断面曲率のソースを表示

{{要改訳}}
[[リーマン幾何学]]において、'''断面曲率'''({{lang-en-short|sectional curvature}})は、{{仮リンク|リーマン多様体の曲率|en|curvature of Riemannian manifolds}}を記述する方法のひとつである。断面曲率 ''K''(&sigma;<sub>''p''</sub>) は ''p'' の接空間内の 2次元平面 &sigma;<sub>''p''</sub> に依存する。断面曲率は[[曲面]]の[[ガウス曲率]]であり、&sigma;<sub>''p''</sub> 方向の点 ''p'' から始まる[[測地線]]より得られる ''p'' での接平面 &sigma;<sub>''p''</sub> を持つ（言い換えると、この平面は、''p'' での{{仮リンク|指数写像 (リーマン幾何学)|label=指数写像|en|exponential map (Riemannian geometry)}}の下の像である。断面曲率は、多様体上の 2次元{{仮リンク|グラスマン多様体|en|Grassmannian}}の[[ファイバーバンドル]]上の滑らかな実数値函数である。

断面曲率は、[[リーマン曲率テンソル]]を完全に決定する。
<!--In [[Riemannian geometry]], the '''sectional curvature''' is one of the ways to describe the [[curvature of Riemannian manifolds]]. The sectional curvature ''K''(&sigma;<sub>''p''</sub>) depends on a two-dimensional plane &sigma;<sub>''p''</sub> in the tangent space at ''p''. It is the [[Gaussian curvature]] of the [[surface]] which has the plane &sigma;<sub>''p''</sub> as a tangent plane at ''p'', obtained from [[geodesic]]s which start at ''p'' in the directions of &sigma;<sub>''p''</sub> (in other words, the image of &sigma;<sub>''p''</sub> under the [[exponential map (Riemannian geometry)|exponential map]] at ''p''). The sectional curvature is a smooth real-valued function on the 2-[[Grassmannian]] [[fiber bundle|bundle]] over the manifold.

The sectional curvature determines the [[Riemann curvature tensor|curvature tensor]] completely.-->

==定義==
[[リーマン多様体]]のある点上の 2つの[[線型独立|線型独立な]][[接ベクトル]] ''u'' と ''v'' に対し、断面曲率を

:<math>K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle\over \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle-\langle u,v\rangle^2}</math>

と定義する。ここに ''R'' は[[リーマン曲率テンソル]]である。

特に ''u'' と ''v'' が正規[[直交]]であれば、
:<math>K(u,v) = \langle R(u,v)v,u\rangle</math>
である。実際、断面曲率は、''p'' 上の接空間の中で ''u'' と ''v'' によりはられる 2次元平面 σ<sub>''p''</sub> に依存する。これを、'''2次元平面 &sigma;<sub>''p''</sub> の断面曲率'''との呼び、''K''(&sigma;<sub>''p''</sub>) で表す。
<!--==Definition==
Given a [[Riemannian manifold]] and two [[linearly independent]] [[tangent vectors]] at the same point, ''u'' and ''v'', we can define

:<math>K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle\over \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle-\langle u,v\rangle^2}</math>

Here ''R'' is the [[Riemann curvature tensor]].

In particular, if ''u'' and ''v'' are [[orthonormal]], then
:<math>K(u,v) = \langle R(u,v)v,u\rangle.</math>
The sectional curvature in fact depends only on the 2-plane σ<sub>''p''</sub> in the tangent space at ''p'' spanned by ''u'' and ''v''. It is called the '''sectional curvature of the 2-plane &sigma;<sub>''p''</sub>''', and is denoted ''K''(&sigma;<sub>''p''</sub>).-->

==定数断面曲率を持つ多様体==
{{see also|一意化定理}}
定数である断面曲率を持つ[[リーマン多様体]]は最も単純であり、これらは{{仮リンク|空間の形|en|space form}}(space form)と呼ばれる。計量をリスケールすることにより、3通りの可能性がある。
* 負の曲率 &minus;1, [[双曲幾何学]]
* 曲率 0, [[ユークリッド幾何学]]
* 正の曲率 +1, [[楕円幾何学]]
3つの幾何学的なモデルとなる多様体は、{{仮リンク|双曲空間|en|hyperbolic space}}(hyperbolic space), [[ユークリッド空間]] と単位[[n-球面|球面]]である。これらは、与えられた断面曲率を持つ単連結で[[完備空間|完備]]で[[単連結]]なリーマン多様体である。これ以外の単連結の定数曲率を持つ多様体すべては、ある[[等長]](isometries)でこれらを割った商空間である。

（次元が 3 または、それ以上の次元の）連結なリーマン多様体の各々の点に対し、断面曲率は 2-平面とは独立であるので、断面曲率は、実際、多様体全体で定数である。
<!--==Manifolds with constant sectional curvature==

[[Riemannian manifold]]s with constant sectional curvature are the most simple. These are called [[space form]]s.  By rescaling the metric there are three possible cases
*negative curvature &minus;1, [[hyperbolic geometry]]
*zero curvature, [[Euclidean geometry]]
*positive curvature +1, [[elliptic geometry]]
The model manifolds for the three geometries are [[hyperbolic space]], [[Euclidean space]] and a unit [[n-sphere|sphere]]. They are the only connected, [[Complete space|complete]], [[simply connected]] Riemannian manifolds of given sectional curvature.  All other connected complete constant curvature manifolds are quotients of those by some group of [[isometry|isometries]].

