方向微分のソースを表示

{{No footnotes|date=2023-01}}
[[数学]]において、多変数[[微分可能関数]]のある与えられた点 {{math|'''''x'''''}} におけるある与えられた[[ベクトル]] {{math|'''''v'''''}} に沿った'''方向微分'''（ほうこうびぶん、{{Lang-en-short|directional derivative}}）とは、直感的には、{{math|'''''v'''''}} によって特徴づけられた速度で {{math|'''''x'''''}} を通過する時の、その関数の即時的な変化率を意味する。したがって、他のすべての座標は定数として、ある一つの{{仮リンク|曲線座標|label=座標曲線|en|Curvilinear coordinates}}に沿った変化率を取るような、[[偏微分]]の概念を一般化するものである。

方向微分は、[[ガトー微分]]の特別な場合である。

== 定義 ==
あるベクトル
:<math>\boldsymbol{v} = (v_1, \dotsc, v_n)</math> 
に沿った、[[スカラー場|スカラー関数]]
:<math>f(\boldsymbol{x}) = f(x_1, x_2, \dotsc, x_n)</math> 
の方向微分は、[[極限]]
:<math>\nabla_{\boldsymbol{v}} f(\boldsymbol{x}) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(\boldsymbol{x} + h\boldsymbol{v}) - f(\boldsymbol{x})}{h}}</math>
として定義される[[関数 (数学)|関数]]である<ref>{{cite book | author=R. Wrede, M.R. Spiegel| title=Advanced Calculus|edition=3rd edition| publisher=Schaum's Outline Series| year=2010 | isbn=978-0-07-162366-7}}</ref>。

関数 {{mvar|f}} が {{math|'''''x'''''}} において[[微分可能]]であるなら、任意のベクトル {{math|'''''v'''''}} に沿った方向微分が存在し、

:<math>\nabla_{\boldsymbol{v}} f(\boldsymbol{x}) = \nabla f(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{v}</math>

が成立する。ここで、右辺の {{math|∇}} は[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]を表し、{{math|⋅}} は[[ドット積]]を表す<ref>技術的に言うと、勾配 {{math|∇''f''}} は[[線型汎函数|余ベクトル]]であり、ドット積はベクトル {{math|'''''v'''''}} 上のこの余ベクトルの動きである。</ref>。任意の点 {{math|'''''x'''''}} において、{{mvar|f}} の方向微分は、直感的には、ある速度と、{{math|'''''v'''''}} によって与えられるある方向によって動く時の、{{mvar|f}} の時間に関する[[微分|変化率]]を表す。

何人かの研究者は、方向微分を[[正規化]]を施した後のベクトル {{math|'''''v'''''}} に対して定義しており、その場合その絶対値は考慮から外される。すると、
:<math>\nabla_{\boldsymbol{v}} f(\boldsymbol{x}) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(\boldsymbol{x} + h\boldsymbol{v}) - f(\boldsymbol{x})}{h|\boldsymbol{v}|}} </math>
であるか、あるいは {{mvar|f}} が {{math|'''''x'''''}} において微分可能である場合には、
:<math>\nabla_{\boldsymbol{v}} f(\boldsymbol{x}) = \nabla f(\boldsymbol{x}) \cdot \frac{\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|} </math>
が成立する。この定義には、いくつかの不利な点がある。すなわち、その定義はベクトルの[[ノルム]]が定義され、ゼロでない場合においてのみ適用されるということである。この定義は、物理学や工学など、数学と異なるいくつかの分野において用いられる概念とは相入れないものとなるが、単位距離ごとの {{mvar|f}} の増加率を知りたい場合には、用いられるべきものである。

=== 表記法 ===
方向微分には、次のようないくつかの表記法がある：
:<math>\nabla_{\boldsymbol{v}} f(\boldsymbol{x}) \sim
\frac{ \partial \, f(\boldsymbol{x}) }{\partial v} \sim
f'_\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) \sim
D_\boldsymbol{v} f(\boldsymbol{x}) \sim
\boldsymbol{v}\cdot \nabla f(\boldsymbol{x})</math>

=== 性質 ===
通常の[[微分]]に対して成立する有名な性質の多くは、方向微分に対しても成立する。以下に述べる性質は、ある点 {{mvar|p}} において[[全微分|微分可能]]であり、その点の[[近傍]]において定義されるような任意の関数 {{mvar|f}} および {{mvar|g}} に対して、成立する：
{{ol
| '''{{仮リンク|微分の和の法則|label=和の法則|en|Sum rule in differentiation}}'''： 
:<math>\nabla_{\boldsymbol{v}} \bigl( f(p) + g(p) \bigr) = \nabla_{\boldsymbol{v}} f(p) + \nabla_{\boldsymbol{v}} g(p)</math>
| '''{{仮リンク|微分の定数倍の法則|label=定数倍の法則|en|Constant factor rule in differentiation}}'''：任意の定数 ''c'' に対し、 
:<math>\nabla_{\boldsymbol{v}} \bigl( cf(p) \bigr) = c\nabla_{\boldsymbol{v}} f(p)</math>
が成立する。
| '''[[積の微分法則|積の法則]]'''（あるいは'''[[一般的なライプニッツの法則|ライプニッツの法則]]'''）：
:<math>\nabla_{\boldsymbol{v}} \bigl( f(p) g(p) \bigr) = g(p) \nabla_{\boldsymbol{v}} f(p) + f(p) \nabla_{\boldsymbol{v}} g(p)</math>
| '''[[連鎖律]]'''：{{mvar|g}} が点{{mvar|p}} において微分可能であり、{{mvar|h}} が {{math|''g''(''p'')}} において微分可能であるなら、
:<math>\nabla_{\boldsymbol{v}} (h\circ g) (p) = h' \bigl( g(p) \bigr) \nabla_{\boldsymbol{v}} g (p)</math>
が成立する。
}}

