方程式のソースを表示

{{出典の明記|date=2020年1月}}
[[ファイル:First Equation Ever.png|right|thumb|[[ロバート・レコード]]による {{en|''The Whetstone of Witte''}} (1557) に記されている、最も古い方程式。{{math|14''x'' + 15 {{=}} 71}} を表している。]]

[[数学]]において'''方程式'''（ほうていしき、{{lang-en-short|equation}}）とは、[[未知数]]である[[変数 (数学)|変数]]を含む[[等式]]である<ref group="注">"[[=]]" という記号は[[ロバート・レコード]] (Robert Recorde, 1510–1558) によって発明された。同じ長さの平行な直線よりも等しかり得るものは存在しないと考えた。</ref>。

方程式を成り立たせる未知数の値を方程式の'''解'''（かい、{{lang-en-short|solution}}）という<ref group="注">関数を最小化する変数の値は「最小解」と呼ばれる。</ref><ref group="注">解の近似と見なされる変数の値は「[[近似解]]」、「[[収束解]]」などと呼ばれる。</ref>。解を求めることを方程式を'''解く'''（とく、[[英語|英]]: solve）という。

方程式には様々な種類があり、数学のすべての分野において目にする。方程式を調べるために使われる方法は方程式の種類に応じて異なる。

== 各分野 ==
[[代数学]]は特に2種類の方程式を研究する：'''[[代数方程式|多項式の方程式]]'''と、中でも'''[[一次方程式]]'''である。多項式方程式は、{{mvar|P}} をある[[多項式]]として、{{math|1=''P''(''X'') = 0}} の形である。<!--Des méthodes de transformation et de [[Changement de variable (simplification algébrique)|changement de variable]] permettent de venir à bout des plus simples. -->線型方程式は、{{mvar|a}} を[[線型写像]]、{{mvar|b}} を[[ベクトル空間|ベクトル]]として、{{math|1=''a''(''x'') + ''b'' = 0}} の形である。それらを解くために、[[線型代数学]]や[[解析学]]から来る、[[アルゴリズム]]的あるいは[[幾何学]]的手法を用いる。[[定義域|変数の動く範囲]]を変えることにより方程式の性質が大幅に変わり得る。代数学は[[ディオファントス方程式]]、すなわち[[係数]]と解が[[整数]]の方程式も研究する。用いられる手法は異なり、本質的に数論のものである。これらの方程式は一般に難しい。しばしば解の存在あるいは非存在を決定し、存在するときはその個数を調べるだけである。

[[幾何学]]は[[図形]]を記述するために方程式を利用する。目的はやはり前の場合とは異なり、方程式は幾何学的性質を調べるために利用される。この文脈では方程式の種類に2つの大きなものがある。[[直交座標系]]における方程式と[[パラメトリック方程式]]である。

[[解析学]]は {{math|1=''f''(''x'') = 0}} の形の方程式を研究する。ここで {{mvar|f}} は、[[連続写像|連続]]、[[微分可能関数|微分可能]]、[[収縮写像|収縮]]、といったある種の性質を持った関数である。解析学の手法では方程式の解に収束する列を構成できる。目的はできるだけ正確に解を求められるようにすることである。

[[微分方程式]]は1つ以上の関数とその[[導関数]]を含む方程式である。導関数を含まない関数の表示を見つけることによって解かれる。微分方程式は[[実数|連続的]]に変化し得る対象のダイナミクスを調べるためにしばしば利用される。微分方程式によって特徴づけられる連続的な[[数理モデル]]は、[[物理学]]、[[化学]]、[[生物学]]、[[経済学]]など様々な分野において、それぞれの対象に対し用いられる。

