斜交行列のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年3月}}
[[数学]]において、'''斜交行列'''（しゃこうぎょうれつ、{{lang-en-short|symplectic matrix}}：'''シンプレクティック行列'''）は、2''n''×2''n''　の[[行列]] ''M'' （要素は、典型的には[[実数]]または[[複素数]]）であって、以下の条件を満たすものをいう。
{{Indent|''<sup>t</sup>M''Ω''M'' <nowiki>=</nowiki> Ω}}
ここで、 ''<sup>t</sup>M'' は ''M'' の[[転置行列|転置]]を意味し、Ω はある固定された[[正則行列|非特異]]な[[反対称行列]]である。
Ω は、一般的には区分行列（block matrix）
{{Indent|<math>\Omega =
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}</math>}}
となる様に選ぶ。ここで、''I<sub>n</sub>'' は ''n''×''n'' 次の[[単位行列]]である。
Ω の[[行列式]]は +1 であり、逆行列は Ω<sup>&minus;1</sup> = &minus;Ω で与えられる。

== 特徴 ==

すべての斜交行列は[[正則行列|可逆]]であり、逆行列は下式で与えられる。
{{Indent|''M''<sup>&minus;1</sup> <nowiki>=</nowiki> Ω<sup>&minus;1 </sup>''<sup>t</sup>M''Ω}}
また、2 つの斜交行列の積はまた斜交行列になる。
これにより、すべての斜交行列全体の集合は、[[群 (数学)|群]]の構造を持つ。
この群には、多様体としての構造が自然に入り、それにより、この群は、[[斜交群]]（シンプレクティック群ともいう）と呼ばれる（実または複素）[[リー群]]になる。
斜交群は、 ''n''(2''n'' + 1) 次元である。

定義から直ちに、斜交行列の行列式が ±1 であることがわかる。
実際は、行列式は常に +1 である。
これは、[[パフィアン]]（{{lang-en-short|Pfaffian}}）と以下の恒等式を使うことにより確認できる。
{{Indent|Pf(''<sup>t</sup>M''Ω''M'') <nowiki>=</nowiki> det(''M'')Pf(Ω)}}
''<sup>t</sup>M''Ω''M'' = Ω かつ Pf(Ω) ≠ 0 だから、 det(''M'') = 1 を得る。

Ω として標準的なものを取り、''M'' は
{{Indent|<math>M = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}</math>}}
の形をした 2''n''×2''n'' の行列だとする。ここに、''A''、''B''、''C''、''D'' は ''n''×''n'' 行列である。
''M'' が斜交行列になる必要十分条件は、以下のすべてと同値である。
{{Indent|
''<sup>t</sup>AD'' &minus; ''<sup>t</sup>CB'' <nowiki>=</nowiki> ''I<sub>n</sub>''<br />
''<sup>t</sup>AC'' <nowiki>=</nowiki> ''<sup>t</sup>CA''<br />
''<sup>t</sup>BD'' <nowiki>=</nowiki> ''<sup>t</sup>DB''
}}
''n'' = 1 のときは、これらの条件は単一の条件 det(''M'') = 1 に単純化される。
つまり、2×2 行列は、行列式が 1 のときに斜交行列となる。

== 斜交変換 ==

線形代数の公理的な構成では、行列は有限次元[[ベクトル空間]]の線形変換に対応する。
公理的な構成で斜交行列に対応するのは、[[斜交ベクトル空間]]（シンプレクティックベクトル空間ともいう）の'''斜交変換'''（しゃこうへんかん、{{lang-en-short|symplectic transformation}}）である。
簡単に言うと、斜交ベクトル空間は、非退化反対称二次形式 ω を備えた2''n'' 次元のベクトル空間 ''V'' である。

このとき、斜交変換とは、ω を保存する、つまり下式を満たす線形変換 ''L'' : ''V'' → ''V'' である。
{{Indent|ω(''Lu'', ''Lv'') <nowiki>=</nowiki> ω(''u'', ''v'')}}
''V'' の基底を固定すると、ω は行列 Ω により、また ''L'' は行列 ''M'' により書くことができる。
''L'' が斜交変換になる必要十分条件は、以下により ''M'' が斜交行列になることである。
{{Indent|''<sup>t</sup>M''Ω''M'' <nowiki>=</nowiki> Ω}}

行列 ''A'' で表現される基底の取替えにより、以下が従う。
{{Indent|<math>\Omega \mapsto {}^tA \Omega A</math><br />
<math>M \mapsto A^{-1} M A</math>}}
''A'' を適当に選ぶことによって、何時でも Ω を標準形式のどれにすることもできる。

== 行列 Ω ==

斜交行列は、ある固定された特異反対称行列 Ω に関して定義される。
前節で記したように、Ω は非退化反対称二次形式の座標表現として考えることもできる。
この様な任意の 2 つの行列は基底の変換により互いに異なるのは、線型代数の基本的結果である。

上記の Ω 標準形と異なる最も一般的な代替は、以下の区分対角形式である。
{{Indent|<math>\Omega = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}
\end{bmatrix}</math>}}
この選択肢は、前記の標準形と基底ベクトルの置換の部分だけ異なる。

反対称行列の記号として、Ω の替わりに ''J'' を用いることがある。
これは、複素構造の記号に混乱をもたらすことから、特に不幸な選択である、というのも、複素構造は Ω と同一の座標表現を持つが、極めて異なる構造を表現するからである。
複素構造 ''J'' は、二乗すると &minus;1 になる線形変換の座標表現であるが、Ω は、非退化反対称二次形式の座標表現である。
''J'' が反対称でなく、または Ω が二乗して &minus;1 にならない基底を簡単に選ぶことができる。

ベクトル空間のエルミート構造（英：hermitian structure）が与えられたとき、''J'' と Ω は、下式を通じて関係する。
{{Indent|Ω<sub>''ab''</sub> <nowiki>=</nowiki> &minus;''g<sub>ac</sub>J<sup>c</sup><sub>b</sub>''}}
ここに、''g<sub>ac</sub>'' は計量である。
''J'' と Ω が通常、同一の座標表現を有する（全体の符号を除く）のは、計量 ''g'' が通常、単位行列であるという事実に基づく帰結に過ぎない。

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[斜交群]]
* [[斜交ベクトル空間]]
* [[直交行列]]
* [[ユニタリ作用素|ユニタリ行列]]
* [[ハミルトン力学]]

{{DEFAULTSORT:しやこうきようれつ}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:行列]]