断面二次モーメントのソースを表示

{{出典の明記|date=2023年12月10日 (日) 09:53 (UTC)}}
{{物理学}}
{{物理量|記号=''I''|L=4|SI=m<sup>4</sup>}}
'''断面二次モーメント'''（だんめんにじモーメント、{{lang-en|moment of inertia of area}}）とは、[[曲げモーメント]]に対する[[はり部材]]の変形のしにくさを表した量であり、[[慣性モーメント]]同様に ''I'' で表される。物体の[[断面]]を変えると、断面二次モーメントの値も変化するので、構造物の耐久性を向上させる上で、設計上の指標として用いられる。

一例として、[[鉄骨構造]]で最も多用される[[H型鋼]]は、H字の縦棒に相当する[[フランジ]]部分に断面を集中させることによって断面二次モーメントを向上させている。

== 定義 ==
断面を含む平面に''x'' 軸、''y'' 軸があるとする。 ''x'' 軸に関する断面二次モーメント ''I<sub>x</sub>'' は、断面の微小面積要素 d''A'' と、微小要素の ''x'' 軸からの距離 ''y'' を用いて以下のように書ける。

:<math>I_x=\int_A y^2 \mathrm{d}A</math>

同様に、 ''y'' 軸に関する断面二次モーメント ''I<sub>y</sub>'' は以下のように書ける。

:<math>I_y=\int_A x^2 \mathrm{d}A</math>

[[図心]]を通る ''X'' 軸に関する断面二次モーメント ''I<sub>X</sub>'' と、 ''X'' 軸から距離 ''b'' だけ移動した ''x'' 軸に関する断面二次モーメント ''I<sub>x</sub>'' の関係は、図形の断面積 ''A'' を用いると以下のようになる（[[平行軸の定理]]<ref name=shibuya>{{Cite book|和書|title=現代材料力学|author=渋谷寿一|author2=本間寛臣|author3=斎藤憲司|publisher=朝倉書店|year=1986|isbn=4-254-23051-6|pages=40, 109}}</ref>）

:<math>I_x=I_X+b^2 A</math>

図心を通る軸から断面の最も離れた点までの距離で、図心を通る断面二次モーメント ''I<sub>x</sub>'' を割った値を'''断面係数'''と呼び、はりに生じる最大曲げ応力を計算する際に用いる。

== 断面二次極モーメント ==
'''断面二次極モーメント'''（{{lang|en|polar moment of inertia of area}}）は、原点から微小面積 d''A'' までの距離を ''r'' として以下のように書ける。

:<math>I_\mathrm{p}=\int_A r^2 \mathrm{d}A</math>

ここで、同じ原点からの ''x'' 軸、 ''y'' 軸に関する断面二次モーメント ''I<sub>x</sub>'' 、 ''I<sub>y</sub>'' を用いると次の式が成り立つ。

:<math>I_\mathrm{p}=I_x+I_y</math>

断面二次極モーメントは丸棒のねじりを計算する際などに用いられる。[[横弾性係数]]''G'' と断面二次極モーメントの積は'''ねじり剛性'''と呼ばれ、ねじり剛性''GI''<sub>p</sub> の丸棒に[[トルク]]''T'' を加えると、部材長さlの丸棒のねじれ角&theta;は
:<math>\theta=\frac{Tl}{G I_\mathrm{p}}</math>
で与えられる。

次式で与えられる''Z''<sub>p</sub> を'''極断面係数'''<ref name=shibuya/>といい、断面に生じるせん断応力の最大値&tau;<sub>max</sub> を求める際に用いられる。
:<math>Z_\mathrm{p}:=\frac{I_\mathrm{p}}{d/2}</math>
:<math>\tau_\mathrm{max}=\frac{T}{Z_\mathrm{p}}</math>
ここで''d'' は直径である。

例として、直径''d'' の中実丸棒の断面二次極モーメント''I''<sub>p</sub> と極断面係数''Z''<sub>p</sub> は以下となる。
:<math>I_\mathrm{p}=\frac{\pi d^4}{32}</math>
:<math>Z_\mathrm{p}=\frac{\pi d^3}{16}</math>

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年12月|section=1}}
* {{Cite book |和書 |author1=柴田俊忍 |author2=大谷隆一 |author3=駒井謙治郎 |author4=井上達雄 |year=1991 |title=材料力学の基礎 |publisher=培風館 |isbn=4-563-03465-7}}

== 関連項目 ==
* [[弾性率]]
* [[建築]]
* [[断面一次モーメント]]
* [[断面二次半径]]
* [[曲げモーメント]]
* [[モーメント (数学)]]

== 外部リンク ==
* {{機械工学事典|id=07:1008095}}

{{Physics-stub}}
{{Architecture-stub}}

{{DEFAULTSORT:たんめんにしもめんと}}
[[Category:力学]]
[[Category:構造力学]]
[[Category:材料工学]]