''N'''<sup>2</sup>/''R'' と表すことにする。つまり、[''a'', ''b''] は
: [''a'', ''b''] = {(''c'', ''d'') &isin; '''N'''<sup>2</sup> | (''a'', ''b'') &sim; (''c'', ''d'')} 
となる集合である。同値類を [''a'', ''b''] のように表すとき、(''a'', ''b'') をこの同値類の代表元と呼ぶ。代表元は同値なものでありさえすれば、他のものに取り替えることができる<ref name="equivalence" group="note" />。商集合 '''N'''<sup>2</sup>/&sim; に加法 + と乗法 &times; を
: [''a'', ''b''] + [''c'', ''d''] = [''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'']
: [''a'', ''b''] &times; [''c'', ''d''] = [''ac'' + ''bd'', ''ad'' + ''bc'']
と定義すると、これらは代表元の取り方によらずに、同値類同士の演算としてうまく定義されていることが確かめられる<ref name="equivalence" group="note" />。

このとき、[''a'', ''b''] + [''m'', ''m''] = [''a'' + ''m'', ''b'' + ''m''] = [''a'', ''b''] であるから、''R'' = {(''m'', ''m'') | ''m'' &isin; '''N'''} は '''N'''<sup>2</sup>/&sim; の加法に関する[[単位元]]である。

また、自然数 ''m'' に対して [''m'' + 1, 1] を対応させる写像は[[単射]]で、
: [''m'' + 1, 1] + [''n'' + 1, 1] = [''m'' + ''n'' + 2, 2] = [(''m'' + ''n'') + 1, 1],
: [''m'' + 1, 1] × [''n'' + 1, 1] = [(''m'' + 1)(''n'' + 1) + 1, (''m'' + 1) + (''n'' + 1)] = [''mn'' + 1, 1]
を満たす（[[準同型]]）から、 '''N''' は '''N'''<sup>2</sup>/&sim; に[[環準同型|演算まで込めて]]埋め込める
<ref group="note">0を自然数と認める場合、自然数 ''m'' に対して [''m'', 0] を対応させる写像が単射になる。
: [''m'', 0] + [''n'', 0] = [''m'' + ''n'', 0],
: [''m'', 0] × [''n'', 0] = [''mn'', 0]
を満たすので、演算まで込めて埋め込める。</ref>。

[[記号の濫用]]ではあるが、自然数 ''m'' を埋め込んだ先と同一視して ''m'' = [''m'' + 1, 1] と書くことにし、これを（正の）整数 ''m'' と呼ぶ
<ref group="note">0を自然数と認める場合、''m'' = [''m'', 0]と書く。</ref>。

同様の埋め込みは、自然数 ''m'' に対して [1, ''m'' + 1] を対応させることでも得られるが、和と積は
: [1, ''m'' + 1] + [1, ''n'' + 1] = [1, (''m'' + ''n'') + 1],
: [1, ''m'' + 1] × [1, ''n'' + 1] = [1 + (''m'' + 1)(''n'' + 1), (''m'' + 1) + (''n'' + 1)] = [''mn'' + 1, 1]
となる。自然数 ''m'' に対し、新たな記号 &minus;''m'' を [1, ''m'' + 1] を表すものとして導入し、これを負整数 &minus;''m'' と呼ぶ
<ref group="note">0を自然数と認める場合、0でない自然数 ''m'' に対して [0, ''m''] を対応させることで負の整数 &minus;''m'' が構成できる。このとき、
: [0, ''m''] + [0, ''n''] = [0, ''m'' + ''n''],
: [0, ''m''] × [0, ''n''] = [''mn'', 0]
となる。</ref>。

