斜めCTのソースを表示

'''斜めCT'''（ななめCT）とは、[[X線]]検査装置のうち傾斜コーンビーム方式を用いた[[コンピュータ断層撮影|CT]]装置を指す。

名前のとおり、斜めCTは、X線を斜め方向から対象物体に照射し、検出器でその[[透視画像]]を各方向から撮影することで、対象物体の[[断層]]像を得る。一般的に、斜めCT装置では回転台に対象物体を置き、回転台を回すことによって各方向から撮影画像を得る。基板のような薄い物体の断層像を得て、その欠陥を発見することができる<ref name=":0">{{Cite book|author=戸田裕之|title=X線CT―産業・理工学でのトモグラフィー実践活用|date=|year=|accessdate=2019.2.5|publisher=共立出版|author2=|author3=|author4=|author5=|author6=|author7=|author8=|author9=|isbn=978-4-320-08222-9}}</ref>。

2008年現在、斜めCTでは、検出器を垂直方向から水平方向まで置いて撮影した画像に対して、対象物体の断層像を得ることができる。対象物体の断層像を得る[[アルゴリズム]]は、3次元CT画像再構成法である[[FDK法]]<ref name=":0" />から導出できる。すなわち、検出器を垂直方向に置いた時は、FDK法をそのまま使って画像再構成を行い、他の方向に置いた場合は、[[媒介変数|座標変換]]を行って、FDK法の導出方法に合わせれば、すぐに再構成数式が導出できる。

==応用領域==
{{節スタブ}}

==垂直検出器撮像方法および座標系==
まず、検出器座標系を次のように表示する。
: <math>\vec{e}_u = (-\sin\lambda, \cos\lambda, 0)</math>,   <math>\vec{e}_w = (0, 0, 1)</math>.
また、
: <math>\overline{v}=x\cos\lambda+y\sin\lambda</math>
とすると、検出器上の点 <math>(\overline{u},\overline{w})</math> と対象物体の座標系の点 <math>(x, y, z)</math> の関係は、次のように表示することができる。
: <math>\overline{u}=\frac{R}{R-\overline{v}}(-x\sin\lambda+y\cos\lambda)</math>,     <math>\overline{w}=\frac{R}{R-\overline{v}}(z-d) + d</math>.

==垂直検出器撮像の再構成方法==
コーンビームCT画像再構成であるFDK法は、次のように表示できる。
: <math>f(x,y,z) = -\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi} d\lambda \frac{R^2}{(R-\overline{v})^2} \int du h(\overline{u} - u) g_\lambda(u, \overline{w}) \frac{R}{\sqrt{R^2+u^2+(\overline{w}-d)^2}}</math>.
上述の式において、関数<math>h() </math>はRampフィルタである。

==水平検出器撮像方法および座標系==
まず、検出器座標系を次のように表示する。
: <math>\vec{e}_p = (-\sin\lambda, \cos\lambda, 0)</math>,   <math>\vec{e}_q = (-\cos\lambda, -\sin\lambda, 0)</math>.
検出器上の点 <math>(\overline{p},\overline{q})</math> と対象物体の座標系の点 <math>(x, y, z)</math> の関係は、次のように表示することができる。
: <math>\overline{p}=\frac{d}{d-z}(-x\sin\lambda+y\cos\lambda)</math>,     <math>\overline{q}=-\frac{d}{d-z}(x\cos\lambda+y\sin\lambda) + \frac{Rz}{d-z}</math>.

==水平検出器撮像の再構成方法==
まず、座標変換を行い、その結果をFDK法を導出する式に合わせると、画像再構成式は次のようになる。
: <math>f(x,y,z) = -\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi} d\lambda \frac{R^2}{(R-\overline{v})^2} \int dp h(\overline{p} - p) g_\lambda(p, \overline{q}) \frac{(R+\overline{q})^2}{R\sqrt{(R+\overline{q})^2+p^2+d^2}}</math>.

==任意検出器撮像方法および座標系==
まず、任意検出器座標系を次のように表示する。
: <math>\vec{e}_\varphi = (-\sin\lambda, \cos\lambda, 0)</math>,   <math>\vec{e}_\chi = (-\cos\lambda, -\sin\lambda, 0)\sin\theta + (0,0,1)\cos\theta</math>.
検出器上の点 <math>(\overline{\varphi},\overline{\chi})</math> と対象物体の座標系の点 <math>(x, y, z)</math> の関係は、次のように表示することができる。
: <math>\overline{\varphi}=\frac{(R\cos\theta+d\sin\theta)(-x\sin\lambda+y\cos\lambda)}{(R-x\cos\lambda-y\sin\lambda)\cos\theta + (d-z)\sin\theta}</math>,     <math>\overline{\chi}=\frac{Rz-d(x\cos\lambda+y\sin\lambda)}{(R-x\cos\lambda-y\sin\lambda)\cos\theta + (d-z)\sin\theta}</math>.

==任意検出器撮像の再構成方法==
まず、座標変換を行い、その結果をFDK法を導出する式に合わせると、画像再構成式は次のようになる。
: <math>f(x,y,z) = -\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi} d\lambda \frac{R^2}{(R-\overline{v})^2} \int d\varphi h(\overline{\varphi} - \varphi) g_\lambda(\varphi, \overline{\chi}) \frac{(R+\overline{\chi}\sin\theta)^2}{R\sqrt{(R+\overline{\chi}\sin\theta)^2+\varphi^2+(d-\overline{\chi}\cos\theta)^2}}</math>.

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

{{デフォルトソート:ななめCT}}
[[Category:医療機器]]
[[Category:非破壊検査]]
[[Category:X線]]
[[Category:トモグラフィー]]

[[de:Computertomographie#Spiral- oder Helix-CT]]