== 微分幾何学における方向微分 ==
{{see also|接ベクトル空間}}
{{mvar|M}} を[[微分可能多様体]]とし、{{mvar|p}} を {{mvar|M}} 内のある点とする。{{mvar|f}} を、点 {{mvar|p}}のある近傍において定義され、{{mvar|p}} において[[全微分|微分可能]]なある関数とする。
{{mvar|v}} を点 {{mvar|p}} における {{mvar|M}} への[[接ベクトル]]とするとき、{{mvar|f}} の {{mvar|v}} に沿った'''方向微分'''は、{{math|∇{{sub|'''''v'''''}} ''f''(''p'')}}（[[共変微分]]を参照）や {{math|''L{{sub|'''v'''}}'' ''f''(''p'')}}（[[リー微分]]を参照）、あるいは {{math|''v{{sub|p}}''(''f'')}}（[[接ベクトル空間]]を参照）など様々な方法で表記され、その定義は次のようになる。{{math|''γ'': {{bracket|-1,1}} → ''M''}} を、{{math|''γ''(0) {{=}} ''p''}} および {{math|''γ''&prime;(0) {{=}} ''v''}} を満たすような微分可能な曲線とする。このとき、方向微分は
:<math>\nabla_v f(p) = \left.\frac{d}{d\tau} (f\circ\gamma)(\tau)\right|_{\tau=0}</math>
と定義される。この定義は、{{math|''γ''&prime;(0) {{=}} ''v''}} を満たすようなものとして {{mvar|γ}} が選ばれている限り、{{mvar|γ}} の選び方によらない。

== 法線微分 ==

'''法線微分'''（normal derivative）とは、空間内のある曲面に対する法線方向（すなわち、[[直交]]する方向）に関する、方向微分である。あるいはより一般的に、法線微分とは、ある[[超曲面]]に直交する[[法線ベクトル|法線ベクトル場]]に沿った方向微分である。例えば[[ノイマン境界条件]]を参照されたい。法線方向を {{math|'''''n'''''}} と表すとき、関数 {{mvar|f}} の方向微分はしばしば {{math|''∂f''/''∂'''n'''''}} と表される、その他、
:<math>\frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{n} } = \nabla f(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{n} = \nabla_{\boldsymbol{n}} f(\boldsymbol{x}) = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}\cdot\boldsymbol{n} = Df(\boldsymbol{x})[\boldsymbol{n}] </math>
とも表される。

== 固体の連続体力学において ==
[[連続体力学]]におけるいくつかの重要な結果においては、ベクトルに関するベクトルの微分や、ベクトルや[[テンソル]]に関するテンソルの微分の概念が必要となる<ref name=Marsden00>J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, ''Mathematical Foundations of Elasticity'', Dover.</ref>。'''方向微分'''は、そのような微分を見つける上での体系的な方法を提供するものである。

さまざまな状況に対する方向微分の定義を、以下に述べる。そこでの各関数は、微分が取れるように十分滑らかであるもののと仮定される。

=== スカラー値ベクトル関数の微分 ===
<math>f(\boldsymbol{v})</math> を、ベクトル <math>\boldsymbol{v}</math> に関する実数値関数とする。このとき、すべてのベクトル <math>\boldsymbol{u}</math> に対して、方向 <math>\boldsymbol{u}</math> への <math>f(\boldsymbol{v})</math> の <math>\boldsymbol{v}</math> に関する（あるいは、<math>\boldsymbol{v}</math> での）微分は、次のように定義される：
:<math>
  \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} = Df(\boldsymbol{v})[\boldsymbol{u}] 
     = \left[\frac{d }{d \alpha}~f(\boldsymbol{v} + \alpha~\boldsymbol{u})\right]_{\alpha = 0}.
</math>

'''性質'''：
{{ol
| <math>f(\boldsymbol{v}) = f_1(\boldsymbol{v}) + f_2(\boldsymbol{v})</math> なら、<math>
   \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} =  \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{v}} + \frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{v}}\right)\cdot\boldsymbol{u} 
 </math>。

| <math>f(\boldsymbol{v}) = f_1(\boldsymbol{v})~ f_2(\boldsymbol{v})</math> なら、<math>
   \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} =  \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u}\right)~f_2(\boldsymbol{v}) + f_1(\boldsymbol{v})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} \right)
 </math>。

| <math>f(\boldsymbol{v}) = f_1(f_2(\boldsymbol{v}))</math> なら、<math>
   \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} =  \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} 
 </math>。
}}

