斜体 (数学)のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年10月}}
'''斜体'''（しゃたい、{{lang-en-short|skew field}}; 歪体, {{lang-de-short|Schiefkörper}}, {{lang-fr-short|corps, corps gauche}}）は加減乗除が可能な代数系である{{sfn|森田|2003}}{{Refnest|group="注"|文献によっては、非可換な積を持つもののみを斜体と言う{{sfn|永田|1985}}}}。[[除法]]の可能な[[環 (数学)|環]]であるという意味で'''可除環'''（かじょかん、{{en|division ring}}, {{de|Divisionsring}}）ともいう{{sfn|堀田|2006}}。[[係数|係数環]]を持ち、[[多元環]]の構造を持つことを強調する場合は、特に'''多元体'''{{sfn|永尾|津島|2009}}（たげんたい、{{en|division algebra}}, {{fr|algèbre à division}}; '''可除多元環'''）と呼称することも多い<ref group="注">いかなる斜体も、その中心を係数体として多元環と見ることができるので、この区別は文脈上で立場を明確にする必要のある場合を除いてはさほど重要ではない</ref>。非可換な積を持つ体を'''非可換体'''（ひかかんたい、{{en|non-commutative field}}, {{fr|corps non commutatif}}）という{{sfn|永田|1985}}。

== 定義 ==
{{see also|体 (数学)}}
'''斜体'''とは、以下の条件を満たす加法と乗法と呼ばれる 2 つの[[二項演算]]によって定まる[[代数的構造]]のことである。以下、[[台集合]] ''K'' に加法 "+" と乗法 "&times;" が定められているとし、乗法の結果（積） ''a'' &times; ''b'' は ''ab'' と略記する。
* ''K'' は加法に関して[[アーベル群]]である： 
** ''a'', ''b'', ''c'' を ''K'' の任意の元とするとき、[[結合法則]] ''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c'' が成り立つ。
** ''a'' + 0<sub>''K''</sub> = 0<sub>''K''</sub> + ''a'' = ''a'' が ''K'' の元 ''a'' の取り方に依らずに満たされる[[零元]]と呼ばれる特別な元 0<sub>''K''</sub> が存在する。
** ''a'' が ''K'' の元ならばそれに対して ''a'' + (&minus;''a'') = (&minus;''a'') + ''a'' = 0<sub>''K''</sub> を満たす、[[マイナス元]]と呼ばれる元 &minus;''a'' が常に存在する。
** [[交換法則]]が成り立つ。つまり ''K'' のどんな元 ''a'', ''b'' についても、 ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' となる。
* ''K'' は乗法に関して[[モノイド]]であって、0 以外の元が[[群 (数学)|群]]をなす：
** ''a'', ''b'', ''c'' を ''K'' の任意の元とするとき、結合法則 ''a''(''bc'') = (''ab'')''c'' が成り立つ。
** ''a''1<sub>''K''</sub> = 1<sub>''K''</sub>''a'' = ''a'' が ''K'' の零元 0<sub>''K''</sub> でない元 ''a'' の取り方に依らずに満たされる[[単位元]]と呼ばれる特別な元 1<sub>''K''</sub> が存在する。
** ''a'' が零元 0<sub>''K''</sub> でない ''K'' の元ならばそれに対して ''aa''<sup>&minus;1</sup> = ''a''<sup>&minus;1</sup>''a'' = 1<sub>''K''</sub> を満たす、[[逆元]]と呼ばれる元 ''a''<sup>&minus;1</sup> が常に存在する。
* 乗法は加法に対して[[分配法則|分配的]]である： ''a'', ''b'', ''c'' を ''K'' の任意の元とするとき、''a''(''b'' + ''c'') = ''ab'' + ''ac'', (''a'' + ''b'')''c'' = ''ac'' + ''bc'' が成り立つ。
また、この条件を満たす代数的構造を備えた[[代数系]] (''K'', +, 0<sub>''K''</sub>, &times;, 1<sub>''K''</sub>) あるいは省略して単に集合 ''K'' は「斜体を成す」という。零元のみからなる集合 {0} は 1 = 0 と見れば上記の条件を満たし、'''自明な体'''と呼ばれるが往々理論的な障害となるため通常は除外して考える。つまり、体の定義に通常は
* 1 &ne; 0, すなわち乗法は零元でない単位元を持つ。
なる条件を加える。さらにもう一つ、乗法の可換性に関する条件
* ''K'' のどんな元 ''a'', ''b'' についても、 ''ab'' = ''ba'' が満たされる。
を加えるとき ''K'' を'''[[可換体|（可換）体]]'''と呼び、可換性が満たされない元を ''K'' が持つとき'''非可換体'''と呼ぶ。また一つの代数系 ''K'' に対してではなく、代数的構造の分類としてもこれらの用語を用いる。分類としての明確化のために、可換体・非可換体の両者をあわせて「必ずしも可換でない体」という用語を用いることがある。

