旗多様体のソースを表示

{{要改訳| date = 2022年10月}}

'''旗多様体''' は、数学では、体F上の有限次元[[ベクトル空間]]V内の旗を点とする[[等質空間]]です。Fが実数または複素数の場合、旗多様体は[[可微分多様体]]または[[複素多様体]]であり、実旗多様体または複素旗多様体と呼ばれます。旗多様体は当然[[射影多様体]]です。

旗多様体は、さまざまな程度の一般性で定義できます。原型は、体F上のベクトル空間V内の完全な旗の多様体であり、これはF上の[[特殊線型群]]の旗多様体です。他の旗多様体は、部分旗を考慮することによって、または[[特殊線型群]]から[[シンプレクティック群]]などの部分群への制限によって生成します。部分的な旗の場合、検討中の旗の次元の順序を指定する必要があります。[[線型群]]の部分群の場合、旗に追加の条件を課す必要があります。

== ベクトル空間の旗 ==

体F上の有限次元ベクトル空間V内の旗は、部分空間の増加列です。ここで、「増加」とは、それぞれが次の適切な部分空間であることを意味します。
:<math>\{0\} = V_0 \sub V_1 \sub V_2 \sub \cdots \sub V_k = V.</math>
dim ''V''<sub>''i''</sub> = ''d''<sub>''i''</sub> と書くと、次のようになります 。
:<math>0 = d_0 < d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n,</math>
ここで、''n''は''V''の次元です。したがって、''k'' ≤ ''n''でなければなりません。
すべての''i''について''d''<sub>''i''</sub> = ''i''の場合、旗は完全な旗と呼ばれ、それ以外の場合は部分旗と呼ばれます。
旗の指数は列 (''d''<sub>1</sub>, ..., ''d''<sub>''k''</sub>) です。

一部の部分空間を削除することにより、完全な旗から部分旗を取得できます。逆に、適切な部分空間を挿入することで、部分旗を (さまざまな方法で) 完全な旗にすることができます。

== 原型: 完全旗多様体 ==
線形代数の基本的な結果によると、体F上のn次元ベクトル空間V内の任意の 2 つの完全な旗は、幾何学的な観点からは互いに違いはありません。つまり、一般線型群は、すべての完全な旗の集合に対して推移的に作用します。

Vの順序付けられた基底を固定し、それを'''F'''<sup>''n''</sup>で識別します。その一般線型群は ''n'' × ''n'' 可逆行列の群 GL(''n'','''F''') です。この基底に関連付けられた標準旗は、i番目の部分空間が基底の最初のi個のベクトルにより張られる旗です。この基準に関連して、標準旗のスタビライザーは非特異下三角行列の群であり、これを ''B''<sub>''n''</sub> で表します。したがって、完全旗多様体は、等質空間として記述できます。GL(''n'','''F''') / ''B''<sub>''n''</sub>、これは特にF上の次元n (n−1)/2 を持つことを示しています。

恒等行列の倍数はすべての旗に自明に作用するため、半単純な代数群である行列式 1 を持つ行列の特殊線型群 SL(''n'','''F''')に注意を制限できることに注意してください。行列式 1 の下三角行列の集合はボレル部分群です。

体Fが実数または複素数の場合、選択した基底が正規直交になるようにVに内積を導入できます。次に、完全な旗は、直交する補空間を取ることにより、1 次元部分空間の直接和に分割されます。したがって、複素数上の完全旗多様体は等質空間です。
:<math>U(n)/T^n</math>
ここで、U( n ) はユニタリ群で、T nは対角ユニタリ行列のn次トーラスです。U( n ) を直交群 O( n ) に置き換え、T n を対角直交行列 (対角成分 ±1 を持つ ) に置き換えた実数についても同様の説明が可能です

== 関連項目 ==
[[ブリュア分解]]

== 参考文献 ==
* Robert J. Baston and Michael G. Eastwood, ''The Penrose Transform: its Interaction with Representation Theory'', Oxford University Press, 1989.
* Jürgen Berndt, ''[http://www.mth.kcl.ac.uk/~berndt/sophia.pdf Lie group actions on manifolds]'', Lecture notes, Tokyo, 2002.
* Jürgen Berndt, Sergio Console and Carlos Olmos, ''[https://books.google.com/books?id=u3w4f63rmU8C Submanifolds and Holonomy]'', Chapman & Hall/CRC Press, 2003.
* Michel Brion, ''[http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~mbrion/notes.html Lectures on the geometry of flag varieties]'', Lecture notes, Varsovie, 2003.
* [[James E. Humphreys]], ''[https://books.google.com/books?id=hNgRLxlwL8oC Linear Algebraic Groups]'', Graduate Texts in Mathematics, 21, Springer-Verlag, 1972.
* S. Kobayashi and T. Nagano, ''On filtered Lie algebras and geometric structures'' I, II, J. Math. Mech. '''13''' (1964), 875–907, '''14''' (1965) 513–521.

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