If for each point in a connected Riemannian manifold (of dimension three or greater) the sectional curvature is independent of the tangent 2-plane, then the sectional curvature is in fact constant on the whole manifold.-->

==非正な断面曲率を持つ多様体==
1928年に、[[エリー・カルタン]](Élie Cartan)は{{仮リンク|カルタン・アダマールの定理|en|Cartan–Hadamard theorem}}(Cartan–Hadamard theorem)を証明した。''M'' が[[完備空間|完備]](complete)な多様体で非正の断面曲率を持っているとすると、その[[普遍被覆]]は[[ユークリッド空間]]と[[微分同相]]である。特に、この空間は、{{仮リンク|アスフェリカル空間|label=アスフェリカル|en|Aspherical space}}(aspherical)である。アスフェルカルとは、''i'' &ge; 2 について、その空間の[[ホモトピー群]] <math>\pi_i(M)</math> が自明となる空間のことである。従って、完備な非性な曲がった多様体の位相構造は、その多様体の[[基本群]]により決定される。{{仮リンク|プリースマンの定理|en|Preissman's theorem}}(Preissman's theorem)は、負の曲がったコンパクトな多様体の基本群を限定している定理である。
<!--==Manifolds with non-positive sectional curvature==
In 1928, [[Élie Cartan]] proved the [[Cartan–Hadamard theorem]]: if ''M'' is a [[Complete space|complete]] manifold with non-positive sectional curvature, then its [[universal cover]] is [[diffeomorphic]] to a [[Euclidean space]]. In particular, it is [[Aspherical space|aspherical]]: the [[homotopy groups]] <math>\pi_i(M)</math> for ''i'' &ge; 2 are trivial.  Therefore, the topological structure of a complete non-positively curved manifold is determined by its [[fundamental group]].  [[Preissman's theorem]] restricts the fundamental group of negatively curved compact manifolds.-->

==正の断面曲率を持つ多様体==
正の曲がった多様体の構造については少ししか知られていない。{{仮リンク|ソウル定理|en|soul theorem}}(soul theorem)({{harvnb|Cheeger|Gromoll|1972}}; {{harvnb|Gromoll|Meyer|1969}}) は、完備な非コンパクトな非負の曲がった多様体は、コンパクトな非負な曲がった多様体上の法バンドルに微分同相であるという定理である。コンパクトな正の曲がった多様体に対し、2つの古典的な結果が知られている。

* {{仮リンク|メイヤーの定理|en|Myers theorem}}(Myers theorem)から、そのような多様体の基本群は有限群であることが導かれる。

* {{仮リンク|シンゲの定理|en|Synge theorem}}(Synge theorem)から、そのような偶数次元の多様体の基本群は、向きつけ可能であれば、0 であり、そうでない場合は <math>\Bbb Z_2</math> となることが導かれる。奇数次元の正の曲がった多様体は常に向き付け可能である。

さらに、コンパクトな正の曲がった多様体には、予想は多くあるものの（たとえば、{{仮リンク|ホップ予想|en|Hopf conjecture}}(Hopf conjecture)は、<math>\Bbb S^2\times\Bbb S^2</math> の上には正の断面曲率である計量は存在するかについての予想がある）、比較的少ししか例が存在しない。新しい例を構成するもっと典型的な方法は、次のオーニール曲率から出てくる系に従う。<math>(M,g)</math> がリー群 G の自由な等長作用を持つリーマン多様体とし、M を G の軌道に直交する 2-平面すべての上で正の断面曲率を持つとすると、商計量をもつ多様体 <math>M/G</math> は正の断面曲率を持つ。この事実は、上記の例と同じ、球面や射影空間である古典的は正の曲がった空kなを構成することを可能とする{{harv|Ziller|2007}}。

*ベルジェ空間(The Berger spaces) <math>B^7=SO(5)/SO(3)</math> and <math>B^{13}=SU(5)/Sp(2)\cdot\Bbb S^1</math>.

*ウォリッシュ空間(Wallach spaces)（あるいは、等質旗多様体） <math>W^6=SU(3)/T^2</math>, <math>W^{12}=Sp(3)/Sp(1)^3</math> と <math>W^{24}=F_4/Spin(8)</math>.

*アロフ・ウォリッシュ空間(Aloff–Wallach spaces) <math>W^7_{p,q}=SU(3)/\operatorname{diag}(z^p,z^q,\overline{z}^{p+q})</math>.