上記の条件を非自明な単位的[[非可換環]] {{mvar|K}} に対して
* 可除性: ''x'' が[[加法単位元|零元]]でないならば、その乗法[[逆元]] {{math|''x''<sup>−1</sup> &isin; ''K''}} が存在する。
を条件として課したものと見るとき、しばしば'''可除環'''とも呼ばれる。

斜体の概念は、いくつかの立場から捉えられ用いられるため、それぞれの属する文脈でとくに積の[[結合法則|結合性]]を要求するか否かなどについて差異が認められる。たとえば非可換な体、あるいは可除な単位的（結合）環を相手にする文脈では結合的なものに限ることが多く、非結合的（分配的）多元環で可除なものとする立場からは非結合的（分配的）斜体が範疇に含まれうる。とくに非結合的斜体を認める立場からは[[アーサー・ケイリー]]の[[八元数]]の全体が成す非結合的分配環も斜体として扱うことができるため、八元数体という呼称が用いられることがある。

== 性質・諸概念 ==
逆元の存在から、斜体 ''D'' の零でない任意の左[[イデアル]]''Il''・右[[イデアル]]''Ir''・両側[[イデアル]]''I'' は ''D'' の単位元 1<sub>''D''</sub> を含まねばならず、それゆえ''Il''、''Ir''、 ''I'' は ''D'' 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアル（もしくは右イデアル）が零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ[[単純環|単純]]であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。（例：斜体上の行列環）

斜体 ''D'' の中心
:<math>C(D) := \{ x \in D \mid xy = yx \mbox{ for all } y \in D\}</math>
は[[可換体]]を成し、''D'' は中心 ''C''(''D'') 上の[[多元環]]となる。多元環に対すると同様、''D'' の中心に可換体 ''F'' が含まれるとき、''D'' は ''F'' 上定義されている、あるいは ''D'' は ''F'' 上の斜体であるという。逆に可換体 ''F'' が与えられたとき、''F'' を中心とするその上の斜体はどれくらい存在するのかとの問には ''F'' の[[ブラウアー群]]が答えをあたえる。これは、中心性および単純性が体の持ち上げで保たれることと、体上の[[単純環]]は常にある斜体上の全行列環に同型であるという[[アルティン・ウェダーバーンの定理]]とによるものである。

可換体 ''F'' 上の有限階数（つまりベクトル空間として有限次元）となる斜体 ''D'' の ''F'' 上の次元は平方数 ''n''<sup>2</sup> であり、この ''n'' を ''D'' の ''F'' 上の次数 <span lang="en">(degree)</span> とよぶ。次数 ''n'' は ''D'' における ''F'' を含む極大可換体 ''L'' の ''F'' 上の次元として得られることが知られている

特にある種の斜体は、アルティン環の極小イデアル上の自己準同型環として得られる。一般に、任意の環上の既約加群の自己準同型環が斜体を成すことを確かめることができ、それを[[シューアの補題]] <span lang="en">(Schur's lemma)</span> と呼ぶ。

斜体 ''D'' 上の（左・右）[[加群]]は可換体上の加群と同様に（ただし作用の左右は区別して）''D''上の[[ベクトル空間]]と呼ばれる。

斜体であるという性質は[[加群の圏]]の性質から特徴づけることもできる。環 ''R'' が斜体である必要十分条件はすべての左 ''R'' 加群が[[自由加群]]であることである{{sfn|Auslander|Buchsbaum|2004|loc=Theorem 6.8.8|p={{google books quote|id=MVEuBAAAQBAJ|page=221|221}}}}。

== 例 ==
*有理数の全体 '''Q''', [[実数]]の全体 '''R''', [[複素数]]の全体 '''C''' は[[可換体]]である。
*[[四元数]]の全体 '''H''' は非可換体である。
*逆に実数上有限次元な斜体は '''R''', '''C''', '''H''' のいずれかと同型である（[[フロベニウスの定理 (代数学)|フロベニウスの定理]]）。
*[[既約加群]]の[[自己準同型環]]は斜体である（[[シューアの補題]]）。
*（可換とは限らない）有限[[非可換整域|整域]]は可換体である（[[ウェダーバーンの小定理]]）。

