整数行列のソースを表示

[[数学]]の分野において、'''整数行列'''（せいすうぎょうれつ、{{Lang-en-short|integer matrix}}）とは、すべての成分が[[整数]]であるような[[行列]]のことを言う。{{仮リンク|二値行列|en|binary matrix}}や[[零行列]]、[[単位行列]]、[[グラフ理論]]で用いられる[[隣接行列]]、その他多くの行列が、整数行列の例として挙げられる。整数行列は、[[組み合わせ論]]において頻繁に応用されている。

== 例 ==
:<math>\left(\begin{array}{cccc} 5 & 2 & 6 & 0\\ 4 & 7 & 3 & 8\\ 5 & 9 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 0 & -3\\ 9 & 0 & 2 & 1\end{array}\right)</math>&nbsp; &nbsp; や &nbsp; &nbsp; <math>\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0\\ 0 & 9 & 2\\ 1 & 7 & 3\end{array}\right)</math>
は、いずれも整数行列である。

== 性質 ==
整数行列の[[正則行列|可逆性]]は、一般的に、非整数行列のそれよりも数値的に安定である。整数行列の[[行列式]]はそれ自身が整数であり、したがって可逆な整数行列の行列式の絶対値としてあり得る最小の数は 1 であり、そのような絶対値は逆行列が存在する場合は過度に大きくなることはないことが分かる（[[条件数]]を参照）。行列式から性質を推測するような[[行列|行列理論]]の定理は、したがって、（行列式が「ほぼ」ゼロであるような）悪条件（ill-conditioned）[[実]]あるいは[[浮動小数点数]]値行列により引き起こされる問題を避けるものとなる。

整数行列 <math>M</math> の逆がふたたび整数行列であるための必要十分条件は、<math>M</math> の行列式がちょうど <math>1</math> あるいは <math>-1</math> であることである。行列式が <math>\pm 1</math> であるような整数行列は、算数や幾何の分野において幅広く応用される群 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbf{Z})</math> を形成する。<math>n=2</math> に対して、その群は[[モジュラー群]]と密接に関連している。

整数行列と[[直交群]]の積集合は、[[置換行列|符号付置換行列]]の群である。

整数行列の[[特性多項式]]は、整数係数を持つ。行列の[[固有値]]はその多項式の根で与えられるため、整数行列の固有値は[[代数的数|代数的整数]]である。[[アーベル-ルフィニの定理|次元が 5 より少ない場合]]、それらはしたがって整数を含む[[冪根]]で表現される。

整数行列は英語で integer matrix であるが、しばしば integral matrix と呼ばれることもある。しかしこの語は推奨されていない。

== 関連項目 ==
* [[ユニモジュラ行列]]

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/IntegerMatrix.html Integer Matrix at MathWorld]

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