斜交群のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年3月}}
{{Groups}}
数学において、'''斜交群'''（しゃこうぐん、{{lang-en-short|symplectic group}}）または'''シンプレクティック群'''は、極めて密接に関連するが、異なる 2 つの[[群 (数学)|群]]を意味し得る。
この記事では、この二つの群を Sp(2''n'', ''F'') および Sp(''n'') と記す。
前者と区別するため、後者は屡、'''コンパクト斜交群'''と呼ばれる。
多くの筆者が若干異なる記号を使う傾向にあるが、それは、2 の因数だけ異なる。
ここでの記号は、群を表現するために使う[[行列]]の大きさに合わせることとする。

== Sp(2''n'', ''F'') ==

[[可換体|体]] ''F'' の上の 2''n'' 次の斜交群 Sp(2''n'', ''F'') とは、成分を ''F'' に持つ ''2n'' × ''2n'' [[斜交行列]]全体の、行列の掛け算を群の演算とする群である。
全ての斜交行列の行列式は 1 だから、斜交群は、特殊線形群 SL(2''n'', ''F'') の部分群である。

より形式的には、斜交群は、''F'' 上の 2''n'' 次元[[ベクトル空間]]の線形変換であって、非退化反対称双線形形式を保存するもの全体の集合として定義できる。
この様なベクトル空間は、[[斜交ベクトル空間]]と呼ばれる。
抽象斜交ベクトル空間 ''V'' の斜交群はまた、Sp(''V'') と書く。

''n'' = 1 のとき、行列の斜交条件は、行列式が 1 であることと同値であり、従って Sp(2, ''F'') = SL(2, ''F'') である。
''n'' > 1 のときには、追加的条件が必要となる。

典型的には、''F'' は[[実数]]体 '''R''' または[[複素数]]体 '''C''' である。
この場合、Sp(2''n'', ''F'') は、実または複素次元 ''n''(2''n'' + 1) の実または複素[[リー群]]である。
これら群は連結だがコンパクトではない。
Sp(2''n'', '''C''') は単連結であるが、Sp(2''n'', '''R''') は [[整数|'''Z''']] に同型な基本群を有する。

Sp(2''n'', ''F'') の[[リー環]]は、以下の式を満たす 2''n''×2''n'' 行列全体の集合である。
{{Indent|Ω''A'' + ''<sup>t</sup>A''Ω <nowiki>=</nowiki> 0}}
ここで、''<sup>t</sup>A'' は ''A'' の[[転置行列|転置]]、Ω は以下の反対称行列である。
{{Indent|<math>\Omega =
\begin{pmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>}}

== Sp(''n'') ==

斜交群 Sp(''n'') は、GL(n, '''H''') （可逆[[四元数|四元]]行列全体）の部分群であって、'''H'''<sup>''n''</sup> 上の標準エルミート形式
{{Indent|<math>\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n</math>}}
を保存するものである。
つまり、Sp(''n'') は単なる四元ユニタリ群 U(''n'', '''H''') だということである。
実際、時として'''超ユニタリ群'''（{{lang-en-short|hyperunitary group}}）と呼ばれることもある。
また、Sp(1) は、単位長を有する四元数全体の集合、つまり 3 次元[[超球面]] S<sup>3</sup> である。
Sp(''n'') は前節の意味で斜交群ではないことに注意されたい。というのも、'''H'''<sup>''n''</sup> 上の反対称形式を保存しないからである（実際のところ、この様な形式は存在しない）。
この群を「斜交」群と呼ぶ理由については、次節で説明する。

Sp(''n'') は、''n''(2''n'' + 1) 次元の実リー群である。
これは[[コンパクト空間|コンパクト]]、[[連結空間|連結]]かつ単連結である。
Sp(''n'') のリー環は、
{{Indent|''A'' + ''A''<sup>†</sup> <nowiki>=</nowiki> 0}}
を満たす ''n''×''n'' 四元行列の集合である。ここで、''A''<sup>†</sup> は、''A'' の[[随伴行列]]である（共軛は、四元共軛を取る）。
リー括弧積は、可換子により与えられる。

== 斜交群間の関係 ==

群 Sp(2''n'', '''R''')、Sp(2''n'', '''C''')、Sp(''n'') の間の関係は、そのリー環で最も顕著に表れる。
これらの群を実リー群とみなしたとき、同一の複素化（英：complexification）を有する。
[[エリ・カルタン|カルタン]]による単純リー環の分類では、このリー環は ''C''<sub>''n''</sub> と記す。

多少言い換えると、複素リー環 ''C''<sub>''n''</sub> は、複素リー群 Sp(2''n'', '''C''') のリー環 '''sp'''(2''n'', '''C''') そのものである。
このリー環は、以下の 2 つの異なる実形式を有する。
# コンパクト形式 '''sp'''(''n'')、Sp(''n'') のリー環である。
# 正規形式 '''sp'''(2''n'', '''R''')、Sp(2''n'', '''R''') のリー環である。

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="maegin:0 auto;text-align:center;"
|+ style="margin-bottom:5pt"|斜交群の比較表
|-style="background:#ffdead;"
!
!行列
!リー群
!実次元
!複素次元
!コンパクト
!基本群 π<sub>1</sub>
|-
| style="background:#efefef;"|Sp(2''n'', '''R''')
|'''R'''
|実
|''n''(2''n'' + 1)
|&ndash;
| style="text-align:center;"|×
|'''Z'''
|-
| style="background:#efefef;"|Sp(2''n'', '''C''')
|'''C'''
|複素
|2''n''(2''n'' + 1)
|''n''(2''n'' + 1)
| style="text-align:center;"|×
|1
|-
| style="background:#efefef;"|Sp(''n'')
|'''H'''
|実
|''n''(2''n'' + 1)
|&ndash;
| style="text-align:center;"|○
|1
|}

== 関連項目 ==

* [[斜交行列]]
* [[斜交ベクトル空間]]
* [[シンプレクティック幾何学]]
* [[シンプレクティック多様体]]
* [[ハミルトン力学]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しやこうくん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:幾何学]]