*エッシェンブルグ空間(Eschenburg spaces) <math>E_{k,l}=\operatorname{diag}(z^{k_1},z^{k_2},z^{k_3})\backslash SU(3)/\operatorname{diag}(z^{l_1},z^{l_2},z^{l_3})^{-1}.</math>

*バザイキン空間(Bazaikin spaces) <math>B^{13}_p=\operatorname{diag}(z_1^{p_1},\dots,z_1^{p_5})\backslash U(5)/\operatorname{diag}(z_2A,1)^{-1}</math>, ここに <math>A\in Sp(2)\subset SU(4)</math> である。
<!--==Manifolds with positive sectional curvature==
Little is known about the structure of positively curved manifolds. The [[soul theorem]] ({{harvnb|Cheeger|Gromoll|1972}}; {{harvnb|Gromoll|Meyer|1969}}) implies that a complete non-compact non-negatively curved manifold is diffeomorphic to a normal bundle over a compact non-negatively curved manifold. As for compact positively curved manifolds, there are two classical results:

*It follows from the [[Myers theorem]] that the fundamental group of such manifold is finite.

*It follows from the [[Synge theorem]] that the fundamental group of such manifold in even dimensions is 0, if orientable and <math>\Bbb Z_2</math> otherwise. In odd dimensions a positively curved manifold is always orientable.

Moreover, there are relatively few examples of compact positively curved manifolds, leaving a lot of conjectures (e.g., the [[Hopf conjecture]] on whether there is a metric of positive sectional curvature on <math>\Bbb S^2\times\Bbb S^2</math>). The most typical way of constructing new examples is the following corollary from the O'Neill curvature formulas: if <math>(M,g)</math> is a Riemannian manifold admitting a free isometric action of a Lie group G, and M has positive sectional curvature on all 2-planes orthogonal to the orbits of G, then the manifold <math>M/G</math> with the quotient metric has positive sectional curvature. This fact allows one to construct the classical positively curved spaces, being spheres and projective spaces, as well as these examples {{harv|Ziller|2007}}:

*The Berger spaces <math>B^7=SO(5)/SO(3)</math> and <math>B^{13}=SU(5)/Sp(2)\cdot\Bbb S^1</math>.

*The Wallach spaces (or the homogeneous flag manifolds): <math>W^6=SU(3)/T^2</math>, <math>W^{12}=Sp(3)/Sp(1)^3</math> and <math>W^{24}=F_4/Spin(8)</math>.

*The Aloff–Wallach spaces <math>W^7_{p,q}=SU(3)/\operatorname{diag}(z^p,z^q,\overline{z}^{p+q})</math>.

*The Eschenburg spaces <math>E_{k,l}=\operatorname{diag}(z^{k_1},z^{k_2},z^{k_3})\backslash SU(3)/\operatorname{diag}(z^{l_1},z^{l_2},z^{l_3})^{-1}.</math>

*The Bazaikin spaces <math>B^{13}_p=\operatorname{diag}(z_1^{p_1},\dots,z_1^{p_5})\backslash U(5)/\operatorname{diag}(z_2A,1)^{-1}</math>, where <math>A\in Sp(2)\subset SU(4)</math>.-->

==参考文献==
*{{Citation | doi=10.2307/1970819 | last1=Cheeger | first1=Jeff | last2=Gromoll | first2=Detlef | title=On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature | mr=0309010 | year=1972 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]]   | volume=96 | pages=413–443 | issue=3 | publisher=Annals of Mathematics | jstor=1970819}}.
*{{Citation | doi=10.2307/1970682 | last1=Gromoll | first1=Detlef | last2=Meyer | first2=Wolfgang | title=On complete open manifolds of positive curvature | mr=0247590 | year=1969 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]]   | volume=90 | pages=75–90 | issue=1 | publisher=Annals of Mathematics | jstor=1970682}}.
* {{Citation | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link=John Milnor | title=Morse theory | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. Annals of Mathematics Studies, No. 51 | mr=0163331 | year=1963}}.
* {{Citation | last1=Petersen | first1=Peter | title=Riemannian geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-29246-5 | mr=2243772 | year=2006 | volume=171}}.
*{{cite arXiv|first=Wolfgang|last=Ziller|title=Examples of manifolds with non-negative sectional curvature|eprint=math/0701389|year=2007}}.

==関連項目==

*[[リーマン曲率テンソル]]
*{{仮リンク|リーマン多様体の曲率|en|curvature of Riemannian manifolds}}(curvature of Riemannian manifolds)
*[[曲率]]
*[[部分リーマン多様体の接続と曲率]]：リーマン多様体の断面曲率とその部分リーマン多様体の断面曲率の関係を記載

{{Curvature}}
{{DEFAULTSORT:たんめんきよくりつ}}
[[Category:リーマン幾何学]]
[[Category:曲率]]
[[Category:数学に関する記事]]