[[力学系]]は、解が[[列 (数学)|列]]あるいは1変数あるいは多変数の関数であるような方程式によって定義される。中心的な問題が2つある。'''始状態'''（しじょうたい、{{lang-en-short|initial state}}）と'''漸近的挙動'''（ぜんきんてききょどう、{{lang-en-short|asymptotic behaviour}}）である。各初期条件、例えば列あるいは関数の {{math|0}} での値、に対し方程式は一意な解を持つ。大抵の系について、始状態を少しだけ変更した場合、解もまた僅かだけ変化することが期待され、実際そのように振る舞う。しかしすべての場合でそうというわけではなく、ある始状態の近傍では解が著しく異なることがある。このような初期条件に関する''鋭敏性''は第一の問題の目的である。解の極限でのあるいは[[漸近]]的振る舞いは変数が[[無限|無限大]]に行くときの解の形に対応し、この振る舞いが第二の問題の目的である。解が発散しなければ、次のいずれかとなる。1つの値に近づくか、あるいは、循環的な振る舞い（[[周期関数]]か、値が同じ有限集合を同じ回数ずっと動き続ける列）に近づくか、あるいは、解が定義により決定的であったとしてもランダムに進展するように見える[[カオス理論|カオス]]な振る舞いをする。
<!--
: ''Remarque'' : Le terme [[inéquation]] correspond à une définition différente<ref>Voir, par exemple la définition proposée dans l'article « [http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://fr.encarta.msn.com/dictionary_2016012982_2016013586/nextpage.html&title=In%C3%A9quation Inéquation] » de l'encyclopédie en ligne ''[[Encarta]]''.</ref>. Si dans certains cas particuliers<ref>C'est le cas par exemple, pour certaines équation étudiés dans l'enseignement pré-universitaire : ''[http://mathocollege.free.fr/brevet/equ1/equ_ineq.html Équations - Inéquations]'' par L. Pecqueux, sur le site mathocollege.free.</ref> les sujets sont connexes, dans le cas général ils sont suffisamment éloignés pour mériter des traitements distincts. L'inéquation est en conséquence traitée dans un article séparé.
-->

== 概要 ==
'''方程式'''の最も典型的な形は[[変数 (数学)|未知数]] ({{en|unknown}}) と呼ばれる項を含んだ等式である。方程式における未知数はしばしば {{mvar|x}} などの特定の慣習的な文字によって表され、「様々に値を変える数である」という観点から'''変数''' ({{en|variable}}) と呼ばれたり、あるいは「特定の値を持つわけではない」という観点から'''[[不定元]]''' ({{en|indeterminate, indeterminant}}) と呼ばれることもある。

方程式に含まれる変数に対して、'''変域'''と呼ばれるある特定の範囲の値で変数を置き換える操作を考えることができるが、これは[[変数 (数学)|代入]]と呼ばれる。各変数に代入されるべきものは、[[数|数値]]・[[関数 (数学)|関数]]・[[論理式 (数学)|式]]など様々であり、それぞれの変数がどのような変域を持つかは文脈に依存している。

未知数に値の代入が行われて初めて、方程式が等式として成立するか否かの評価が行われる。そして、与えられた方程式を等式として成立させるような未知数の値を'''方程式の解'''と呼び、方程式の解を全て求めることを'''方程式を解く'''と言う<ref group="注">一般に「方程式を解く方法」は必ずしも存在するわけではない。</ref>。ふつう方程式の解は変域のとりうる任意の値ではなく、何らかの特定の値に制限を受け、時には存在しない場合すらありうる。

実数（または単位的環）全体を変域とする変数 {{mvar|x}} に関する等式
: <math>\left(x + 1\right)^2 = x^2 + 2x + 1</math>
のような、変数にどんな値を代入しても成り立つ方程式はその変域上の[[恒等式]]と呼ばれる。

一般には1つの方程式に変数が1つであるとは限らない。代入の際に同じ文字は同じ値をとるという約束の下で変数が複数存在する方程式を'''多元方程式'''あるいは'''多変数方程式''' {{lang|en|(multiple variable equation)}} などと言う。あるいはさらに、方程式として与えられる等式が1つである必要はない。方程式が1つではなく複数ある時、やはり同じ文字は同時に同じ値をとるという前提が成り立つならば、方程式は'''系をなす'''や'''連立する'''などと言い、その複数本の方程式を一括りにして'''方程式系'''（ほうていしきけい、{{lang|en|system of equations}}）もしくは'''連立方程式'''（れんりつほうていしき、{{lang|en|simultaneous equation}}）などと呼ぶ。