負整数同士の積が正整数になっていることが確認できる。

このとき、''m'' + (&minus;''m'') = [''m'' + 1, 1] + [1, ''m'' + 1] = [''m'' + 2, ''m'' + 2] = ''R'' だから、負整数 &minus;''m'' = [1, ''m'' + 1] は '''N'''<sup>2</sup>/&sim; においてはちょうど、正整数 ''m'' = [''m'' + 1, 1] の加法に関する逆元になっている
<ref group="note">0を自然数と認める場合、''m'' + (&minus;''m'') = [''m'', 0] + [0, ''m''] = [''m'', ''m''] = ''R'' となり、やはり負の整数 &minus;''m'' は '''N'''<sup>2</sup>/&sim; において、正の整数 ''m''の加法に関する逆元になっている
</ref>。

''R'' をあらためて 0 と書くことにして、'''N'''<sup>2</sup>/&sim; = {''m'', 0, &minus;''m'' | ''m'' &isin; '''N'''} を整数全体の集合と呼び、改めて '''Z''' と書くことにしよう。

このようにして整数の全体 '''Z''' が厳密に定義されたが、なお定義に従えば '''Z''' において結合法則や分配法則などの環の公理が満たされることが証明できる。

== 一般化 ==
* [[二次の整数]]
** [[ガウス整数]]
** [[アイゼンシュタイン整数]]

== コンピュータにおける整数表現 ==
{{main|整数型}}
[[コンピュータ]]の内部では電気的な信号の有無を 1 と 0 に割り当て、[[二進法|2進法]]を用いて整数を表現するのが基本である。通常は、2 [[バイト (情報)|バイト]]（16 [[ビット]]）または 4 バイト（32 ビット）の範囲で表現できる範囲の数を扱う。負の値を扱う場合は、[[2の補数]]表現などが用いられる。通常は有限の範囲の整数しか扱うことができないが、処理速度を犠牲にして（記憶容量が許す限りの）任意長の整数を扱う方法もある。

事務処理などで金額などの桁数の大きな数や、利息計算などの10進表現による小数計算を正しく扱う必要がある場合には、[[二進化十進表現]]が用いられる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{reflist|group=note}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書
|author=足立恒雄|authorlink=足立恒雄
|date=2013-12-20
|title=数の発明
|publisher=[[岩波書店]]
|isbn=978-4-00-029619-9
|ref={{Harvid|足立|2013}}
}}
*{{Cite book|和書
|author=彌永昌吉|authorlink=彌永昌吉
|date=1978-04-20
|title=数の体系
|volume=(下)
|series=岩波新書 黄版 43
|publisher=[[岩波書店]]
|isbn=978-4-00-420043-7
|ref={{Harvid|彌永|1978}}
}}
*{{Cite book|和書
|title=数
|volume=(上)
|edition=新装版
|series=シュプリンガー数学リーディングス 6
|author=H.‐D.エビングハウス他
|translator=成木 勇夫
|publisher=丸善出版
|year=2004-11
|isbn=978-4-621-06411-5
|ref={{Harvid|エビングハウス他|2004}}
}}
*{{Cite book|和書
|author=高木貞治|authorlink=高木貞治
|date=1970-09-19
|title=数の概念
|edition=改版
|publisher=[[岩波書店]]
|isbn=978-4-00-005153-8
|ref={{Harvid|高木|1970}}
}}
**{{Cite book|和書
|author=高木貞治
|date=2019-10-20
|title=数の概念
|series=[[ブルーバックス]] B-2114
|publisher=[[講談社]]
|isbn=978-4-06-517067-0
|ref={{Harvid|高木|2019}}
}}
*{{Cite book|和書
|author=保江邦夫|authorlink=保江邦夫
|date=2002-12
|title=数の論理　マイナスかけるマイナスはなぜプラスか？
|series=ブルーバックス B-1397
|publisher=講談社
|isbn=978-4-06-257397-9
|ref={{Harvid|保江|2002}}
}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[自然数]]
*[[剰余類環]]
*[[整数型]]
*[[ユークリッド整域]]
*[[有理数]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|整数}}
*{{MathWorld|title=Integer|urlname=Integer}}

{{数の体系}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:せいすう}}
[[Category:実数]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数論]]
[[Category:整数|*]]
[[Category:整数の類|*せいすう]]
[[Category:代数学]]
[[Category:有理数]]