== 諸概念 ==
{{see also|体論用語一覧}}
体 {{mvar|K}} が与えられたとき、その乗法構造を忘れて加法に関するアーベル群とみたときの代数系 {{math|(''K'', +)}} を体 {{mvar|K}} の'''[[加法群]]'''と呼ぶ。加法群を {{math|''K''<sup>+</sup>}} や {{math|[[代数群|'''G'''<sub>a</sub>]](''K'')}} と記す場合もある。また乗法構造のみに注目して、{{math|0}} を除く {{mvar|K}} の元の全体 {{math|''K''*}} に乗法を与えて得られる代数系 {{math|(''K''*, &times;)}} は[[単数群|群]]であり、'''[[乗法群]]'''と呼ばれる。{{mvar|K}} の乗法群をしばしば {{math|''K''<sup>&times;</sup>}} や {{math|[[代数群|'''G'''<sub>m</sub>]](''K'')}} またはときに [[一般線型群|{{math|''GL''{{sub|1}}(''K'')}}]] と記されることもある。体 {{mvar|K}} の乗法群の任意の有限部分群は[[巡回群]]である。

体の元の[[濃度 (数学)|濃度]]を'''位数'''といい、有限な位数を持つ体を[[有限体]]と呼び、そうでない体を'''無限体'''と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（[[ウェダーバーンの小定理]]）。

{{math|''n''&sdot;1}} で単位元 {{math|1}} を {{mvar|n}} 回足したものを表すとき、{{math|1=''n''&sdot;1 = 0}} となるような正の整数 {{mvar|n}} のうち最も小さなものをその体の[[標数]]という。ただし、そのような {{mvar|n}} が存在しないとき標数は {{math|0}} であると決める。体の標数は {{math|0}} または素数である。

体は {{math|0}} 以外の元が全て可逆となる[[単位的環]]である。したがって、その[[イデアル]]や部分環の概念を考えることができるが、体は自明でない両側イデアルを持たない（これを体は'''[[単純環]]'''であるという）。体の単位的環としての部分環がふたたび体をなすとき、[[体の拡大|部分体]]という。

体 {{mvar|K, L}} とその間の写像 {{math|''f'': ''K'' &rarr; ''L''}} が与えられたとき、{{mvar|f}} が'''体の準同型'''であるとは、単位的[[環準同型]]であることをいう。その像 {{math|1=Im(''f'') = {{mset|''f''(''x'') | ''x'' &isin; ''K''}}}} は {{mvar|L}} の部分体となり、核 {{math|1=Ker(''f'') = {{mset|''x'' &isin; ''K'' | ''f''(''x'') {{=}} 0<sub>''L''</sub>}}}} は {{mvar|K}} の両側イデアルとなるが、体が単純環であることと単位元が零元にうつることはないことから、体の[[準同型]]は必ず[[単射]]になる。したがって、体の準同型 {{math|''f'': ''K'' &rarr; ''L''}} の像 {{math|Im(''f'')}} は {{mvar|K}} に体として同型である。これを'''中への同型'''とよび、さらに {{mvar|f}} が[[全射]]であるとき'''上への同型'''であるという。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book
 | 和書
 | last1 = 森田
 | first1 = 康夫
 | year = 2003
 | title = 代数概論
 | series = 数学選書9
 | edition = 第12版
 | publisher = 裳華房
 | isbn = 978-4-7853-1311-1
 | ref = harv
}}
*{{Cite book
 | 和書
 | last1 = 永田
 | first1 = 雅宜
 | year = 1985
 | title = 可換体論
 | series = 数学選書6
 | edition = 新版
 | publisher = 裳華房
 | isbn = 978-4-7853-1309-8
 | ref = harv
}}
*{{Cite book
 | 和書
 | last1 = 堀田
 | first1 = 良之
 | year = 2006
 | title = 可換環と体
 | publisher = 岩波書店
 | isbn = 4-00-005198-9
 | ref = harv
}}
*{{Cite book
|和書
|last1      = 永尾
|first1     = 汎
|last2      = 津島
|first2     = 行男
|year       = 2009
|title      = 有限群の表現
|edition    = 第2版
|publisher  = 裳華房
|isbn       = 978-4-7853-1310-4
|ref        = harv
}}
*{{Cite book
|last1      = Auslander
|first1     = Maurice
|last2      = Buchsbaum
|first2     = David 
|year       = 2014
|title      = Groups, Rings, Modules
|url        = {{google books|MVEuBAAAQBAJ|Groups, Rings, Modules|plainurl=yes}}
|publisher  = Dover
|isbn       = 978-0-486-49082-3
|mr         = 0366959
|zbl        = 0325.13001
|ref        = harv
}}

== 関連項目 ==
* [[可換体]]
* [[環 (数学)]]
* [[類体論]]
* [[四元数]]

{{abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:しやたい}}
[[Category:環論]]
[[Category:代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]