整閉整域のソースを表示

{{Expand English|Integrally closed domain|date=2024年5月}}
[[可換環論]]において、'''整閉整域'''（せいへいせいいき、{{lang-en-short|Integrally closed domain}}）とは、[[商体]]の中で[[整閉]]な[[整域]]のことである。すなわち、整域 ''A'' の商体 ''K'' の元 ''x'' がモニックな多項式関係 <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0\;(a_i\in A)</math> を満たせば ''x'' ∈ ''A'' が導かれるとき、''A'' を整閉整域という。
{{可換環のクラス}}

== 例 ==
* [[一意分解整域]] (UFD) は整閉整域である。特に、[[単項イデアル整域]]や UFD 上の多項式環も整閉整域である。
* [[デデキント整域]]は整閉整域である。
* 整閉整域でない例として、体 ''k'' 上の多項式環 ''k''&thinsp;[''t''] の部分整域 ''k''&thinsp;[''t''{{sup|2}}, ''t''{{sup|3}}] がある。これは ''k''&thinsp;[''X'', ''Y'']/(''Y''{{sup|2}} &minus; ''X''{{sup|3}}) と同型であり、平面代数曲線 ''Y''{{sup|2}} = ''X''{{sup|3}} の原点における特異性が、整閉でないことと関係している。

== 性質 ==
整域 ''A'' について次は同値：
* ''A'' は整閉
* 任意の素イデアルによる[[環の局所化|局所化]]は整閉
* 任意の極大イデアルによる局所化は整閉

== 正規環 ==
任意の素イデアルによる局所化が整閉整域であるような環を'''正規環''' ({{en|normal ring}}) と呼ぶ著者もいる（例えば、セール、グロタンディーク、松村）。

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author=堀田良之 |title=可換環と体 |publisher=岩波書店 |year=2006 |isbn=4-00-005198-9 |ref=harv}}
* {{Cite book|和書 |author=松村英之 |title=可換環論 |publisher=共立出版 |year=1980 |location=東京 |isbn=4-320-01658-0}}

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[[Category:可換環論]]
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