== 分類 ==
与えられた等式がどのようなものであるかということによって、方程式には幾つかの分類がある。以下に代表的な方程式の種類を挙げる。

=== 代数方程式 ===
{{Main|代数方程式}}
両辺を[[多項式]] ({{en|polynomial}}) とする等式によって表された方程式を[[代数方程式]]と言う。多項式 {{math|''p''(&middot;)}} によって与えられる変数の組 {{math|(''x, y, z,...'')}} を未知数とする方程式<ref group="注">等式の両辺から1つの多項式を足し引きすることはいつでもできるため、等式の一方の辺をゼロにするように引き算をすることで、各辺の多項式を1つの辺にまとめることができる。従って一般の代数方程式は必ず以下の形に表すことができる。</ref>
: <math>p(x, y, z, \dots) = 0</math>
の解 {{math|(''x, y, z,...'')}} のことを {{mvar|p}} の'''[[代数方程式#根|根]]''' ({{en|root}}) または'''[[零点]]''' ({{en|zero}}) とも言う。代数方程式はさらに、[[線型方程式#一次方程式|一次方程式]]、[[二次方程式]]といったように、[[多項式#多1変数の多項式|多項式の次数]] ({{en|degree}}) {{mvar|d}} により '''{{mvar|d}} 次方程式''' ({{en|{{mvar|d}}-ic equation,<ref group="注">{{mvar|d}} にはラテン語かギリシア語の数詞が入る。{{math|''d'' {{=}} 2}} なら {{en|quadratic}}, {{math|''d'' {{=}} 4}} なら {{en|quartic}}, {{math|''d'' {{=}} 5}} なら {{en|quintic}} など。例外として、{{math|''d'' {{=}} 1}} なら {{en|linear}}, {{math|''d'' {{=}} 3}} なら {{en|cubic}} と呼ばれる。</ref> {{mvar|d}}&thinsp;th degree equation}}) に分類される。

[[四次方程式|四次]]以下の一変数代数方程式は多項式の係数に関する四則演算と根号を用いて解を表すことができる。代数方程式の解のようすを調べる研究は、[[群 (数学)|群]]の概念の導入など、[[ガロア理論]]を始めとする19世紀の代数学の発展の大きな原動力の1つとなった。

歴史上の数学の発展において様々な代数方程式の解を求める試みはそれまでになかった新しい数の体系を生み出してきている。その最も古い例として、古代ギリシアにおける[[無理数]]の発見をもたらした、[[正方形]]の辺と[[対角線]]の[[比]] {{mvar|x}} に関する方程式<ref group="注">この方程式の正の根は[[2の平方根]] {{math|{{sqrt|2}}}} である。この数は[[2の平方根#無理数であることの証明|整数の比で表すことができない]]。</ref>
:<math>x^2 - 2 = 0</math>
が挙げられる。さらに、[[三次方程式]] 
:<math>x^3 + px + q = 0</math>
の実数解表示を与える[[三次方程式#カルダノの方法|カルダノの公式]]
: <math>x = \sqrt[3]{-  \frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}</math>

は[[複素数]]の発見につながった。また、[[量子力学]]における[[粒子]]の[[位置]]と[[運動量]]の間に成り立つ[[正準交換関係]] 
:<math>pq - qp = i\hbar</math>
は[[系 (自然科学)|系]]の状態を通常の数（C 数、{{en|classical number}}）の組でなく[[作用素 (関数解析学)|作用素]]で与える範例をもたらした。

=== 関数方程式 ===
{{Main|関数方程式|微分方程式}}
数の等式ではなく[[関数 (数学)|関数]]の等式で与えられる方程式を[[関数方程式]]と呼ぶ。
:<math>F\!\left(x,y,z,\dots;f_1(x,y,z,\dots),f_2(x,y,z,\dots),\dots\right)=0</math>
関数方程式によって決定される関数を'''未知関数''' ({{en|''unknown function''}}) と呼び、方程式中のそれ以外の関数は'''既知関数''' ({{en|''known function''}}) として区別される。特に関数とその導関数に対して関係式を与えることで得られる[[微分方程式]]は、物理学の研究から興味深い実例を与えられ、逆にその研究成果が物理学に寄与するなど、物理学との関連が深い。一方純粋数学的には[[層 (数学)|層の理論]]などと結びついて興味深い結果が得られている。微分方程式はさらに[[常微分方程式]]と[[偏微分方程式]]に別けられる。

連続的な変数に関する微分の近似として、離散系における差分によって定式化された[[差分方程式]]の考察がしばしば有用である。微分方程式と差分方程式では様々な類似概念や類似手法が並行して通用するため、同じ事象の連続的な側面と離散的な側面とを表していると考えることもできる。

また、方程式の形のみならず「[[重ね合わせの原理]]が働く」か否かという、解の状態についての分類が考えられる。解の重ね合わせが考えられる方程式を[[線型方程式]]、そうでないものを[[非線型方程式]]と呼ぶ。解の重ね合わせは[[ベクトル空間]]の概念と結びつき、[[線型性]]という観点から[[線型代数学]]の様々な概念や手法を適用することが可能になる。とくに微分方程式を代数的に取り扱うという立場においては[[線型微分方程式]]は最も基本的な対象となる。

