既約イデアルのソースを表示

[[数学]]において、[[可換環]]の[[イデアル]]はより大きい2つのイデアルの共通部分として書けないときに、'''既約''' (irreducible) という<ref name="m98">{{citation|title=Algebraic Geometry|volume=136|series=Translations of mathematical monographs|first=Masayoshi|last=Miyanishi|publisher=American Mathematical Society|year=1998|isbn=9780821887707|page=13|url=https://books.google.co.jp/books?id=1reGWSo8XIsC&pg=PA13&redir_esc=y&hl=ja}}.</ref>。

すべての[[素イデアル]]は既約である<ref>{{citation|title=Advanced Algebra|first=Anthony W.|last=Knapp|series=Cornerstones|publisher=Springer|year=2007|isbn=9780817645229|page=446|url=https://books.google.co.jp/books?id=25JfJAgqC8sC&pg=PA446&redir_esc=y&hl=ja}}.</ref>。[[ネーター環]]のすべての既約イデアルは[[準素イデアル]]であり<ref name="m98"/>、したがってネーター環に対して既約分解は[[準素分解]]である。[[主イデアル整域]]のすべての準素イデアルは既約イデアルである。すべての既約イデアルは {{仮リンク|primal イデアル|en|primal ideal}}である<ref>{{citation
 | last = Fuchs | first = Ladislas
 | doi = 10.2307/2032421
 | journal = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
 | mr = 0032584
 | pages = 1–6
 | title = On primal ideals
 | volume = 1
 | year = 1950}}. Theorem 1, p.&nbsp;3.</ref>。

[[整域]]の元が[[素元]]であることとそれで生成されるイデアルが0でない素イデアルであることは同値である。これは既約イデアルに対しては正しくない。つまり、既約イデアルは[[既約元]]でない元によって生成されることがある。例えば、<math>\mathbb Z</math> のイデアル <math>4 \mathbb Z</math>は2つの真に大きいイデアルの共通部分ではない。

環 ''A'' のイデアル ''I'' が既約であるのはそれが定義する[[代数的集合]]が[[ザリスキ位相]]で[[既約空間|既約]]である（つまり任意の空でない開部分集合が稠密である）ときに限る。あるいは同じことだが、''I'' を含む[[素イデアル]]からなる [[環のスペクトル|Spec]] ''A'' の閉空間が{{仮リンク|スペクトル位相|en|affine scheme<!-- リダイレクト先の「[[:en:Spectrum of a ring]]」は、[[:ja:環のスペクトル]] とリンク -->}}について既約であるときに限る。逆は正しくない。例えば1つ目と2つ目の順番の消える項をもつ二変数多項式のイデアルは既約でない。

'''k''' が[[代数的閉体]]であれば、'''k''' 上の多項式環の既約[[イデアルの根基]]を選ぶことはその[[:en:Algebraic geometry<!-- [[:ja:代数幾何学]] とリンク -->|Nullstelle]]からなる[[アフィン多様体]]のアフィン空間への[[埋め込み (数学)|埋め込み]]を選ぶことと''同じ''である。

== 関連項目 ==
* [[単純加群|既約加群]]
* [[既約空間]]
* {{仮リンク|Lasker環|en|Laskerian ring}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{abstract-algebra-stub}}

{{DEFAULTSORT:きやくいてある}}
[[Category:環論]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]