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整礎的集合
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'''整礎的集合'''（せいそてきしゅうごう、well-founded set）とは、[[空集合]]に[[合併 (集合論)|和集合演算]]やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる[[集合]]である。 == 定義 == すべての[[順序数]] α に対して、集合 ''V''<sub>α</sub> を次のように再帰的に定義する： # <math>V_0 = \varnothing</math>, # <math>V_{\alpha + 1} = \mathcal{P}(V_\alpha)</math> , # <math>\alpha\,</math> が[[順序数#後続順序数と極限順序数|極限順序数]]のとき、 <math>V_\alpha = \bigcup\{ V_\beta \mid \beta < \alpha\}</math> 。 ある順序数 α に対して ''x'' ∈ ''V''<sub>α</sub> であるような集合 ''x'' を'''整礎的集合'''と呼ぶ。 == ''V''<sub>α</sub> の性質 == # すべての順序数α, β に対して，α < β ならば，''V''<sub>α</sub> ⊆ ''V''<sub>β</sub> となる。 # すべての順序数α に対して，''V''<sub>α</sub> は[[推移的集合]]である。すなわち，''V''<sub>α</sub> ⊆ ''P''(''V''<sub>α</sub>) となる。 # '''ON''' を順序数全体の[[クラス(集合論)|クラス]]とすると，すべての順序数α に対して，''V''<sub>α</sub> ∩ '''ON''' = α となる。 {{節stub}} == 集合の階数 == 整礎的集合 ''x'' に対して、''x'' ∈ ''V''<sub>α + 1</sub> をみたす最小の順序数 α を ''x'' の'''階数'''（rank）といい、これを rank(''x'') で表す。 rank(''x'') = sup {rank(''y'')+1 | y ∈ x} が成立する。 == 正則性公理と整礎的集合 == [[正則性公理]]を用いると、すべての集合が整礎的であることが示される。したがって、すべての集合に階数が定義される。 {{節stub}} == 関連項目 == * [[集合]] * [[集合論]] * [[公理的集合論]] * [[順序数]] * [[構成可能集合]] * [[整礎関係]] {{Settheory-stub}} {{デフォルトソート:せいそてきしゆうこう}} [[Category:集合論]] [[Category:数学に関する記事]] [[de:Fundierte Menge]] [[es:Orden bien fundamentado]]
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