重要な数学的概念の導入・発展をもたらした関数方程式に、[[熱方程式]]や[[超幾何関数]]の微分方程式、[[可積分系]]に対する[[KdV方程式]]・[[KZ方程式]]が挙げられる。

==== 関数方程式の解の種類 ====
微分方程式や差分方程式の解は、一般解と特異解とに分類されることがある。
<!-- [[微分方程式]]に書こうかとも思いましたが、[[差分方程式]]でも同じような分類があるので、この[[方程式]]におきました。-->
;一般解: 微分方程式や差分方程式の解の多くは、[[積分定数]]などの任意定数や、任意関数を含む形で記述されることが多い。例えば、{{mvar|n}} 階の常微分方程式であれば {{mvar|n}} 個の積分定数を持つ。このように、任意定数や任意関数を含む形で書かれる解のことを '''一般解''' ({{en|''general solution''}}) と言う。また、一般解に含まれる個々の解のことを'''特殊解''' ({{en|''particular solution''}}) あるいは'''特解'''と言う。一般解に含まれる任意定数や、任意関数に特定の値や関数を与えることによって得られる解は全て特殊解である。一般解が任意定数を係数とする関数の[[線型結合]]で表される場合、この既知の関数の組を'''基本解系'''と呼び、その要素を'''基本解''' ({{en|''elementary solution''}}) と言う（基本解系を単に基本解と呼ぶこともある）。


;特異解: 一般解はその名前から「''方程式の解のすべてを表現したもの'' 」と誤解されることが多いが、一般解だけでは表現できない解が存在することがある。この一般解で表されない解を'''特異解''' ({{en|''singular solution''}}) と言う。
有名な例としては、[[クレローの方程式]]
:<math>y = x \cdot \frac{dy}{dx} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^2</math>
は、一般解 
:<math>y=Cx-C^2</math>
の他に特異解
:<math>y=\frac{x^2}{4}</math>
を持つ。

== 自然科学における方程式 ==
{{Main|基礎方程式}}
自然科学が取り扱う様々な量の間に成り立つ関係は方程式として記述されている。とくに17世紀の[[ガリレオ・ガリレイ|ガリレイ]]や[[ヨハネス・ケプラー|ケプラー]]以降の[[物理学]]における種々の基本的な法則はふつう数学的な方程式によって表されてきた。また、[[化学]]における様々な媒質の[[化学平衡|平衡]]状態や[[生物学]]における大規模な個体群における個体数の変移に関する種々の法則も数学的な方程式によって表されている。

== 転用表現 ==
俗語として諸問題を解決する時に最も適切な方法という意味に転用して使われることもある。例としては「恋愛の方程式」、[[勝利の方程式]]などがあり、スポーツ新聞や読み物に分類されるような書籍、インターネット上の一般サイトなど、さして形式張らない場ではしばしば見受けられる。この意味では「公式」も同様に使われる。

ただし、「公式」の場合は、俗称と一般的な用語の両方とも解決策である。しかし、「方程式」の場合は俗称では解決策であるが、一般的には本項で示す通り解決していない問題を含む等号で結んだ単なる式のことである。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
===注釈===
{{Reflist|group="注"}}
<!--===出典===
{{reflist}}-->

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|last=Frege
|first=Gottlob
|title=Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl
|year=1884
|publisher=Koebner,
|location=Breslau
}} (Nachdruck herausgegeben von Joachim Schulte, Reclam Verlag, 1986, Ditzingen)
* {{Cite book
|last=Russell
|first=Bertrand
|title=Introduction to Mathematical Philosophy
|year=1919
|publisher=George Allen and Unwin,
|location=London
}} (reprinted with intro. by John G. Slater, Routledge, 1993, London)

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Mathematical equations}}
{{wiktionary}}
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
* [[等式]]
**[[恒等式]]
* [[不等式]]
* [[代数学]]
* [[物理学]]
** [[基礎方程式]]
* [[数理生物学]]
** [[ロジスティック式]]
* [[パラメトリック方程式]]
* [[求根アルゴリズム]]
* {{仮リンク|方程式の一覧|en|List of equations}}
* {{intitle|方程式}}

== 外部リンク ==
* {{Kotobank}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ほうていしき}}
[[Category:方程式|*]]
[[Category:数式]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]