=== ベクトル値ベクトル関数の微分 ===
<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{v})</math> を、ベクトル <math>\boldsymbol{v}</math> に関するベクトル値関数とする。このとき、すべてのベクトル <math>\boldsymbol{u}</math> に対して、方向 <math>\boldsymbol{u}</math> への <math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{v})</math> の <math>\boldsymbol{v}</math> に関する（あるいは、<math>\boldsymbol{v}</math> における）微分は、次の'''ベクトル'''で定義される：
:<math>
  \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} = D\boldsymbol{f}(\boldsymbol{v})[\boldsymbol{u}] 
     = \left[\frac{d }{d \alpha}~\boldsymbol{f}(\boldsymbol{v} + \alpha~\boldsymbol{u})\right]_{\alpha = 0}.
</math>

'''性質'''：
{{ol
| <math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{v}) + \boldsymbol{f}_2(\boldsymbol{v})</math> なら、<math>
   \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} =  \left(\frac{\partial \boldsymbol{f}_1}{\partial \boldsymbol{v}} + \frac{\partial \boldsymbol{f}_2}{\partial \boldsymbol{v}}\right)\cdot\boldsymbol{u} 
 </math>。

| <math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{f}_2(\boldsymbol{v})</math> なら、<math>
   \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} =  \left(\frac{\partial \boldsymbol{f}_1}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u}\right)\times\boldsymbol{f}_2(\boldsymbol{v}) + \boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{v})\times\left(\frac{\partial \boldsymbol{f}_2}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} \right)
 </math>。

| <math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{f}_2(\boldsymbol{v}))</math> なら、<math>
   \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} =  \frac{\partial \boldsymbol{f}_1}{\partial \boldsymbol{f}_2}\cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{f}_2}{\partial \boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{u} \right)
 </math>。
}}

=== スカラー値の二階テンソル関数の微分 ===
<math>f(\boldsymbol{S})</math> を、二階テンソル <math>\boldsymbol{S}</math> に関する実数値関数とする。このとき、すべての二階テンソル <math>\boldsymbol{T}</math> に対して、方向 <math>\boldsymbol{T}</math> への <math>f(\boldsymbol{S})</math> の <math>\boldsymbol{S}</math> に関する（あるいは、<math>\boldsymbol{S}</math> における）微分は、次の'''二階テンソル'''で定義される：
:<math>
  \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = Df(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] 
     = \left[\frac{d }{d \alpha}~f(\boldsymbol{S} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}.
</math>

'''性質'''：
{{ol
| <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S}) + f_2(\boldsymbol{S})</math> なら、<math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} </math>。

| <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S})~ f_2(\boldsymbol{S})</math> なら、<math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)~f_2(\boldsymbol{S}) + f_1(\boldsymbol{S})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>。

| <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(f_2(\boldsymbol{S}))</math> なら、<math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>。
}}

=== テンソル値の二階テンソル関数の微分 ===
<math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> を、二階テンソル <math>\boldsymbol{S}</math> に関する、二階テンソル値関数とする。このとき、すべての二階テンソル <math>\boldsymbol{T}</math> に対して、方向 <math>\boldsymbol{T}</math> への <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> の <math>\boldsymbol{S}</math> に関する（あるいは、<math>\boldsymbol{S}</math> での）微分は、次の'''四階テンソル'''で定義される：
:<math>
  \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = D\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] 
     = \left[\frac{d }{d \alpha}~\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}.
</math>

'''性質'''：
{{ol
| <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})</math> なら、<math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} </math>。

| <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S})\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})</math> なら、<math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S})\cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>。

| <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))</math> なら、<math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>。

| <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))</math> なら、<math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>。
}}

== 注釈 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book | first=F. B. | last=Hildebrand | title=Advanced Calculus for Applications| publisher=[[:en:Prentice Hall|Prentice Hall]] | year=1976 | isbn=0-13-011189-9 }}
*{{cite book | author=K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence| title=Mathematical methods for physics and engineering| publisher=[[:en:Cambridge University Press|Cambridge University Press]]| year=2010 | isbn=978-0-521-86153-3}}

== 関連項目 ==
* [[微分の一般化]]
** [[レヴィ・チヴィタ接続|共変微分]]
** [[フレシェ微分]]
** [[ガトー微分]]
** [[リー微分]]
** {{仮リンク|テンソル微分 (連続体力学)|en|Tensor derivative (continuum mechanics)}}
* [[微分形式]]
* {{仮リンク|共変形式|en|Lorentz_covariance}}
* {{仮リンク|構造テンソル|en|Structure tensor}}
* {{仮リンク|円柱および球座標系におけるナブラ|en|Del in cylindrical and spherical coordinates}}

== 外部リンク ==
*[http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html Directional derivatives] at [[MathWorld]].
*[http://planetmath.org/directionalderivative Directional derivative] at [[PlanetMath]].

{{DEFAULTSORT:ほうこうひふん}}

[[Category:微分積分学]]
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:微分の一般化]]
[[Category:多変数微積分]]
[[Category:数学に関する記事]]